τ τ ω τ ω ω ω τ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

WFiIS
LABORATORIUM
Z ELEKTRONIKI
Imię i nazwisko:
1.
2.
TEMAT:
Data wykonania: Data oddania:
ROK
GRUPA
ZESPÓŁ
NR ĆWICZENIA
Zwrot do poprawy:
Data oddania:
Data zliczenia:
OCENA
CEL ĆWICZENIA:
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z filtrem górnoprzepustowym i dolnoprzepustowym.
1 Filtr górnoprzepustowy (różniczkujący) jest to czwórnik bierny CR. Jego
schemat przedstawia poniższy rysunek:
Transmitancja operatorowa takiego układu wynosi:
U2
R
s
1
1
k ( s) =
=
=
=
=
1
1
1
1
U1
R+
s+
1+
1+
sC
sRC
sτ
τ
1
ωg =
Transmitancja widmowa k(jω) wynosi:
τ
jω
k ( jω ) =
jω +
1
τ
1
=
1+
ωg
jω
j
=
j+
ωg
=
ω
ωg ⎞
⎛
j⎜ j −
⎟
ω⎠
⎝
⎛ωg ⎞
−1− ⎜ ⎟
⎝ω ⎠
2
=
ωg ⎞
⎛
− 1⎜ 1 + j
⎟
ω⎠
⎝
⎛ ⎛ωg ⎞
− 1⎜⎜ 1 + ⎜ ⎟
⎝ ⎝ω ⎠
2
ωg
⎞
⎟
⎟
⎠
=
1
⎛ωg ⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ω ⎠
2
+ j
ω
2
⎛ωg ⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ω ⎠
Moduł:
2
2
⎛
⎞
⎛
⎞
ωg
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
1
1
ω
k = ⎜
=
2⎟ +⎜
2⎟
2
⎛ωg ⎞ ⎟
⎛ωg ⎞ ⎟
⎛ωg ⎞
⎜
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
+
+
1
1
1+ ⎜ ⎟
⎜
⎜
⎝ ω ⎠ ⎟⎠
⎝ ω ⎠ ⎟⎠
⎝
⎝
⎝ω ⎠
Faza:
ϕ = arc tg
(wzór 1)
ωg
ω
Filtry bierne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
1
Filtr I rzędu górnoprzepustowy (parametry podane w tabeli)
C [nF]
22
R [kΩ]
20
C [nF]
22
fgr [Hz]
366
Τ [μs]
440
Charakterystyka amplitudowa
Uout [V]
Uin [V]
f [kHz]
k=Uout/Uin [V/V]
20log(k) [dB]
k teor [V/V]
2,08
2,08
2,12
2,10
1,88
1,60
0,24
0,10
0,05
2,06
2,04
2,04
2,02
2,02
2,02
2,02
1,90
1,66
100
30
20
10
1
0,5
0,05
0,02
0,01
1,010
1,020
1,039
1,040
0,931
0,792
0,121
0,051
0,029
0,084
0,169
0,334
0,337
-0,624
-2,025
-18,359
-25,840
-30,868
1,000
1,000
1,000
0,999
0,941
0,811
0,137
0,055
0,028
20log(k teor)
[dB]
0,000
-0,001
-0,001
-0,006
-0,533
-1,824
-17,260
-25,150
-31,160
charakterystyka amplitudowa
5
0
20log(Uout/Uin) [dB]
-5
1
10
100
1000
10000
100000
-10
-15
-20
-25
-30
-35
f [Hz]
Filtry bierne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
pomiary
punkty teoretyczne
2
Podsumowanie
a)
jest to filtr pierwszego rzędu więc tłumi sygnał w paśmie zaporowym
20 dB/dekadę, z pomiaru wyznaczono spadek wzmocnienia 18 dB/dekadę;
b)
częstotliwość graniczna wyliczona dla tego filtru wynosi ok. 366 Hz , gdy
poprowadzono prostą przecinająca wykres w miejscu spadku wzmocnienia o 3 dB otrzymano
dokładnie taką częstotliwość graniczną – doświadczenie potwierdza obliczenia teoretyczne;
c)
na wykresie wzmocnienia od częstotliwości naniesiono punkty teoretyczne ( wzór 1),
punkty te pokrywają się z punktami doświadczalnymi;
Filtr II rzędu górnoprzepustowy (parametry podane w tabeli)
Transmitancja operatorowa takiego układu równa się iloczynowi transmitancji
poszczególnych układów różniczkujących:
s
s
k(s) = k 1 (s)k 2 (s) =
⋅
1
1
s+
s+
τ1
τ2
τ1>>τ2
Charakterystyka amplitudowa
R [kΩ]
20
Uout [V]
2,040
1,940
1,920
1,800
0,496
0,228
0,004
0,001
C [nF]
2,2
Uin [V]
2,12
2,08
2,06
2,06
2,04
2,08
2,00
1,92
fgr [Hz]
3619
f [kHz]
100
30
20
10
1
0,5
0,05
0,02
Τ [μs]
44
k=Uout/Uin [V/V]
0,962
0,933
0,932
0,874
0,243
0,110
0,002
0,001
Filtry bierne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
20log(k) [dB]
-0,334
-0,605
-0,611
-1,172
-12,283
-19,203
-54,334
-65,325
3
charakterystyka amplitudowa
0
1
10
100
1000
10000
100000
20log(Uout/Uin) [dB]
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
f [Hz]
pomiary
Podsumowanie
a)
jest to filtr drugiego rzędu więc tłumi sygnał w paśmie zaporowym, dla częstotliwości
do ok. 360 Hz ,czyli do częstotliwości granicznej pierwszego z badanych układów, 40
dB/dekadę, następnie poziom tłumienia spada, do wartości około 17 dB/dekadę od 360 Hz do
3600 Hz, czyli częstotliwości granicznej drugiego z badanych układów;
b)
częstotliwość ok. 3600 Hz jest częstotliwością graniczną tego filtru (odczytano z
wykresu);
c)
częstotliwość graniczna wyliczona teoretycznie ,dla tego filtru wynosi ok. 3619 Hz –
doświadczenie potwierdza obliczenia teoretyczne;
2 Filtr dolnoprzepustowy (całkujący) jest to czwórnik RC. Schemat jest
przedstawiony poniżej:
Transmitancja operatorowa takiego układu wynosi:
1
1
1
U2
sτ
τ
sRC
=
=
=
=
k ( s) =
1
1
1
1
U1
1+
1+
s+
R+
τ
sτ
sC
sRC
1
sC
Filtry bierne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
4
Transmitancja widmowa wynosi:
1
τ
k ( jω ) =
jω +
1
=
τ
(
ω g jω − ω g
− ω 2 − ω g2
)=
ω g2
ω 2 + ω g2
+ j
− ωω g
ω 2 + ω g2
Moduł:
2
2
⎛ ω g2 ⎞
⎛ − ωω g ⎞
⎟
⎜⎜ 2
⎟ =
k = ⎜⎜ 2
+
2⎟
2⎟
⎝ω + ωg ⎠
⎝ω + ωg ⎠
Faza:
ϕ = −arc tg
1
⎛ω ⎞
1 + ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ωg ⎠
2
ωg =
1
τ
ω
ωg
Filtr dwukrotnie różniczkujący i jednokrotnie całkujący
Charakterystyka amplitudowa (parametry podane w tabeli):
R1 [kΩ]
20
R2 [kΩ]
20
Uout [mV]
55
78
110
184
264
496
654
689
448
208
22
13
Uin [V]
2
2,02
2,02
2,08
2
2,04
2,03
2,03
2,04
2,04
2
1,95
R3 [kΩ]
20
f [kHz]
100
70
50
30
20
10
6
3
1
0,5
0,1
0,05
C1 [nF]
22
C2 [nF]
2,2
k=Uout/Uin [V/V]
0,028
0,039
0,054
0,088
0,132
0,243
0,322
0,339
0,220
0,102
0,011
0,007
Filtry bierne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
C3 [nF]
2,2
fgr [Hz]
3619
Τ [μs]
44
20log(k) [dB]
-31,213
-28,265
-25,279
-21,065
-17,589
-12,283
-9,838
-9,386
-13,167
-19,831
-39,172
-43,522
5
charakterystyka amplitudowa
0
20log(Uout/Uin) [dB]
-5 10
100
1000
10000
100000
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
-45
f [Hz]
pomiary
Podsumowanie
a)
jest to filtr pasmowo-przepustowy, złożony z układu dwukrotnie różniczkującego oraz
całkującego;
b)
sygnał jest tłumiony w paśmie zaporowym, dla częstotliwości do ok. 360 Hz, czyli do
częstotliwości granicznej pierwszego z badanych układów, 40 dB/dekadę, następnie tłumienie
się zmniejsza, do wartości około 16 dB/dekadę;
c)
przy częstotliwości ok. 3600 Hz sygnał jest najmniej tłumiony;
d)
pasmo przepustowe znajduje się od ok. 1300 Hz do ok. 8000 Hz;
e)
częstotliwość, przy której jest najmniejsze tłumienie wynosi ok. 3620 Hz;
f)
nachylenie charakterystyki od częstotliwości ok. 8000 Hz wynosi -20dB/dekadę;
Filtry bierne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
6
3 Odpowiedź układu na skok jednostkowy
Odpowiedź pierwszego członu różniczkującego
Na jednostkowy skok napięcia 1(t) układ reaguje tak, że na wyjściu otrzymujemy krzywą
−
t
τ
eksponencjalną e .
Odpowiedz pierwszego członu różniczkującego na impuls prostokątny dla stosunku czasu
trwania impulsu do stałej czasowej, równego 10:
t = 10
τ
τ = RC = 440μ s ⇒ t = 2 ⋅10 ⋅ 440μ s = 8800μ s
f = 113, 6 Hz
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-500
-0,5
500
1500
2500
3500
4500
-1
-1,5
Filtry bierne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
7
Odpowiedz pierwszego członu różniczkującego na impuls prostokątny dla stosunku czasu
trwania impulsu do stałej czasowej, równego 1:
t =1
τ
τ = RC = 440μ s ⇒ t = 2 ⋅1⋅ 440μ s = 880μ s
f = 1136 Hz
2
1,5
1
0,5
0
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
-0,5
-1
-1,5
Filtry bierne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
8
Odpowiedz pierwszego członu różniczkującego na impuls prostokątny dla stosunku czasu
trwania impulsu do stałej czasowej, równego 0,1:
t = 0,1
τ
τ = RC = 440μ s ⇒ t = 2 ⋅ 0,1 ⋅ 440μ s = 88μ s
f = 11,36kHz
2,15
2,1
2,05
U [V]
2
1,95
1,9
1,85
1,8
-15
-5
5
15
25
35
45
55
t [us]
Odpowiedz drugiego członu różniczkującego na sygnał prostokątny podany
na wejście układu
Gdy na wejście układu podwójnie różniczkującego podano skok jednostkowy to drugi układ
−
t
τ
będzie miał na wejściu sygnał eksponencjalny e 1 . Zróżniczkowanie tego sygnału
spowoduje powstanie przerzutu. Polega ono na tym, że otrzymana odpowiedź drugiego
członu w pewnym przedziale czasowym przyjmuje wartości ujemne. Zjawisko to można
wyeliminować dołączając odpowiednio dobrany rezystor R′ . Likwidację przerzutu osiągnięto
wtedy, gdy transmitancję dwubiegunową sprowadzono do postaci jednobiegunowej.
Schemat drugiego układu różniczkującego z dodatkową rezystancją przedstawia rysunek:
Filtry bierne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
9
−
t
τ
Na wyjściu całego układu otrzymano sygnał eksponencjalny e , gdzie τ = ( R ' R)C .
Odpowiedz drugiego członu różniczkującego na sygnał prostokątny podany na wejście
układu:
-bez kompensacji przerzutu (niebieski);
-kompensacją przerzutu (czerwony);
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-500
-0,5
500
1500
2500
3500
4500
5500
Przy jednoczesnej obserwacji sygnału wyjściowego na oscyloskopie, wyregulowano rezystor
R′ tak, aby skompensować przerzut. Po odłączeniu układu zmierzono oporność tego
rezystora: R ' = 186k Ω .
Z rozważań teoretycznych wynika, że można wyliczyć R’ ze wzoru na stałą czasową układu,
która będzie w przybliżeniu równa stałej czasowej pierwszego układu różniczkującego (jest
ona o wiele większa od drugiej stałej czasowej):
1
1
s+
s+
τ1
τ1
1
U out ( s ) = U in ⋅
⋅
⇔ U out ( s ) = U in ⋅
⇔ τ1 = τ 2
1
1 ⎛ R + R′ ⎞
1 ⎛ R + R′ ⎞
s+ s+ ⎜
s+ ⎜
τ
τ 1 ⎝ R ⎟⎠
τ 1 ⎝ R ⎟⎠
τ = τ 1 = ( R ' R)C
Z powyższego wzoru otrzymano zależność:
Filtry bierne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
10
R′ =
RC 20 ⋅ 22 k Ω ⋅ nF
=
= 200k Ω
2, 2
C1
nF
Wynik ten zgadza się z rezultatem pomiaru na omomierzu z dokładnością do 7%.
Filtry bierne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
11