a) roczne odsetki proste od lokaty 7500 zł, jeśli stopa procentowa w

EMF
matematyka finansowa
praca domowa 1 - semestr letni 2012/2013
rozwiązania 3 kwietnia 2013
1. Obliczyć:
a) roczne odsetki proste od lokaty 7500 zł, jeśli stopa procentowa w skali roku wynosi 6%, w I kwartale i
zmniejsza się o 0,5 punktu procentowego w każdym następnym kwartale,
b) przeciętną roczną stopę oprocentowania prostego tej lokaty,
c) przeciętną miesięczną stopę oprocentowania tej lokaty.
rozwiązanie:
Dane:
i1 = 6%, i2 = 5, 5%, i3 = 5%, i4 = 4, 5% - stopy oprocentowania prostego (w stosunku rocznym) w kolejnych
kwartałach;
P = 7500 - kapitał początkowy
a) roczne odsetki liczymy ze wzoru:
I = P(
i2
i3
i4
i1
+ + + ) = 393, 75
4
4
4
4
b) niech ī oznacza przeciętną roczną stopę oprocentowania tej lokaty, wyznaczamy ją porównując roczne czynniki
oprocentowujące
i2
i3
i4
i1
+ + +
ī =
4
4
4
4
stąd ī = 5, 25%.
c) niech īm oznacza przeciętną miesięczną stopę oprocentowania tej lokaty, wyznaczymy ją podobnie jak w b)
porównując roczne czynniki oprocentowujące
12īm =
i1
i2
i3
i4
+ + +
4
4
4
4
lub biorąc pod uwagę, że
īm =
ī
12
stąd īm = 0, 44%
2. Adrian wpłacił przed rokiem na swoje konto pewną kwotę pieniędzy. Obecnie wraz z odsetkami ma na koncie
10500 zł. Oprocentowanie tego konta wynosi 5% rocznie.
a) Jaka kwota była wpłacona przed rokiem?
b) Jaki będzie stan konta za rok, jeśli stopa procentowa się nie zmieni?
c) Przy jakiej stopie procentowej kwota z punktu a) zwiększona o dwuletnie odsetki proste osiągnie stan konta
obliczony w puncie b)?
rozwiązanie:
a) wartość kapitału początkowego obliczamy następująco
P =
K
10500
=
= 10000
1+i
1, 05
b) stan konta po upływie kolejnego roku wyniesie
K2 = 10500(1 + i) = 11025
c) niech i1 oznacza roczną stopę oprocentowania prostego dwuletniej lokaty równoważną warunkom oprocentowania
składanego, wtedy porównując dwuletni czynnik oprocentowujący otrzymujemy zależność
1 + 2i1 = (1 + i)2
stąd
i1 =
(1 + i)2 − 1
= 5, 125%
2
3. Po ilu latach przy rocznej stopie procentowej i = 4, 52% odsetki od kapitału 4000 zł przekroczą 1900 zł? Ile
wyniosą odsetki należne za kolejne trzy lata?
rozwiązanie:
Dane:
i = 4, 52% - roczna stopa oprocentowa (oprocentowania składanego);
P = 4000 - wartość kapitału początkowego;
szukamy n - liczby lat po upływie których wartość kapitału końcowego będzie większa niż 5900, zatem musimy
rozwiązać nierówność
P (1 + i)n > 5900
stąd
n>
ln 59
40
≈ 8, 79
ln 1, 0452
potrzeba zatem 9 lat, by odsetki przekroczyły wartość 1900.
aby obliczyć wartość odsetek w kolejnych 3 latach policzmy wartość kapitału na koniec 9-tego roku
K9 = P (1 + i)9 = 4000(1, 0452)9 = 5954, 63
następnie policzmy wartość kapitału po upływie kolejnych trzech lat, tj. na koniec 12-tego roku
K12 = P (1 + i)12 = 4000(1, 0452)12 = 6799, 12
stąd odsetki za kolejne trzy lata wynoszą:
I = K12 − K9 = 844, 49
4. Wiemy, że liczba ludności Ekwadoru rośnie 3% rocznie i podwoi się w ciągu x lat, natomiast liczba ludności Kanady
rośnie 1,5% rocznie i jej podwojenie nastąpi w ciągu y lat. Znaleźć iloraz xy
rozwiązanie:
niech E oznacza liczbę ludności Ekwadoru, K - liczbę ludności Kanady, z warunków zadania wynika, że
2E = E(1 + 0, 03)x
2K = K(1 + 0, 015)y
stąd
x=
zatem
ln 2
ln 1, 03
y=
ln 2
ln 1, 015
y
ln 1, 03
=
≈ 1, 985
x
ln 1, 015
uwaga:
• za każde zadanie można otrzymać maksymalnie 1 punkt;
• przewidziana jest punktacja: 0, 21 lub 1pkt;
• zadania należy rozwiązywać w podzespołach dwuosobowych;
termin oddania pracy domowej: 21 marca 2013;