114f3c9aebf069e4ec0a..

Zadania z fizyki dla Informatyki Stosowanej, I rok (na 6/13.10. 2011)
(R. Resnick, D. Halliday, Fizyka t.1, PWN 1993
R. Resnick, D. Halliday, J. Walker, Podstawy Fizyki t.1, PWN 2003 ).

 
 


Z.1.1) Dane są dwa wektory: a  4ˆi  3ˆj  kˆ ; b  ˆi  ˆj  4kˆ . Znaleźć (a) a  b; (b) a  b; (c) wektor c
  

taki, że a  b  c  0. (d) Znaleźć długość wektora c (9/39).

Z.1.2) Wyznacz składowe wektora a, który zaczepiony jest w początku układu współrzędnych, jego długość
wynosi 10 i tworzy on kąt z osią X 60o.
Z.1.3) Dwa wektory o długościach a i b, których początki stykają się ze sobą, tworzą kąt θ. Udowodnić,
znajdując ich składowe wzdłuż dwu prostopadłych osi, że długość wektora wypadkowego wynosi
r  a 2  b 2  2abcos (12/39).
Rys.1
Rys.2
Z.1.4) a) Wykazać, korzystając z układu współrzędnych, przedstawionego na rys.1, że ˆi  ˆi  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  1
oraz ˆi  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  ˆi  0 (21/41). b) Korzystając z prawoskrętnego układu współrzędnych przedstawionego na
rys.1 wykazać, że ˆi  ˆi  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  0 oraz ˆi  ˆj  kˆ , kˆ  ˆi  ˆj , ˆj  kˆ  ˆi (22/41).
Z.1.5) Iloczyn skalarny w notacji wektorów jednostkowych. Mamy dwa wektory przedstawione w postaci


 
a  ˆia x  ˆja y  kˆ a z oraz b  ˆibx  ˆjb y  kˆ bz . Wykazać analitycznie, że a  b  a x b y  a y b y  a z bz .
(31/41).
Z.1.6) Iloczyn wektorowy w notacji wektorów jednostkowych. Mamy dwa wektory przedstawione w postaci


a  ˆia x  ˆja y  kˆ a z oraz b  ˆibx  ˆjb y  kˆ bz . Wykazać analitycznie, że
 
a  b  ˆi (a y bz  a z b y )  ˆj(a z bx  a x bz )  kˆ (a x b y  a y bx ) .



Z.1.7) Dane są trzy wektory: a  5ˆi  4ˆj - 6kˆ , b  2ˆi  2ˆj  3kˆ oraz c  4ˆi  3ˆj  2kˆ . a) Oblicz wektor
   

r  a  b  c , wyrażając go za pomocą wektorów jednostkowych. b) Wyznacz kąt tworzony przez wektor r z


dodatnim kierunkiem osi z. c) Oblicz składową wektora a w kierunku wektora b . d) Oblicz składową wektora


 
a wzdłuż osi prostopadłej do wektora b i leżącej w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory a i b (RHWZ
40/15).



Z.1.8) Dane są trzy wektory: A  2ˆi  3ˆj - 4kˆ ; B  3ˆi  4ˆj  2kˆ i C  7ˆi  8ˆj . Ile wynosi (a)

 


3C  (2A  B) (RHW 36/56). (b) Jaki jest kąt pomiędzy wektorami A i B ? (c) Ile wynosi składowa wektora



B na kierunek wektora A i odwrotnie? (d) Znajdź kierunek wektora (wersora) prostopadłego do wektorów A

i B.
Z.1.9) a) Wykazać, że wartość bezwzględna iloczynu wektorowego dwóch wektorów równa jest liczbowo
polu równoległoboku, którego bokami są te dwa wektory (patrz rys.2). Czy fakt ten sugeruje, w jaki sposób
można by za pomocą wektora przedstawić element powierzchni zorientowany w przestrzeni (28/41)? b)


Wykazać, że aˆ  b  b cos  a a  bˆ  a cos  .
  
Z.1.10) Wykazać, że wartość iloczynu a  (b  c ) jest równa liczbowo objętości równoległościanu zbudo  
  
wanego na wektorach a , b i c (29/41). (c) Przypuśćmy, że a , b i c są trzema dowolnymi wektorami nie
leżącymi w jednej płaszczyźnie. Nie muszą one tworzyć ze sobą kątów prostych. (a) Wykazać, że
        
a  (b  c ) = b  (c  a) = c  (a  b) (36/42).

 


Z.1.11) Dane są trzy wektory: a  3iˆ  3 ˆj  2kˆ ; b  iˆ  4ˆj  2kˆ ; c  2iˆ  2 ˆj  kˆ . Znaleźć: (a) b  c i
 
   
   
 
  
a  (b  c ) , (b) a  b i a  b , (c) a  c i a  c (34/42) (d) znajdź kąt pomiędzy wektorami b i c oraz a i c .



e) Oblicz składową wektora b w kierunku wektora a . d) Oblicz składową wektora b wzdłuż osi prostopadłej



do wektora a i leżącej w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory a i b . f) Znajdź kierunek wektora
 
(wersora) prostopadłego do wektorów a i b .
Z.1.12) Złoto, którego centymetr sześcienny ma masę 19.32 g jest najbardziej kowalnym i ciągliwym
metalem – można z niego wykuwać bardzo cienkie folie i wyciągać bardzo długie druty. a) Ile wynosi pole
powierzchni folii o grubości 1 μm, wykutej z jednej uncji złota o masie 27.63 g? Ile wynosi długość drutu,
którego przekrojem jest koło o promieniu 2.5 μm, wyciągniętego z takiej samej ilości złota (RHW 20/11)?
Z.1.13) Centymetr sześcienny żelaza ma masę 7.87 g, a masa atomu żelaza wynosi 9.27∙10-26 kg.
Przyjmując, że atomy żelaza mają kształt kuli i są ciasno upakowane w objętości metalu oblicz: a) objętość
atomu żelaza, b) odległość środków sąsiednich atomów (RHW 23/11).
Liczenie pochodnych (f i g są dowolnymi funkcjami zmiennej x, a a, b i m są stałymi):
d
d
af   a df ,
af  bg   a df   b dg  ,
1.
dx
dx
dx
 dx   dx 
 df 
 dg 
  g  f  

d  f   dx 
d
 dx 
 fg    df  g  f  dg  ,
2.
,
  
2
dx  g 
g
dx
 dx 
 dx 
d
 f g    df  dg  ,
dx
 dg  dx 
d m

x   mx m1 ,
4.
dx
d
sin x   cos x ,
5.
dx
3.
d
ln x   1 ,
dx
x
d
cos x    sin x ,
dx
d x

e   ex ,
dx
d
tg x   12 ,
dx
cos x
Prędkość i przyspieszenie(liniowe/kątowe):
d   d 
d 
r   v , v   a /
    , d     .
dt
dt
dt
dt
Z.1.14) Ruch jednowymiarowy. Spadochroniarz wyskakuje z samolotu i spada swobodnie przez pierwsze
50 m. Następnie otwiera spadochron i od tego czasu spada z opóźnieniem 2 m/s2. W chwili zetknięcia z
ziemią ma prędkość 3 m/s2. a) Jak długo spadochroniarz pozostaje w powietrzu? b) Z jakiej wysokości odbył
się ten skok (RHW 64/36)? Ile wynosi średnia prędkość spadochroniarza?
Z.1.15) Ruch jednowymiarowy punktu materialnego jest opisany wzorem x(t ) 
g
2
t  e   ,
 t
gdzie g
(przyspieszenie ziemskie) i α ─ dodatnie i stałe wartości. Znaleźć a) prędkość b) przyspieszenie punktu. Co
dx
g
dv
 v  1  e t ,
 a  ge t .)
to może być za ruch? (Odp.:
dt

dt