Ekonometria - Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarnosc
Transkrypt
Ekonometria - Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarnosc
Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Ekonometria Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 1 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Agenda 1 2 3 4 5 Stacjonarność i Integracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Testy pierwiastka jednostkowego Test Dickeya - Fullera Test KPSS Modele ARMA Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Model z rozkładem opóźnień Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Regresja pozorna i kointegracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 2 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Outline 1 2 3 4 5 Stacjonarność i Integracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Testy pierwiastka jednostkowego Test Dickeya - Fullera Test KPSS Modele ARMA Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Model z rozkładem opóźnień Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Regresja pozorna i kointegracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 3 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Szereg czasowy Szereg czasowy yt , gdzie t = 1, 2, 3, . . . jest realizacją procesu stochastycznego {Yt }. Proces generujący dane - DGP Operatory szeregów czasowych L(·) – operator opóźnień (ang. lag operator) L(yt ) = yt−1 (1) ∆(·) – operator różnicowania (ang. difference operator) ∆(yt ) = (1 − L)yt = yt − yt−1 Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe (2) 4 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Definicja Stacjonarność -własność procesu stochastycznego {Yt }, polagająca na tym, że rozkład procesu stochastycznego {Yt } jest stały w czasie. Stacjonarność (w szerszym ujęciu) 1 2 3 Stała w czasie wartość oczekiwana yt : E(yt ) = µ. (3) Var(yt ) = E(yt − µ)2 = σ < ∞. (4) Stała w czasie wariancja yt : Stała w czasie wariancja yt : Cov(yt , yt+k ) = E(yt − µ)(yt+k − µ) = λk . Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe (5) 5 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Błądzenie losowe i biały szum Biały szum (white noise), czyli εt ∼ N (0, σ 2 ) oraz cov(εt , εs ) = 0 dla t 6= s: y t = εt (6) yt = yt−1 + εt (7) jest procesem stacjonarnym. Błądzenie losowe(random walk) jest procesem niestacjonarnym. Proces błądzenie losowego może zostać zapisany przy pomocy rekursji: y1 = y 0 + ε1 y2 ... = y 1 + ε2 = y 0 + ε1 + ε2 = y 0 + yt = y0 + t X 2 X εk k=1 εk k=1 gdzie Pt k=1 εk jest trendem stochastycznym. Wtedy wartość oczekiwana jest stała: E(yt ) = E(y0 + ε1 + ε2 + . . . + εt ) = y0 (8) Ale wariancja szeregu czasowego yt nie może być ograniczona w czasie: var(yt ) = var(ε1 + ε2 + . . . + εt ) = tσ Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 2 Szaeregi czasowe (9) 6 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Integracja Operator różnicowania: pierwsze różnica: ∆yt = yt − yt−1 , druga różnica: 2 ∆ yt = ∆ (∆yt ) = ∆(yt − yt−1 ) = yt − 2yt−1 + yt−2 , k-ta różnica: ∆ k yt = ∆ . . ∆} yt . | .{z k Jeżeli szereg yt jest stacjonarny to jest zintegrowany stopnia zerowego yt ∼ I (0). (10) Jeżeli ∆yt jest stacjonarny to wtedy szereg jest zintegrowany stopnia pierwszego, tj. yt ∼ I (1). Jeżeli ∆k yt jest stacjonarny to wtedy szereg jest zintegrowany stopnia k-tego yt ∼ I (k) Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 7 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Przyrostostacjonarność - szereg jest niestacjonarny, ale przyrosty są stacjonarne yt ∼ I (k) (11) Trendostacjnarność - szereg jest sumą deterministycznego trendu oraz stacjonarnego procesu stochastycznego (np. białego szumu): yt = α + βt + εt Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 (12) Szaeregi czasowe 8 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Funkcja autokorelacji (ACF) mierzy zależności statystycznej zmiennej z jej opóźnieniem k -tego rzędu. ACF: PT−k (yt − ȳ)(yt+k − ȳ) i=1 ρ̂ = PT 2 k i=1 (yt − ȳ) (13) Funkcja cząstkowej autokorelacji (PACF) uwzględnia tylko opóźnienie dokładnie k-tego stopnia Statytyka Borce’a -Pierce Q : weryfikacja statystycznej istotności współczynnika autokorelacji Q=T K X ρ̂2k (14) k=1 rozkład χ2 z K stopniami swobody Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 9 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Test Dickeya - Fullera Test KPSS Outline 1 2 3 4 5 Stacjonarność i Integracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Testy pierwiastka jednostkowego Test Dickeya - Fullera Test KPSS Modele ARMA Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Model z rozkładem opóźnień Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Regresja pozorna i kointegracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 10 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Test Dickeya - Fullera Test KPSS Testy pierwiastka jednostkowego (unit root tests) służą statystycznej weryfikacji stacjonarności. Proces autoregesyjny pierwszego rzędu: yt = αyt−1 + εt (15) Najprościej sprawdzić czy α = 1 za pomocą testu t-studenta. Gdu α = 1 to szereg czasowy yt jest błądzeniem losowym Ale jeśli tak, jest to estymator jest błędów standardowych α jest obciążony i nie ma rozkładu t-studenta To sprawdźmy czy δ < 0: ∆yt = δyt−1 + εt (16) Zestaw hipotez: H0 : H1 : α=1 α<1 ⇐⇒ ⇐⇒ H0 : H1 : δ=0 δ<0 (17) Hipoteza zerowa oznacza niestacjonarność! Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 11 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Test Dickeya - Fullera Test KPSS Test ADF Wady testu ADF Ma słabą moc w przypadku autokorelacji składnika losowego Założenie o procesie generującym dane, tj. procesie AR(1) bez wyrazu wolnego. Test ADF (augmented Dickey-Fuller test) rozszerzony test Dickeya - Fullera Regresja testowa: ∆yt = γyt−1 + P X αs ∆yt−s + εt (18) i=1 Możliwość uwzględnienia komponentów deterministycznych, tj. wyraz wolny, trend liniowy itp. Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 12 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Test Dickeya - Fullera Test KPSS Wartości krytyczne testu ADF Wartości krytyczne dla testu ADF różnią się od statystyki t-studenta. Wartości krytyczne dla testu ADF są wyznaczane numerycznie i mogą się różnić pomiędzy oprogramowaniem. Tablica: Wartości krytyczne testu ADF Regresja testowa 1% 5% 10% ∆yt = γyt−1 εt -2.56 -1.94 -1.62 ∆yt = α + γyt−1 εt -3.43 -2.86 -2.57 ∆yt = α + δt + γyt−1 εt -3.96 -3.41 -3.13 statystyka t-studenta -2.33 -1.65 -1.28 Uwagi: powyższe wartości krytyczne pochodzą z pracy Davidson i MacKinnon (1993) Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 13 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Test Dickeya - Fullera Test KPSS Altenatywnymi testami są testy: Kwiatkowskiego - Phillipsa - Schmidta Shina, Phillipsa-Perrona. Test KPSS zakłada dekompozycja szeregu na część deterministyczną oraz stochastyczną Hipotezy testu są odwrotne niż w teście ADF: H0 : yt stacjonarny H1 : yt niestacjonarny Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe (19) 14 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Test Dickeya - Fullera Test KPSS Testy pierwiastka jednostkowego – uwagi praktyczne Dobór komponentu deterministycznego w regresji powinien korenspondować obserwacjom empirycznym, tj.: i) Jeżeli zmienna yt oscyluje wokół zera =⇒ test ADF bez komponentu deterministycznego. ii) Jeżeli zmienna yt fluktuuje wokół stałej =⇒ test ADF z wyrazem wolnym. iii) Jeżeli zmienna yt wykazuje wyraźny deterministyczny trend =⇒ test ADF z wyrazem wolnym i trendem liniowym. ALE uwzględnienie trendu liniowego zmienia interpretację wyników testu. W procedurze badania stopnia integracji należy zachować rozsądek. Test ADF może wskazywać na niestacjonarność szeregu czasowego, ale powodem takich wyników może nie być faktyczna niestacjonarność, a np.: i) słaba moc testu ADF oraz (lub) wysoka persytencja szeregu czasowego ii) obecność zmian strukturalnych. iii) skomplikowany proces generujący dane. Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 15 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA Modele ARMA Outline 1 2 3 4 5 Stacjonarność i Integracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Testy pierwiastka jednostkowego Test Dickeya - Fullera Test KPSS Modele ARMA Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Model z rozkładem opóźnień Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Regresja pozorna i kointegracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 16 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA Modele ARMA Proces autoregresyjny pierwszego stopnia AR(1) yt = µ + ρyt−1 + εt (20) gdzie εt ∼ N (0, σ) Wybrane własności procesu AR(1) E(yt ) = Var(yt ) = µ 1−ρ σ2 1 − ρ2 (21) (22) Proces autoregresyjny p-tego stopnia AR(p) yt = µ + φ1 yt−1 + φ2 yt−2 + ... + φp yt−p + εt (23) Oszacowania modeli autoregresyjnych można uzyskać przy pomocy MNK. Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 17 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA Modele ARMA Proces MA(1): yt = µ + εt + φ1 εt−1 (24) yt = µ + εt + φ1 εt−1 + φ2 εt−2 + ... + φq εt−q (25) gdzie εt ∼ N (0, σ) Proces MA(q): Prametry modelu MA nie mogą być szacowane MNK (dlaczego?) Najczęsciej stosuje się warunkową sumę kwadratów reszt CSS Każdy stacjonarny proces autoregresyjny moża zapisać za pomocą modelu MA(∞)!. Przykład dla AR(1) bez wyrazu wolnego yt = ρyt−1 + εt (26) Załóżmy, że ε0 = 1 i dla t > 1, εt = 0. Wtedy: y0 = 0×ρ+1=1 y1 = y0 × ρ + 0 = 1 = ρ y2 = ... (27) y1 × ρ + 0 = ρρ = ρ (28) 2 (29) (30) Łatwo zauważyć, że yt = ∞ X ρi yt−i + εt (31) i=1 Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 18 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA Modele ARMA Proces ARMA(1,1): yt = µ + α1 yt−1 + εt + φ1 εt−1 (32) Lub ogólniej ARMA(p,q) yt = µ + α1 yt−1 + ... + αp yt−p + εt + φ1 εt−1 + ... + φq εt−q Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe (33) 19 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Model z rozkładem opóźnień Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Outline 1 2 3 4 5 Stacjonarność i Integracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Testy pierwiastka jednostkowego Test Dickeya - Fullera Test KPSS Modele ARMA Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Model z rozkładem opóźnień Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Regresja pozorna i kointegracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 20 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Model z rozkładem opóźnień Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Model z rozkładem opóźnień DL (distributed lags model): yt = α0 + K X βi xt−i + εt (34) i=0 Mnożnik krótkookresowy (jednoczesny, β SR ): β SR = β0 (35) Mnożnik długookresowy (β LR ): β LR = β0 + β1 + . . . + βK (36) Parametry strukturalne modelu (34) można szacować przy pomocy MNK. Należy pamiętać o weryfikacji założeń związanych ze składnikiem losowym. Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 21 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Model z rozkładem opóźnień Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień ADL(P,K) (autoregressive distributed lags model): yt = α0 + P X αi yt−i + K X i=1 βi xt−i + εt (37) i=0 Mnożnik krótkookresowy (jednoczesny, β SR ): β SR = β0 (38) Mnożnik długookresowy (β LR ): β LR PK β β0 + β1 + . . . + βK i=0 i = = P P 1 − α1 − α2 − . . . − αP 1 − i=1 αi (39) Parametry strukturalne modelu (37) można szacować przy pomocy MNK. Należy pamiętać o weryfikacji założeń związanych ze składnikiem losowym. Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 22 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Model z rozkładem opóźnień Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Wybór specyfikacji modelu dynamicznego jest konsensusem pomiędzy utratą efektywności oszacowań w przypadku bogatej specyfikacji, a obciążeniem i zgodnością oszacowań wynikających z pominięcia istotnych opóźnień. Od ogółu do szczegółu (from general to specific): selekcja jest rozpoczynana od bardzo bogatej specyfikacji dynamicznej. Następnie, eliminacji ze specyfikacji modelu dynamicznego poddawane są kolejne opóźnienia. Od szczegółu do ogółu (from specific to general): selekcja jest rozpoczynana od prostej specyfikacji. Kolejno, dodawane są kolejne opóźnienia. Kryteria wyboru W doborze odpowiedniej specyfikacji powinno uwzględniać informację o i) włanościach składnika losowego oraz ii) istotności zmiennych. Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 23 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Outline 1 2 3 4 5 Stacjonarność i Integracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Testy pierwiastka jednostkowego Test Dickeya - Fullera Test KPSS Modele ARMA Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Model z rozkładem opóźnień Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Regresja pozorna i kointegracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 24 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Stacjonarność szeregów czasowych w analizie ekonometrycznej jest pożądana w celu uniknięcia uzyskania istotnych statystycznie oszacowań na podstawie braku zależności pomiędzy zmiennymi. Taka sytuacja jest nazywana regresją pozorną. Zilustrujmy to na przykładzie regresji dla dwóch losowo wygenerowanych procesów błądzenia losowego (yt i xt ): DGP1 : DGP2 : yt xt = = yt−1 + εt xt−1 + ηt (40) gdzieηt ∼ N 0, ση2 i εt ∼ N 0, σε2 . Szeregi czasowe yt I xt są wygenerowane niezależnie od siebie, a więc brak jest zależności pomiędzy nimi. Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 25 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) 10 20 30 40 50 60 Rysunek: Wygenerowane losowo szeregi czasowe yt i xt 0 y_t x_t 0 100 200 300 400 500 600 700 Time Pomimo braku faktycznej zależności, oba szeregi wykazują rosnącą tendencję. Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 26 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) rw2 0 10 20 30 40 50 Rysunek: Wykres rozrzutu wygenerowanych szeregów yt i xt 10 20 30 40 50 60 rw1 Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 27 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Regresja liniowa yt względem xt (błędy standardowe w nawiasach): yt = 17.818 + 0.842xt (0.62048) (41) (0.02062) Statystyka testu t-studenta xt : 40.82 R2 wynosi około 0.705 Z drugiej strony wiemy, że tak naprawdę brak jest prawdziwej zależności pomiędzy tymi zmiennymi. Dlatego powyższe oszacowania są pozorne (spurious). W przypadku regresji pozornej, reszty z modelu liniowego są niestacjonarne i wykazują autkorelację. Składnik resztowy Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 28 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) −20 −10 0 10 20 Rysunek: Składnik resztowy z regresji yt względem xt 0 100 200 300 400 500 600 700 Time Statystyka Durbina-Watsona: 0.22 Statystyka LM (autokorelacja pierwszego rzędu): 682.958[0.0000] Powrót Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 29 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Szczególnym przypadkiem zależności pomiędzy dwoma zmiennymi niestacjonarnymi jest kointegracja. Założmy, że yt oraz xt są zintegrowane w stopniu pierwszym oraz, że składnik resztowy et , t.że: et = yt − β0 − β1 xt (42) jest stacjonarny. Wtedy powiemy, że zmienne xt oraz yt są skointegorwane. Intuicja(1): Jeżeli zmienne są skointegrowane to podażają za tym samym trendem stochastycznym. Intuicja(2): Jeżeli zmienne są skointegorwane to występuje długookresowa relacja (równowaga) pomiędzy nimi. Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 30 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Testowanie kointegracji Krok pierwszy: badanie stacjonarności zmiennych. Jeżeli zmienna xt oraz yt są zintegrowane w stopniu pierwszym to można przejść do kolejnego etapu. Krok drugi: oszacowanie modelu dla poziomów wybranych zmiennych, a następnie badanie stacjonarności składnika losowego (et ): et = yt − β0 − β1 xt (43) H0 : H1 : (44) Hipotezy testu: H0 : H1 : et ∼ I(1) et ∼ I(0) ⇐⇒ ⇐⇒ xt and yt nie są skointegorwane xt and yt są skointegorwane Statystyka testu jest jest analogiczna jak w przyapdku testu ADF, ale wykorzystuje się inne statystyki testowe. Tablica: Critical values Model 1% 5% 10% yt = β1 xt + et yt = β0 + β1 xt + et yt = β0 + δt + β1 xt + et -3.39 -3.96 -3.98 -2.76 -3.37 -3.42 -2.45 -3.07 -3.13 Uwagi : wartości krytyczne na podstawie pracy Hamiltona (1994) Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 31 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Jeżeli zmienne xt oraz yt są skointegrowane to w modelowaniu można uwzględnić informację od odchyleniu od trendu stochastycznego. et = yt − β0 − β1 xt (45) Składnik resztowy, et jest stacjonarny. Ponadto, et wyraża odchylenie od długookresowego stochastycznego trendu (lub równowagi pomiędzy tymi zmiennymi). Elastyczność długookresowa to β1 w równaniu (45). W krótkooresowej analizie można uwzględnić odchylenie od równowagi długookresowej wykorzystując opóżniony o jeden okres składnik resztowy, tj. et−1 . ∆yt = α0 + δet−1 + P X αi ∆yt−i + i=1 K X βi ∆xt−i + εt (46) i=0 Równanie (46) opisuje model korekty błędem (error correction model). Parametr δ identyfikuje tempo powrotu do równowagi dlugookresowej. Uwaga: δ ∈ (−1, 0) okres połowicznego wygaśnięcia (half-life) hl = Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 ln(0.5) ln(1 + δ) (47) Szaeregi czasowe 32 / 33 Stacjonarność i Integracja Testy pierwiastka jednostkowego Modele ARMA Modele z rozkładem opóźnień Regresja pozorna i kointegracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Modelowanie zmiennych niestacjonarnych Trendostacjonarność Trend stochastyczny Model ARDL poziomy zmiennych Kointegracja + trend Brak kointegracji deterministyczny Elastyczności długookresowe - Model korekty model dla zmiennych błędem (ECM) Model ARDL pierwsze przyrosty zmiennych I(1) Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 33 / 33