Parowanie trypletowe elektronów zaindukowane oddzia lywaniami

Uniwersytet Jagielloński
Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego
Parowanie trypletowe elektronów
zaindukowane oddziaÃlywaniami
wymiennymi.
Zygmunt Starypan
Praca magisterska
wykonana w ZakÃladzie Teorii Materii Skondensowanej
Opiekun pracy: prof. dr hab. Józef SpaÃlek
Kraków, czerwiec 2004
Opiekunowi mojej pracy magisterskiej
za wskazanie tematu oraz nieoceniona, pomoc
jakiej mi udzieliÃl w trakcie moich studiów,
pragne, goraco
podziekować.
,
,
Spis treści
1 Wstep
,
1.1 Wprowadzenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Uwaga metodologiczna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Cel pracy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
6
7
2 Ogólne sformuÃlowanie problemu Coopera
8
2.1 Wprowadzenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Rozwiazanie
problemu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
,
2.2.1 Gestość
stanów, energia Fermiego i stacjonarne równanie
,
Schrödingera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Energia wiazania
i potencjaÃl parujacy
w przestrzeni
,
,
pedów.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
,
2.3 Podsumowanie rozdziaÃlu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 UkÃlad elektronów o spinowo-zależnych masach
3.1 Wprowadzenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Rozwiazanie
problemu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
3.2.1 Energia Fermiego i gestość
stanów. . . . . . . . . . .
,
3.2.2 Energia wiazania
i
potencjaÃ
l parujacy
w przestrzeni
,
,
pedów.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
3.3 Podsumowanie rozdziaÃlu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
. 20
. 21
. 21
. 25
. 31
4 Problem Coopera w jezyku
II kwantowania
32
,
4.1 Podstawowe definicje w II kwantowaniu. . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Rozwiazanie
problemu Coopera w jezyku
II kwantowania. . . . 34
,
,
4.3 Podsumowanie rozdziaÃlu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Podsumowanie pracy
36
3
RozdziaÃl 1
Wstep
,
1.1
Wprowadzenie.
Zjawisko nadprzewodnictwa zostaÃlo odkryte w 1911 r. przez H. Kamerlinga
Onnesa [2]. ZaobserwowaÃl on gwaÃltowny spadek do zera oporu w próbce
rteci,
która, schÃlodzono poniżej temperatury 4,2 K. Druga podstawowa ce,
cha stanu nadprzewodzacego,
a mianowicie idealny diamagnetyzm, zostaÃla
,
odkryta w 1933 r. przez Meissnera i Ochsenfelda. Zaobserwowane wÃlasności
nowoodkrytych materiaÃlów otwieraÃly przed nimi szeroki zakres zastosowań.
Poważnym ograniczeniem pierwszych nadprzewodników byÃly: maÃly prad
, krytyczny, niskie krytyczne pole magnetyczne HC niszcace
nadprzewodnictwo a
,
także niska temperatura przejścia w stan nadprzewodzacy.
Niezbedne
zatem
,
,
staÃlo sie, teoretyczne wyjaśnienie nowo odkrytego zjawiska, bowiem zrozumienie go mogÃlo pomóc w przezwycieżeniu
ograniczeń wystepuj
acych
dla
,
,
,
pierwszych odkrytych nadprzewodników.
Pierwszym modelem, który w prosty sposób tÃlumaczyÃl efekt MeissneraOchsenfelda, byÃl model ”dwucieczowy”, zaproponowany przez braci Londonów w 1934 r. Postulowali oni istnienie w nadprzewodniku dwóch rodzajów
elektronów, tzw. skÃladowej normalnej i nadciekÃlej; przy czym ta nadciekÃla
odpowiadaÃla za bezoporowy przepÃlyw pradu.
Już tak proste zaÃlożenie po,
zwoliÃlo przewidzieć istnienie gÃlebokości
wnikania λ, na która, nastepuje
pe,
,
netracja próbki przez nateżenie
pola magnetycznego H.
,
W 1950 r. Ginzburg i Landau podali fenomenologiczna, (makroskopowa)
,
teorie, nadprzewodnictwa. W swym podejściu wykorzystali teorie, Landaua
dotyczaca
przejść fazowych II rodzaju, w której wprowadza sie, modyfikacje,
,
energii swobodnej Helmholtza o skÃladniki zawierajace
parametr porzadku.
,
,
Teoria ta okazaÃla sie, niezwykle trafna i umożliwiÃla przewidzenie wielu dalszych wÃlasności nadprzewodników, zwÃlaszcza przy obecności pola magne-
4
ROZDZIAÃL 1. WSTEP
,
5
tycznego, m.in. odkrytych (teoretycznie) przez Abrikosova w 1957 r. nadprzewodników II rodzaju. W materiaÃlach tych strumień pola magnetycznego
powyżej wartości krytycznej nateżenia
pola magnetycznego H = Hc1 wnika
,
do wnetrza
próbki w postaci wirów.
,
Pomimo sukcesów, przedstawione teorie miaÃly jedna, zasadnicza, wade:
,
nie dawaÃly wyjaśnienia zjawiska nadprzewodnictwa na poziomie mikroskopowym. Ciagle
nie znana byÃla przyczyna tak ”dziwnego” zachowania sie,
,
elektronów w tych materiaÃlach.
Pierwsza mikroskopowa teoria nadprzewodnictwa zostaÃla przedstawiona
w 1957 r. przez Bardeena, Coopera i Schriefera - jest to tzw. teoria BCS. Kluczem do jej sformuÃlowania staÃlo sie, rozwiazanie
tzw. ”problemu Coopera”[6].
,
Rozwiazanie
to przewidywaÃlo efekt Ãlaczenia
sie, pojedynczych elektronów w
,
,
metalu w stany zwiazane
par (tzw. pary Coopera) na skutek przyciagaj
acego
,
,
,
efektywnego oddziaÃlywania miedzy
nimi.
W
spektrum
wzbudzeń
elektrono,
wych ukÃladu wystepuje
wtedy
przerwa
energetyczna, oddzielajaca
stan pod,
,
stawowy od stanu rozerwanej pary elektronów. W rzeczywistym materiale
nadprzewodzacym
elektrony paruja, sie, (przy czym jeden elektron jest spa,
rowany z wieloma innymi) i poniżej temperatury krytycznej T = Ts pary
elektronów kondensuja, w silnie skorelowany kondensat par, które poruszaja,
sie, poprzez ukÃlad bezoporowo.
Teoria BCS opisuje doskonale klasyczne materiaÃly nadprzewodzace
zwane
,
nadprzewodnikami I rodzaju. W jej ramach można obliczyć wiele użytecznych
wÃlasności ściśle zgadzajacych
sie, z doświadczeniem. Jednakże nie sprawdza
,
sie, ona w przypadku odkrytych w 1986 r. przez G. Bednorza i K. Müllera
[9] nadprzewodników wysokotemperaturowych. Zjawiska zachodzace
w tych
,
materiaÃlach próbuje sie, opisać poprzez różnorodne modyfikacje teorii BCS,
lub też przez zupeÃlnie nowe podejście teoretyczne. Pomimo wszelkich dotychczasowych starań, jednolita teoria nadprzewodnictwa wysokotemperaturowego nie zostaÃla jeszcze stworzona. Podobnie ma sie, sytuacja z nadprzewodnictwem w materiaÃlach takich jak ukÃlady cieżkich
fermionów (CeCu2 Si2 ,
,
U Be13 , itd.) czy metale organiczne.
ROZDZIAÃL 1. WSTEP
,
1.2
6
Uwaga metodologiczna.
OddziaÃlywanie wymienne charakteryzuje sie, zależnościa, od iloczynu skalar~α · S
~β , gdzie S
~α oraz S
~β sa operatorami spinu wyrażonymi w
nego spinów S
,
reprezentacji fermionowej, np.
¢ ¡
¡
¢
~α ≡ Sα+ , Sα− , Sαz = a†α ↑ aα↓ , a†α ↓ aα↑ , 1 (a†α ↑ aα↑ − a†α ↓ aα↓ ) .
S
2
W ogólności zatem bedziemy
rozważać potencjaÃl parujacy
w I kwantowaniu
,
,
jako zależny od cosθαα0 , gdzie θαα0 jest katem
wzglednym
pomiedzy
spinami w
,
,
,
stanach |αi|α0 i. Sprawa ma sie, troche, inaczej jeżeli używamy reprezentacji II
kwantowania. Ściślej mówiac,
, parowanie elektronów ze spinami równolegÃlymi
wymaga ze wzgledu
na zakaz Pauliego nietrywialnego charakteru potencjaÃlu
,
parowania. A to zwykle oznacza, że funkcje falowe pary musza, zawierać
skÃladowe z niezerowym momentem pedu,
co w konsekwencji prowadzi do
,
nietrywialnej zależności katowej
i
to
zarówno
potencjaÃlu parujacego
jak i
,
,
wynikajacych
z niego funkcji falowych. W tej pracy bedziemy
wiec
,
,
, zatem
rozwijać w harmoniki sferyczne funkcje falowe przy potencjale rozwijanym w
odpowiadajace
im funkcje Legendre’a.
,
ROZDZIAÃL 1. WSTEP
,
1.3
7
Cel pracy.
Celem niniejszej pracy jest zbadanie mechanizmu tworzenia sie, stanu zwiazane,
go dwóch elektronów zaindukowanego oddziaÃlywaniami wymiennymi. Jak
już to powiedzieliśmy wyżej, takie oddziaÃlywanie zależy w sposób nietrywialny od kata
jaki tworza, miedzy
soba, spiny elektronów. Prowadzić to
,
,
powinno do nietrywialnego stanu spinowego czastek
w stanie zwiazanym.
,
,
RozdziaÃl pierwszy zawiera krótka, historie, nadprzewodnictwa. W rozdziale drugim rozważamy mechanizm ogólnego parowania dwóch elektronów
zaindukowanego oddziaÃlywaniami wymiennymi. RozdziaÃl trzeci poświecony
,
zostaÃl parowaniu dwóch elektronów, których masa dodatkowo zależna jest od
rzutów ich spinów na zadana, oś kwantyzacji (czyli od liczby kwantowej ”m”).
Problem omówiony w tym rozdziale może wydawać sie, bardzo abstrakcyjny
i oderwany od rzeczywistości. Jednakże, jak pokazane zostaÃlo w pracach [4]
i [5], istnieja, ukÃlady ze zniesiona, degeneracja, spinowa, elektronów, w których
na skutek oddziaÃlywania kulombowskiego typu Hubbarda masa efektywna
elektronów zależna jest od orientacji ich spinów.
W rozdziale czwartym w zwiezÃ
, ly sposób zostaÃly przedstawione w jezyku
,
II kwantowania problemy omówione w rozdziaÃlach poprzednich.
PoÃlaczenie
powyższych rozważań w jednolity formalizm pozwoli na stwo,
rzenie ogólnego modelu parowania elektronów zaindukowanego oddziaÃlywaniami wymiennymi.
RozdziaÃl 2
Ogólne sformuÃlowanie
problemu Coopera
2.1
Wprowadzenie.
W tym rozdziale rozważamy pojedyncza, pare, elektronów znajdujacych
sie,
,
na lub powyżej powierzchni Fermiego i oddziaÃlujacych
ze soba, sÃlabym po,
tencjaÃlem przyciagaj
acym.
O
spinie
wypadkowym
stanów
pary nie bedziemy
,
,
,
nic zakÃladać. W tym przypadku zaistnieć moga, dwie możliwości parowania.
Pierwsza to taka, w której rozpatrywane elektrony maja, antyrównolegÃle
(przeciwne) spiny. Taka, pare, elektronów nazywamy para, singletowa,, zaś
samo parowanie określa sie, mianem singletowego.
Druga z tych możliwości to taka, w której rozpatrywane elektrony maja,
równolegÃle spiny. Taka, pare, elektronów nazywamy para, trypletowa,, a samo
parowanie określa sie, jako trypletowe.
OddziaÃlywanie pomiedzy
elektronami wewnatrz
kuli Fermiego a opisy,
,
wana, para, elektronów jest na tyle sÃlabe, że możemy je zaniedbać (mówimy
wtedy, że pojedyncza para Coopera nie jest w stanie wzburzyć spokojnego
morza Fermiego). Ściślej mówiac,
, opisujemy elektrony w pobliżu powierzchni
Fermiego jako niezależne kwaziczastki
charakteryzujace
elektronowa, ciecz
,
,
Fermiego-Landaua. Z powodu podobieństw zjawiska nadprzewodnictwa w
różnych materiaÃlach zakÃladamy, że szczegóÃly ich struktury elektronowej i
krystalicznej nie maja, wpÃlywu na jakościowe zrozumienie stanu nadprzewodzacego.
Stad
też zamiast periodycznego potencjaÃlu pochodzacego
od
,
,
,
sieci krystalicznej jonów, wprowadza sie, pudÃlo o objetości
V, a efekty tych
,
oddziaÃlywań kulombowskich a także oddziaÃlywanie odpychajace
miedzy
elek,
,
tronami, zawarte sa, w masie efektywnej kwaziczastek.
,
8
ROZDZIAÃL 2. OGÓLNE SFORMUÃLOWANIE PROBLEMU COOPERA9
2.2
2.2.1
Rozwiazanie
problemu.
,
Gestość
stanów, energia Fermiego i stacjonarne
,
równanie Schrödingera.
Przy periodycznych warunkach brzegowych, stany energetyczne elektronów
w pudle potencjaÃlu opisywane sa, niezaburzona, funkcja, falowa, [2] postaci:
1
(2.1)
Ψn (r) = √ eikn ·r ,
V
oraz energia:,
~2 kn 2
Ekn =
,
(2.2)
2m
gdzie wartości wektora falowego przyjmuja, dyskretne wartości:
2π
oraz
n1 , n2 , n3 ∈ Z,
(2.3)
kn = 1 [n1 , n2 , n3 ],
V3
natomiast m jest masa, efektywna, elektronu w takim ośrodku.
Ze wzgledu
na degeneracje, spinowa, każdy stan może być obsadzony dwu,
krotnie. Dla T = 0 wszystkie poziomy energetyczne, aż do poziomu od2k 2
F
powiadajacego
energii Fermiego EF = ~ 2m
(zgodnie z zasada, Pauliego),
,
sa, zapeÃlnione. Oznacza to, że w przestrzeni pedów
wszystkie stany pedowe
,
,
wewnatrz
kuli
Fermiego
o
promieniu
k
(wektor
falowy
Fermiego) sa, obsaF
,
dzone. W pracy tej używamy wymiennie pojecia
wektora falowego k i pedu
,
,
p = ~k, nawet bez pisania ~ w tym drugim przypadku.
Dla N elektronów w ukÃladzie można Ãlatwo znaleźć wyrażenie na kF :
N 1
kF = (3π 2 ) 3 .
(2.4)
V
Natomiast gestość
stanów w takim ukÃladzie o objetości
V dana jest wtedy
,
,
zależnościa:,
3
(2m) 2 √
(2.5)
V E.
ρ(E) =
2π 2 ~3
ReguÃla Pauliego oraz brak zaÃlożeń dotyczacych
spinów, rozważanych elek,
tronów, prwadza, do wniosku, że cześć
przestrzenna funkcji falowej takiej pary
,
w przypadku swobodnych czastek
(bez
oddziaÃlywania) jest nastepuj
aca:
,
,
,

1
e 1 , r2 ) = eik1 ·r1 eik2 ·r2
Ψ(r
dla pary singletowej,

V
 e
Ψ(r1 , r2 ) =
1
V
[eik1 ·r1 eik2 ·r2 − eik1 ·r2 eik2 ·r1 ] dla pary trypletowej.
(2.6)
ROZDZIAÃL 2. OGÓLNE SFORMUÃLOWANIE PROBLEMU COOPERA10
Przedstawione powyżej zależności wynikaja, z nastepuj
acego
rozumowa,
,
nia. Funkcja falowa ukÃladu N fermionów jest antysymetryczna, co wiadomo
z [1]. Dodatkowo wiemy, że cześć
spinowa tej funkcji falowej jest odpowied,
nio: antysymetryczna dla singletu (spiny antyrównolegÃle) i symetryczna w
przypadku trypletu (spiny równolegÃle). Wiec
aby zachować antysymetrie,
,
caÃlkowitej funkcji falowej ukÃladu, która jest iloczynem swej cześci
spinowej
,
i przestrzennej, musimy przyjać
odpowiednio jej
, jako zależności określajace
,
cześci
przestrzenne,
funkcje
dane
w
powyższym
ukÃ
l
adzie.
,
W wyniku oddziaÃlywania elektronów, które prowadzi do ich wzajemnego
rozpraszania, pedy
k1 i k2 przestaja, być dobrymi liczbami kwantowymi.
,
Oznacza to, że jako funkcje, falowa, ukÃladu przyjmujemy superpozycje, funkcji
falowych danych równaniem (2.1), w postaci:
Ψ(r1 , r2 ) = χσ1 ,σ2
1 X
ak1 ,k2 eik1 ·r1 eik2 ·r2 ,
V k ,k
1
(2.7)
2
gdzie we wspóÃlczynnikach ak1 k2 kryje sie, symetria (antysymetria) przestrzennej cześci
funkcji falowej, natomiast χσ1 σ2 jest spinowa, cześci
a, rozpatrywanej
,
,
funkcji falowej.
Ponieważ wszystkie stany poniżej poziomu Fermiego sa, obsadzone, musimy narzucić na wspóÃlczynniki ak1 k2 warunek uwzgledniaj
acy
zakaz Pau,
,
liego:
ak1 k2 = 0 dla|k1 |, |k2 | ≤ kF .
(2.8)
Stacjonarne równanie Schrödingera dla pojedynczej pary w rozpatrywanym przypadku ma postać:
¸
·
~2 2
~2 2
∇ −
∇ + V (r1 , r2 ) Ψ(r1 , r2 ) = EΨ(r1 , r2 ).
(2.9)
−
2m r1 2m r2
Opisuje ono problem dwóch ciaÃl o jednakowych masach m1 = m2 = m i
energii potencjalnej wzajemnego oddziaÃlywania V (r1 , r2 ).
Po transformacji zarówno funkcji falowej jak i równania Schrödingera do
wspóÃlrzednych
środka masy (K, R) oraz wspóÃlrzednych
wzglednych
(k, r)
,
,
,
zdefiniowanych odpowiednio w postaci:
½
2
R = r1 +r
2
,
K = k1 + k1
oraz
½
r = r1 − r1
,
2
k = k1 −k
2
ROZDZIAÃL 2. OGÓLNE SFORMUÃLOWANIE PROBLEMU COOPERA11
oraz przy dodatkowym zaÃlożeniu, że potencjaÃl oddziaÃlywania zależy jedynie
od wzglednej
odlegÃlości elektronów V (r1 , r2 ) = V (|r|) = V (r) otrzymujemy
,
zarówno funkcje, falowa, w postaci
Ψ(r1 , r2 ) = χσ1 ,σ2
1 X
aK,k eiK·R eik·r ,
V K,k
jak i stacjonarne równanie Schrödingera typu
¸ X
·
1
~2 2
~2 2
∇R − ∇r + V (r) − E
aK,k eiK·R eik·r = 0,
−
4m
m
V K,k
(2.10)
(2.11)
w którym oczywiście nie wystepuje
spinowa cześć
funkcji falowej. Ponieważ
,
,
wystepowaÃ
la po obu stronach równania i żaden z operatorów na nia, nie
,
dziaÃlaÃl wie, można byÃlo ja, opuścić.
W nastepnym
kroku należy pomnożyć otrzymane równanie lewostron,
1 −iK0 R −ik0 r
e
a nastepnie
obie strony tego równania wycaÃlkować
nie przez: V e
,
3
3
wzgledem
d R i d r. W wyniku takiego postepowania
otrzymujemy równanie:
,
,
·
µ 2 2
¸
¶
X
~K
~2 k 2
0
0
δ(K − K ) δ(k, k )aK,k
+
− E + aK,k Vk−k0 = 0, (2.12)
4m
m
K,k
R
0
gdzie: Vk−k0 = V1 d3 r e−ik ·r V (r)eik·r . Widać, że caÃle równanie jest
mnożone przez δ(K−K0 ), co oznacza, że ped
, środka masy jest w tym ukÃladzie
wielkościa, zachowana,, jak powinno być, gdyż oddziaÃlywanie wzajemne może
jedynie zmienić ped
Z tego też wzgledu
wspóÃlczynniki aKk , które
, wzgledny.
,
,
wprowadzaja, oddziaÃlywanie do funkcji falowej, bed
a
numero, , w dalszej cześci
,
wane tylko indeksem k. Zatem, równanie na energie, wÃlasna, ukÃladu przybiera
teraz postać:
¶ X
µ 2 2
~2 k 02
~K
a k0
+
−E +
ak Vk−k0 = 0
(2.13)
4m
m
k
i prowadzi ono do nastepuj
acego
równania
,
,
a k0 =
2
2
X
−1
ak Vk−k0 .
E(K) + 2E(k0 ) − E k
(2.14)
2 2
K
jest energia, ruchu środka masy, 2E(k) = ~mk jest
gdzie: E(K) = ~4m
energia, ruchu wzglednego
nie oddziaÃlujacych
elektronów, natomiast E jest
,
,
energia, stanu zwiazanego
pary elektronów.
,
ROZDZIAÃL 2. OGÓLNE SFORMUÃLOWANIE PROBLEMU COOPERA12
Ponieważ |ak |2 jest miara, prawdopodobieństwa zaistnienia pary Coopera
w stanie |ki wiec
prawdopodobieństwo po, oczywistym jest, że najwieksze
,
wstania pary Coopera jest wtedy gdy: ∀k ∈ hkFP, ka i : |ak | przyjmuje wartość
maksymalna,, (oczywiście należy pamietać,
że k |ak |2 jest równe jedności),
,
co z kolei pociaga
za soba, warunek: E(K) = 0. Dla pedu
środka masy
,
,
równego zeru, energia wiazania
osi
aga
wartość
maksymaln
a.
Takie
zaÃlożenie
,
,
,
oznacza, że w stanie podstawowym para Coopera (zarówno singletowa jak i
trypletowa) nie niesie ze soba, pradu
elektrycznego (warunek k + k0 = 0 ozna,
cza k0 = −k, a to przy zaÃlożeniu, że masy obydwu elektronów tworzacych
,
pare, sa, równe daje otrzymany rezultat).
Energie, wiazania
pary Coopera, definiujemy w nastepuj
acy
sposób:
,
,
,
E = EK + 2EF − ∆,
gdzie zaÃlożyliśmy, że E(k) = EF
Uwzgledniaj
ac
, w (2.14) zależność (2.15) otrzymujemy:
,
X
−1
ak Vk−k0 .
a k0 =
2[E(k0 ) − EF ] + ∆ k
(2.15)
(2.16)
Powyższe równanie jest punktem wyjścia do dalszych rozważań dotyczacych
,
par Coopera.
2.2.2
Energia wiazania
i potencjaÃl parujacy
w prze,
,
strzeni pedów.
,
Aby można byÃlo kontynuować rozpoczete
rachunki należy powiedzieć czym
,
tak naprawde, sa, wspóÃlczynniki ak oraz jaka, postać w przestrzeni pedów
ma
,
potencjaÃl parujacy
Vk−k0 .
,
PotencjaÃl parujacy
w przestrzeni pedów
w ogólnym przypadku zależy od
,
,
wartości obu wektorów k, k0 oraz od kata
wzgl
ednego
miedzy nimi (oznaczmy
,
,
go przez θ̃). Moglibyśmy zatem zapisać nasz potencjaÃl w bazie ortonormalnych stowarzyszonych funkcji Legendre’a Plm . Jednakże w krysztale, w
którym rozważamy pojedyncza, pare, Coopera, nie istnieje wyróżniony kierunek w przestrzeni. Zatem wartość liczby kwantowej m nie bedzie
odgrywać
,
tutaj roli. Warunek ten pozwala nam zapisać rozpatrywany potencjaÃl w bazie
ortonormalnych wielomianów Legendre’a
Pl =
1 ∂l
(x2
2l l! ∂xl
− 1)l
wzgledem
zmiennej x = cos θ̃ = k̂ · k̂ 0 . W zależności powyższej k̂ i k̂ 0 sa,
,
wersorami odpowiednio w kierunkach wektora k i k0 , natomiast θ̃ jest katem
,
wzglednym
mi
edzy
tymi
wektorami.
,
,
ROZDZIAÃL 2. OGÓLNE SFORMUÃLOWANIE PROBLEMU COOPERA13
WspóÃlczynniki ak zapiszemy w bazie ortonormalnych harmonik sferycznych Ylm (θ, ϕ), które zdefiniowane sa, poprzez zależność:
q
Ylm (θ, ϕ) = ε (2l+1)(l−|m|)!
Plm (cosθ)eimϕ .
4π(l+|m|)!
gdzie: θ i ϕ sa, wspóÃlrzednymi
wektora k, w sferycznym ukÃladzie wspóÃlrze,
,
dnych, wprowadzonym w przestrzeni pedów,
w którym wektor ten ma nastepu,
,
jac

, a, postać:
 kx = k sin θ cos ϕ
ky = k sin θ sin ϕ
(2.17)

kz = k cos θ,
natomiast element ε zdefiniowany jest nastepuj
aco:
,
,
½
(-1)m , dla m > 0;
ε=
1,
dla m ≤ 0.
UkÃlad tych funkcji, (harmonik sferycznych), jest ukÃladem zupeÃlnym, oznacza to, że zachodzi nastepuj
aca
relacja:
,
,
X
∗
Ylm
(θ0 , ϕ0 )Ylm (θ, ϕ) = δ(θ − θ0 )δ(ϕ − ϕ0 ).
(2.18)
lm
Ostatecznie wiec
, mamy:
Vk−k0
¯
¯
¯
¯X r 2l + 1
¯
0 ¯
e
Pl (cos θ)vl (k, k )¯ ,
= −¯
¯
¯
2
(2.19)
l
oraz
ak =
X
alm al (k)Ylm (θ, ϕ),
(2.20)
lm
gdzie: k = |k|, liczby alm sa, wspóÃlczynnikami rozwiniecia,
θ̃ jest katem
,
,
0
pomiedzy
wektorami
k
i
k
.
Natomiast
moduÃ
l
,
zapewnia
ujemn
a
wartość
,
,
potencjaÃlu, co odpowiada parowaniu sie, elektronów.
Rozpatrywana para ma ustalona, wartość liczby l (tutaj l = 0 lub l =
1), wiec
, dla tej wÃlaśnie wartości l element vl jest nie zerowy, a dla innych
wartości l przyjmuje wartość zero. Warunek ten (narzucony przez fizyke,
rozpatrywanego problemu) pozwala nam na opuszczenie sumowania po l, co
też w rezultacie prowadzi do równania postaci:
r
2l + 1
e l (k, k 0 )|.
Vk−k0 = −
Pl (cos θ)|v
(2.21)
2
ROZDZIAÃL 2. OGÓLNE SFORMUÃLOWANIE PROBLEMU COOPERA14
Przyjmujac
zaÃlożenie, że rozważane elektrony oddziaÃluja, miedzy
, upraszczajace
,
,
soba, tylko w waskim
przedziale
wartości
energii
powyżej
powierzchni
Fer,
miego, możemy element vl przybliżyć wyrażeniem:
½
vl = const(k, k 0 )
dla kF < k, k 0 < ka
0
vl (k, k ) =
0
w pozostaÃlych przypadkach
gdzie ka jest wartościa, pedu
z zaÃlożenia niewiele wieksz
a, od kF . Oznacza to,
,
,
że przyciagaj
ace
oddziaÃlywanie miedzy
elektronami jest maÃle w porównaniu
,
,
,
z energia, Fermiego (jest to granica sÃlabego sprzeżenia,
która stanowi także
,
gÃlówne zaÃlożenie teorii BCS).
Równanie (2.16) przybiera wtedy postać:
r
X
1
2l + 1
e l |.
a k0 =
Pl (cos θ)|v
(2.22)
ak
0
2[E(k ) − EF ] + ∆ k
2
Uwzgledniaj
ac
, we wzorze (2.22) zależność (2.20) otrzymujemy:
,
q
P
2l+1
|vl |Pl (cosθ̃)al0 m0 al0 (k)Yl0 m0 (θ, ϕ)
X
kl0 m0
2
0
0
0
al0 m0 al0 (k )Yl0 m0 (θ , ϕ ) =
.
0) − E ] + ∆
2[E(k
F
0
0
lm
(2.23)
Równanie powyższe można nazwać uogólnionym równaniem Coopera.
Przenoszac
, wszystkie wyrazy tego równania na jedna, strone, otrzymujemy
równanie postaci:
q
P
2l+1
|vl |Pl (cosθ̃)al0 m0 al0 (k)Yl0 m0 (θ, ϕ)
X
kl0 m0
2
0
0
0
=0
al0 m0 al0 (k )Yl0 m0 (θ , ϕ )−
2[E(k0 ) − EF ] + ∆
l0 m0
(2.24)
z którego wynika nastepuj
acy
ukÃlad:
,
,
P q 2l+1
|vl |Pl (cosθ̃)al0 m0 al0 (k)Yl0 m0 (θ, ϕ)
k
2
∀l0 , m0 : al0 (k 0 )Yl0 m0 (θ0 , ϕ0 ) =
,
2[E(k0 ) − EF ] + ∆
(2.25)
Nastepnie
wykorzystujac
, znana, reguÃle, dla ukÃladów o rozmiarach makro,
,
pozwalajac
na calke, po objetości
, a, na zamienie, sumy po stanach pedowych
,
,
w przestrzeni pedów,
postaci:
,
Z
X
V
( )d3 k,
(2.26)
( )=2
3
(2π)
k
ROZDZIAÃL 2. OGÓLNE SFORMUÃLOWANIE PROBLEMU COOPERA15
otrzymujemy:
µ
2V
(2π)3
¶
q
∀l0 , m0 : al0 (k 0 )Yl0 m0 (θ0 , ϕ0 ) =
2l+1
|vl |
2
R
d3 kPl (cosθ̃)al0 m0 al0 (k)Yl0 m0 (θ, ϕ)
2[E(k0 ) − EF ] + ∆
.
(2.27)
Po przejściu do wspóÃlrzednych
sferycznych w przestrzeni k, rozpatrywany
,
ukÃlad przybiera nastepuj
ac
, a, postać:
,
∀l0 , m0 : al0 (k 0 )Yl0 m0 (θ0 , ϕ0 ) =
r
R
¶
µ
Z
al0 (k)k 2 dk 0
2l + 1
2V
|vl | Pl (cosθ̃)Yl0 m0 (θ, ϕ)sinθdθdϕ
(2π)3 2[E(k0 ) − EF ] + ∆
2
(2.28)
Po obustronnym wymnożeniu każdego z równań stanowiacych
nasz
ukÃlad
,
0 2
przez (k ) , i wycaÃlkowaniu obydwu stron każdego z nich po skÃladowej przestrzennej wektora k0 , otrzymujemy ukÃlad postaci:
R
∀l0 , m0 : Yl0 m0 (θ0 , ϕ0 ) al0 (k 0 )(k 0 )2 dk 0 =
r
R
¶Z
µ
Z
(k 0 )2 al0 (k)k 2 dk
2l + 1
2V
0
dk
|vl | Pl (cosθ̃)Yl0 m0 (θ, ϕ)sinθdθdϕ
(2π)3
2[E(k0 ) − EF ] + ∆
2
(2.29)
R
R
0 02
0
2
0
0
Nastepnie
uwzgl
ednieniaj
ac
fakt,
że
a
(k
)k
dk
=
a
(k)k
dk
i jest
l
l
,
,
,
to wartość skończona, rozpatrywany ukÃlad przechodzi w ukÃlad postaci:
2V
(2π)3
Z
q
∀l0 , m0 : Yl0 m0 (θ0 , ϕ0 ) =
2l+1
dk 0 (2l
2
R
+ 1)|vl | Pl (cosθ̃)Yl0 m0 (θ, ϕ) sin θdθdϕ
2[E(k0 ) − EF ] + ∆
(k 0 )2 dk 0 . (2.30)
Nastepnie
mnożac
, obydwie strony każdego równania ostatniego ukÃladu
,
∗
00
00
przez Yl0 m0 (θ , ϕ ), otrzymujemy:
∀l0 , m0 : Yl∗0 m0 (θ00 , ϕ00 )Yl0 m0 (θ0 , ϕ0 ) =
µ
2V
(2π)3
¶Z
0 2
(k )
q
2l+1
|vl |dk 0
2
2[E(k0 ) − EF ] + ∆
Z
Pl (cosθ̃)Yl∗0 m0 (θ00 , ϕ00 )Yl0 m0 (θ, ϕ)sinθdθdϕ.
(2.31)
ROZDZIAÃL 2. OGÓLNE SFORMUÃLOWANIE PROBLEMU COOPERA16
Teraz obustronnie zsumujemy po l0 i m0 równania otrzymanego ukÃladu,
co w rezultacie da nam równanie postaci:
P
∗
00
00
0
0
l0 m0 Yl0 m0 (θ , ϕ )Yl0 m0 (θ , ϕ ) =
q
¶ Z (k 0 )2 2l+1 |v |dk 0 Z
µ
X
l
2V
2
Yl∗0 m0 (θ00 , ϕ00 )Yl0 m0 (θ, ϕ)sinθdθdϕ,
P
(cos
θ̃)
l
(2π)3
2[E(k0 ) − EF ] + ∆
l0 m0
(2.32)
które po uwzglednieniu
warunku
zupeÃ
l
ności
harmonik
sferycznych,
przecho,
dzi w równanie
µ
2V
(2π)3
¶Z
0 2
(k )
q
2[E(k0 )
δ(θ00 − θ0 )δ(ϕ00 − ϕ0 ) =
2l+1
|vl |dk 0
2
− EF ] + ∆
Z
Pl (cosθ̃)δ(θ00 − θ)δ(ϕ00 − ϕ)sinθdθdϕ.
(2.33)
W ostatnim kroku należy wykonać obustronnie nastepuj
ac
, a, operacje:
,
,
R
lim(θ00 −→θ0 ),(ϕ00 −→ϕ0 ) ()dθ00 dϕ00 ,
która to, po zamianie kolejnościa, wykonania granicy i caÃlek po prawej stronie
równania, prowadzi nas do wyniku:
q
¶ Z (k 0 )2 2l+1 |v |dk 0 Z
µ
l
2V
2
Pl (1)sinθ0 dθ0 dϕ0 = 1.
(2.34)
(2π)3
2[E(k0 ) − EF ] + ∆
Powyższe równanie bardzo Ãlatwo wyrazić poprzez gestość
stanów, co też zo,
staÃlo uczynione poniżej.
Z Ea
ρ(²)
2
d² = q
,
(2.35)
∆
2l+1
EF (² − ²F ) + 2
|v |P (1)
2
l
l
gdzie: Ea określa górna, granice, istotnego przedziaÃlu energii ze wzgledu
na
,
procesy rozpraszania, natomiast Pl (1) dane jest jako:
¸
·
1 dl 2
l
(2.36)
(x − 1)
Pl (1) = lim
x−→1 2l l! dxl
i dla interesujacych
nas przypadków (tzn. l = 0 lub l = 1) wynosi:
,
P0 (1) = P1 (1) = 1
(2.37)
ROZDZIAÃL 2. OGÓLNE SFORMUÃLOWANIE PROBLEMU COOPERA17
Zauważmy, że Ea ∼ Ef (granica sÃlabego sprzeżenia)
oraz oddziaÃlywanie pa,
rujace
stanowi bardzo maÃla, energie, w porównaniu z istotna, zmiennościa,
,
energii kinetycznej czastek,
co sprawia, że ρ(²) nie zmienia sie, istotnie w
,
przedziale [EF , Ea ]. Z powyższych wniosków wynika, że gestość
stanów
,
wystepuj
ac
stanów odpowia, a, w (2.35) może zostać przybliżona przez gestość
,
,
dajac
a
energii
Fermiego,
tzn.
ρ(²)
=
ρ(²
).
Tak
wi
ec
teraz
można
wyznaczyć
F
, ,
,
energie, wiazania
elektronów w pare, Coopera jako:
,
∆l = 2
Ea − EF
.
√2 2l+1 ) − 1
exp(
ρ(EF )
2
(2.38)
|vl |
Ograniczenie energetyczne EF < ² < Ea wynika z faktu, że efektywne oddziaÃlywanie parujace
spowodowane jest np. przez fonony, czyli skwantowane
,
drgania sieci krystalicznej. Maksymalna, czestość
tych drgań określa czestość
,
,
Debye’a $D a odpowiadajaca
jej
energia
~$
określa
maksymalna, dawke,
D
,
energii, jaka, elektrony moga, wymieniać miedzy
soba, w procesie rozpraszania
,
prowadzacym
do parowania. Możemy zatem napisać: Ea − EF ' ~$D , co
,
prowadzi do zależności:
∆l =
exp(
2~$D
√2 2l+1
ρ(EF )
2
|vl |
)−1
' 2~$D e ρ(EF )
√−22l+1
2
|vl |
.
(2.39)
FormuÃla (2.39) wyraża zależność energii wiazania
rozpatrywanej pary elek,
tronów, w funkcji wartości gestości
stanów odpowiadajacej
energii Fermiego.
,
,
Bardzo Ãlatwo można ten wzór przeksztaÃlcić, tak aby ∆l zależna byÃla od pedu
,
Fermiego, co też pokazano poniżej:
∆l =
exp(
2~$D
2
2π
√2 ~2l+1
V mkF
2
|vl |
)−1
' 2~$D e
V mkF
−2
√
2l+1
2
|vl |
.
(2.40)
W powyższej zależności V oznacz objetość
ukÃladu.
,
Przybliżone równości w (2.39) i (2.40) wynikaja, z zaÃlożenia, że w rozpatrywanych przypadkach (tzn. l = 0 lub l = 1) zachodzi zależność: vl ρ(EF ) ¿ 1.
Warunek ten oznacza, że jeśli oznaczymy przez ∆E przedziaÃl energii przypadajacy
na jeden niezaburzony stan kwantowy, to vl ¿ ∆E. To wÃlaśnie
,
oznacza przybliżenie sÃlabego sprzeżenia.
,
Poniższe zwiaki:
,
½
∆pl × ξl ' ~,
2
l)
,
∆l ' (∆p
4m
ROZDZIAÃL 2. OGÓLNE SFORMUÃLOWANIE PROBLEMU COOPERA18
pozwalaja, w Ãlatwy sposób oszacować średni rozmiar pojedynczej pary Coopera, który wynosi:
~
ξl = √
,
(2.41)
2 m∆l
gdzie, energia wiazania
∆l dana jest równaniami (2.38), (2.39) i (2.40).
,
Przyjmujac
, w otrzymanych zależnościach l = 0, otrzymujemy wyniki dla
parowania singletowego. Jeżeli zaś przyjmiemy l = 1, to otrzymamy wyniki
dla trypletowego parowania elektronów zaindukowanego oddziaÃlywaniami wymiennymi. Przede wszystkim interesujace
dla ans sa, zależności opisujace
,
,
energie, wiazania
powstaÃ
l
ej
pary
Coopera,
które
w tym wypadku dane sa,
,
odpowiednio dla singletu i trypletu w postaci:
−2
√1
2~$D
ρ(EF )
2 |v0 | ,
(2.42)
'
2~$
e
∆0 =
D
2
√
exp(
)−1
1
ρ(EF )
2
|v0 |
√3
2~$D
ρ(EF )
2 |v1 | .
'
2~$
e
D
2
√
)−1
3
−2
∆1 =
exp(
ρ(EF )
2
(2.43)
|v1 |
Dodatkowo, wstawiajac
, (2.42) lub (2.43) do (2.41), otrzymamy wzory określaja,
ce średni szacowany rozmiar powstaÃlej pary, które dane sa, odpowiednio dla
singletu i trypletu w postaci:


r
~
1
,
q
ξ0 =
(2.44)
exp 
8m$D
1
ρ(²F ) 2 |v0 |
oraz
ξ1 =
r


~
1
.
q
exp 
8m$D
3
ρ(²F ) 2 |v1 |
(2.45)
Szacowany rozmiar singletowej pary Coopera (co jest podane w [3]), wynosi:
ξ0 ' 1000[Å].
Wniosek jaki możemy wyciagn
ać
,
, z tego wyniku jest taki, że w realnym materiale nadprzewodzacym
wyst
epuje
równoczesne przekrywanie sie, funkcji falo,
,
wych ogromnej liczby par Coopera. Jest tak dlatego, że odlegÃlość klasyczna
V 13
) ∼ 1Å. Mamy wiec
miedzy
elektronami w metalu wynosi dee = ( N
, wtedy
,
do czynienia z problemem wielu ciaÃl, a do jego rozwiazania
trzeba
uciec
sie, do
,
metod stosowanych w takich wypadkach. Zajmuje sie, tym oczywiście teoria
BCS, której fundamentalnym zaÃlożeniem jest to, iż pojedyncza para porusza
sie, w średnim polu wszystkich innych par w ukÃladzie.
ROZDZIAÃL 2. OGÓLNE SFORMUÃLOWANIE PROBLEMU COOPERA19
2.3
Podsumowanie rozdziaÃlu.
W rozdziale niniejszym przeanalizowano ogólny mechanizm parowania elektronów zachodzacego
w kanale o określonym l. Z przedstawionego modelu,
,
wynikaja, zależności opisujace
energie, i rozmiar zarówno singletowej, jak i
,
trpletowej pary Coopera.
Wartym uwagi jest fakt, że w stanie podstawowym zarówno singletowa jak
i trypletowa para Coopera nie niosa, ze soba, pradu
elektrycznego (przypadek
,
par bezpradowych),
co jak Ãlatwo sie, domyślić, ulegnie zmianie, gdy taka para
,
znajdzie sia, w polu elektrycznym lub magnetycznym.
Należy zwrócić uwage, na to, że jeżeli potencjaÃl parujacy
w przypadku
,
parowania singletowego, przyjmiemy tak jak w oryginalnym podejściu Coopera [3] i oznaczymy go jako v˜0 to zachodzi wtedy: v˜0 = √12 v0 , gdzie v0 jest
odpowiednim wspóÃlczynnikiem rozwiniecia
potencjaÃlu Vk−k0 w bazie ortonor,
malnych wielomianów Legendre’a.
W obu przedstawionych przypadkach parowania można dodatkowo rozważać ukÃlady z efektywna, masa, elektronów zależa, od kierunku spinu, co (dla
przypadku parowania singletowego) zostaÃlo pokazane w pracy [3].
Wspomniane powyżej zagadnienie, jest przedmiotem badań przeprowadzonych w nastepnym
rozdziale.
,
RozdziaÃl 3
UkÃlad elektronów o
spinowo-zależnych masach
3.1
Wprowadzenie.
W rozdziale tym rozważana bedzie
pojedyncza para elektronów, znajdujacych
,
,
sie,
podobnie
jak
poprzednio,
na
lub
powyżej
powierzchni
Fermiego
i
od,
dziaÃlujacych
ze
sob
a
sÃ
l
abym
potencjaÃ
l
em
przyci
agaj
acym.
Tym
razem
b
edzie,
,
,
,
,
my dodatkowo zakÃladać, że masy elektronów tworzacych
par
e
Coopera
zależ
a,
,
,
od rzutu spinu na zadana, oś kwantowania (czyli od liczby kwantowej σ). Takie spinowo-zależne masy zostaÃly wprowadzone w przypadku ukÃladów skorelowanych elektronów i opisane m. in. w pracy [4]. Podobnie, jak w przypadku
omówionym w poprzednim rozdziale, również i w tym zaistnieć moga, dwie
możliwości parowania elektronów, tzn. parowanie singletowe oraz parowanie
trypletowe. Różnica pomiedzy
tym a poprzednio omówionym problemem,
,
wynika wÃlaśnie z zależności masy elektronu od rzutu jego spinu na zadana,
oś kwantowania.
Podobnie, jak poprzednio, również i tym razem bedziemy
zakÃladać, że
,
oddziaÃlywanie pomiedzy
elektronami wewnatrz
kuli Fermiego a opisywana,
,
,
para elektronów można zaniedbać oraz, że szczegóÃly struktury elektronowej
i krystalicznej badanych materiaÃlów nie maja, wpÃlywu na jakościowe zrozumienie parowania. Stad
, też zamiast periodycznego potencjaÃlu wprowadzamy
pudÃlo potencjaÃlu o objetości
V = L3 .
,
20
ROZDZIAÃL 3. UKÃLAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH21
3.2
3.2.1
Rozwiazanie
problemu.
,
Energia Fermiego i gestość
stanów.
,
Na wstepie
rozważmy ukÃlad N swobodnych elektronów, których masy zależa,
,
od rzutu ich spinów na zadana, oś kwantyzacji, znajdujacych
sie, w pudle
,
potencjaÃlu o objetości
V
.
Na
ukÃ
l
ad
ten
nakÃ
l
adamy
dodatkowo
periodyczne
,
warunki brzegowe. Stany energetyczne elektronów tego ukÃladu opisane sa,
podobnymi zależnościami jak w rozdziaÃlach poprzednich. Różnica,, która
miedzy
nimi wystepuje
jest zależność energii od spinu.
,
,
Tak wiec,
mamy przestrzenna, cześć
funkcji falowej w postaci:
,
,
1
Ψn (r) = √ eikn ·r ,
V
(3.1)
oraz energie, dana, w postaci:
Ekn σ
gdzie:
~2 kn 2
=
,
2mσ
(3.2)
2π
n1 , n2 , n3 ∈ Z
(3.3)
1 [n1 , n2 , n3 ],
V3
oraz mσ jest efektywna, spinowo-zależna, masa, elektronu w stanie kwantowym
|σi (m↑ 6= m↓ ).
Ze wzgledu
na zależność masy elektronu od rzutu jego spinu na oś kwan,
tyzacji w ukÃladzie tym mamy zniesiona, degeneracje, spinowa, stanów jednoczastkowych.
Dla ustalenia uwagi w dalszej cześci
tego rozdziaÃlu bedziemy
,
,
,
przyjmować, że: m↑ < m↓ . Oczywiście, brak degeneracji spinowej w ukÃladzie
powoduje, że każdy stan może być obsadzony tylko jeden raz. Z zależności
(3.2) wnioskujemy, że elektrona, o mniejszej masie odpowiada wieksza
energia
,
(w rozpatrywanym przypadku spin σ =↑ pociaga
za soba, wieksz
a, energie).
,
,
,
Ponieważ zgodnie z rozkÃladem Fermiego-Diraca, dla temperatury T = 0
elektrony zapeÃlniaja, wszystkie poziomy energetyczne aż do poziomu Fermiego, wiec
zostanie obsadzonych stanów z σ =↓, jest to spowodowane
, wiecej
,
wieksz
a, ilościa, dozwolonych wartości wektora falowego kn . Oczywiście, ped
,
,
Fermiego przyjmuje w tej sytuacji wieksz
a
wartość
niż
dla
σ
=↑.
Mówimy
,
,
wtedy o rozszczepieniu kuli Fermiego w przestrzeni pedów
rozważanego ukÃla,
du, (jest to odbiciem zaÃlożenia, że m↑ < m↓ ). Ponieważ ukÃlad znajduje sie,
w stanie równowagi, wiec
, i tylko jedna, dla obu rodzajów
, ma ustabilizowana,
elektronów, wartość energii Fermiego:
kn =
~2 kFσ0 2
~2 k2Fσ
.
=
EF =
2mσ
2mσ0
(3.4)
ROZDZIAÃL 3. UKÃLAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH22
Z zależności powyższej Ãlatwo wyznaczamy zwiazek
pomiedzy
kF σ i kF σ0
,
,
w postaci:
r
mσ
kF σ0
(3.5)
kF σ =
mσ 0
W powyższych równaniach, tak jak i w dalszej cześci
tego rozdziaÃlu,
,
przyjeta
zostaÃ
l
a
konwencja
oznaczania
rzutów
spinu
na
zadany
kierunek w
,
0
postaci σσ . Taki zapis, jak Ãlatwo sie, przekonać, jest uniwersalny. Uwzglednia
,
on bowiem wszystkie możliwości ustawienia spinów rozpatrywanych elektronów tworzacych
dana, pare.
,
,
Wykorzystujac
zależności
określajace
caÃlkowita, liczbe, elektronów N =
,
,
Nσ + Nσ0 i caÃlkowita, gestość
stanów
w
ukÃ
ladzie ρ = ρσ + ρσ0 oraz wzór
,
(3.5), otrzymujemy dla zadanej liczby elektronów w ukÃladzie (wynoszacej
,
N ), wyrażenia opisujace:
,
wartość pedu
Fermiego dla zadanej orientacji spinów
,
"
kF σ = 6π 2
3
2
N
mσ
3
V m 2 + m 230
σ
σ
# 13
;
(3.6)
gestość
stanów dla zadanej orientacji spinów
,
µ
¶3
2mσ 2 √
V
ρσ (E) = 2
E;
4π
~2
(3.7)
energie, Fermiego
# 23
"
~2
N
1
EF =
;
6π2
2
V m 32 + m 230
σ
σ
i caÃlkowita, gestość
stanów
,
V
ρ(E) = 2
4π
"µ
2mσ
~2
¶ 32
+
µ
2mσ0
~2
¶ 32 #
(3.8)
√
E.
(3.9)
0
Podstawiajac
, w powyższych zależnościach σ =↑↓, σ =↑↓ otrzymujemy wyniki dla konkretnego ustawienia spinów. W szczególności, wszystkie powyższe
zależności oprócz (3.7), redukuja, sie, do zależności znanych dla ukÃladu, w
którym nie mamy do czynienia ze spinowo-zależnymi masami elektronów.
Podobnie, jak poprzednio, jako funkcje, falowa, ukÃladu, przyjmujemy superpozycje, funkcji falowych (3.1), w postaci:
1 X
(3.10)
Ψ(r1 , r2 ) = χσσ0
ak1 ,k2 eik1 ·r1 eik2 ·r2 ,
V k ,k
1
2
ROZDZIAÃL 3. UKÃLAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH23
gdzie we wspóÃlczynnikach ak1 k2 kryje sie, symetria (antysymetria) przestrzennej cześci
funkcji falowej, natomiast χσσ0 jest spinowa, cześci
a, funkcji falowej
,
,
pary.
Oczywistym jest, że i w tym (najbardziej ogólnym z dotychczas rozważanych) przypadku, musimy narzucić na wspóÃlczynniki ak1 k2 warunek:
a k1 k2 = 0
dla|k1 |, |k2 | ≤ kF .
(3.11)
Niezależne od czasu Równanie Schrödingera przybiera zatem postać:
¸
·
~2
~2 2
2
∇ −
∇ + V (r1 , r2 ) Ψ(r1 , r2 ) = EΨ(r1 , r2 ).
(3.12)
−
2mσ r1 2mσ0 r2
Po transformacji, zarówno funkcji falowej jak i równania Schrödingera,
do wspóÃlrzednych
środka masy (K, R) oraz wspóÃlrzednych
wzglednych
(k, r)
,
,
,
danych odpowiednio w postaci:
½
m r +m r
R = σmσ1 +mσ00 2
σ
K = k1 + k1
oraz
(
r = r1 − r1
m k −m k
k = σmσ1 +mσ00 2 ,
σ
i po dodatkowym zaÃlożeniu, że potencjaÃl oddziaÃlywania zależy jedynie od
wzglednej
odlegÃlości elektronów V (r1 , r2 ) = V (|r|) = V (r) otrzymujemy
,
funkcje, falowa, w postaci:
Ψ(r1 , r2 ) = χσσ0
1 X
aK,k eiK·R eik·r
V K,k
oraz stacjonarne równanie Schrödingera dane jako:
·
¸ X
~2 2
~2 2
1
−
aK,k eiK·R eik·r = 0,
∇R −
∇r + V (r) − E
2M
2µ
V K,k
gdzie: M = mσ + mσ0 jest masa, caÃlkowita, powstaÃlej pary, natomiast
m m
µ = mσσ+mσ0 0 jest masa, zredukowana, ukÃladu tych dwóch czastek.
,
σ
(3.13)
(3.14)
ROZDZIAÃL 3. UKÃLAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH24
W nastepnym
kroku mnożymy obustronnie otrzymane równanie przez:
,
1 −iK0 ·R −ik0 ·r
e
e
a nastepnie
obie strony tego równania caÃlkujemy wzgledem
,
,
V
3
3
d R i d r, w wyniku czego otrzymujemy równanie:
·
µ 2 2
¸
¶
X
~2 k 2
~K
0
0
δ(K−K ) δ(k, k )aK,k
+2
− E + aK,k Vk−k0 = 0, (3.15)
2M
4µ
K,k
R
0
gdzie: Vk−k0 = V1 d3 r e−ik ·r V (r)eik·r .
Podobnie jak poprzednio, teraz również otrzymaliśmy równanie, które
jest mnożone przez δ(K − K0 ), co, jak wiadomo oznacza, że ped
, środka masy
jest w tym ukÃladzie wielkościa, zachowana., Zaś oddziaÃlywanie zaburza jedynie ped
wzgledny
k rozpatrywanej pary elektronów. Z tego też wzgledu
,
,
,
wspóÃlczynniki aK,k , które wprowadzaja, oddziaÃlywanie do funkcji falowej,
bed
zapisywane tylko z indeksem k. Zatem równanie na
, a, w dalszej cześci
,
energie, wÃlasna, ukÃladu przybiera teraz postać:
X
−1
ak Vk−k0 .
a k0 =
(3.16)
E(K) + 2E(k0 ) − E k
2
2
2 2
K
jest energia, ruchu środka masy, E(k) = ~2µk jest energia,
gdzie: E(K) = ~2M
ruchu wzglednego
elektronów natomiast E jest energia, stanu zwiazanego
roz,
,
patrywanej pary.
Rozważana para oddziaÃlujacych
elektronów jest stanem zwiazanym.
,
,
Energie, wiazania
tego
stanu
możemy
zdefiniować
poprzez
nastepuj
ac
,
, a,
,
zależność:
E = EK + 2EF − ∆pl ,
(3.17)
gdzie: l = 0, 1, natomiast p = −l, ..., l.
Przyjmujac
, powyższa, definicje, zaÃlożyliśmy, że E(k) = EF dla rozpatrywanego przypadku.
Stosowana notacja pozwala na odróżnienie od siebie wszystkich możliwości
parowania, które moga, sie, tutaj pojawić, tzn.
1. parowanie singletowe, (l = 0, p = 0)

 (l = 1, p = 1),
(l = 1, p = 0),
2. parowanie trypletowe

(l = 1, p = -1).
Uwzgledniaj
ac
, w (3.16) zależność (3.17) otrzymujemy:
,
X
−1
a k0 =
ak Vk−k0 .
2[E(k0 ) − EF ] + ∆pl k
(3.18)
ROZDZIAÃL 3. UKÃLAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH25
Z faktu, że |ak |2 jest miara, prawdopodobieństwa zaistnienia pary Coopera
w stanie o pedzie
wzglednym
k wynika, że najwieksze
prawdopodobieństwo
,
,
,
powstania tej pary jako stanu zwiazanego
ma
miejsce,
gdy
,
P ∀k ∈2 hkF , ka i : |ak |
przyjmuje wartość maksymalna,, (należy pamietać,
że k |ak | maksymalnie
,
może być równe jedności), co w oczywisty sposób pociaga
za soba:, E(K) = 0.
,
Przedstawione powyżej rozumowanie prowadzi do wniosku, że w stanie
podstawowym, singletowa para Coopera, dla przypadku mas elektronów ja,
tworzacych
zależnych od rzutu spinu na wyróżniona, oś kwantyzacji, nie jest
,
tak jak poprzednio para, bezpradow
a,, tylko niesie ze soba, prad
,
, elektryczny.
0
0
Mamy bowiem K = k + k = 0, co oznacza, że k = −k a to daje nam
p0 = −p, co ze wzgledu
na fakt m↑ 6= m↓ pociaga
za soba, nastepuj
acy
,
,
,
,
0
0
warunek: v 6= −v, gdzie v, v oznaczaja, odpowiednio predkości
paruj
acych
,
,
p
p
sie, elektronów). Zatem suma pradów
j = −e( mF↑↑ + mF↓↓ ) 6= 0
,
Natomiast trypletowa para Coopera (w każdej z odmian) jest tak jak
poprzednio para, bezpradow
a,, tzn. nie niesie ze soba, wypadkowego pradu
,
,
elektrycznego.
3.2.2
Energia wiazania
i potencjaÃl parujacy
w prze,
,
strzeni pedów.
,
Aby możliwe byÃlo kontynuowanie rozpoczetych
rachunków, należy teraz za,
stanowić sie, nad postacia, (w przestrzeni pedów)
potencjaÃ
lu parujacego
Vk−k0 ,
,
,
oraz określić postać wspóÃlczynników ak .
PotencjaÃl paryjacy
w przestrzeni pedów
w ogólnym przypadku zależy od
,
,
0
wartości obu wektorów k, k oraz od kata
wzglednego
miedzy
nimi (oznaczmy
,
,
,
go jako θ̃). Dlatego rozpatrywany potencjaÃl zostanie zapisany w bazie ortonormalnych stowarzyszonych funkcji Legendre’a postaci:
q
q
√
|m|
(l−|m|)!
∂ |m|
2l+1
m
1 − x2 ) 2 ∂x
(
Pl (x) =
|m| Pl (x),
2
(l+|m|)!
wzgledem
zmiennej x = cos θ̃ = k̂ · k̂ 0 , gdzie k̂, k̂ 0 sa, wersorami odpowiednio
,
w kierunkach wektora k i k0 , natomiast Pl (x) jest wielomianem Legendre’a,
który zdefiniowany zostaÃl w poprzednim rozdziale.
Na uwage, zasÃluguje fakt, że w odróżnieniu od problemu omówionego w
poprzednim rozdziale, w tym zakÃladamy, że mamy w jakiś sposób zÃlamana,
symetrie, spinowa, ukÃladu, co objawia sie, tym, że efektywne masy elektronów
tworzacych
pare, Coopera, sa, zależne od rzutu ich spinu na zadana, oś kwan,
towania. Dlatego też potencjaÃl parujacy
wystepuj
acy
w tym problemie zostaÃl
,
,
,
zapisany w bazie ortonormalnych stowarzyszonych funkcji Legendre’a Plm (x)
(gdzie m określa rzut spinu pary na zadana, oś kwantowania), a nie tak jak
poprzednio w bazie ortonormalnych wielomianów Legendre’a Pl (x).
ROZDZIAÃL 3. UKÃLAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH26
WspóÃlczynniki ak podobnie jak poprzednio zapiszemy w bazie ortonormalnych harmonik sferycznych Ylm (θ, ϕ), gdzie θ i ϕ sa, wspóÃlrzednymi
wek,
tora k w sferycznym ukÃladzie wspóÃlrzednych,
w
przestrzeni
p
edów,
w
którym
,
,
wektor ten ma postać:

 kx = k sin θ cos ϕ,
ky = k sin θ sin ϕ,

kz = k cos θ.
UkÃlad harmonik sferycznych, jest zupeÃlnym ukÃladem funkcji, oznacz to, że
zachodzi relacja:
X
∗
Ylm
(θ0 , ϕ0 )Ylm (θ, ϕ) = δ(θ − θ0 )δ(ϕ − ϕ0 ).
(3.19)
lm
Ostatecznie wiec
, mamy:
s
¯
¯
¯X r 2l + 1 (l − p)!
¯
¯
e p (k, k 0 )¯¯ ,
Vk−k0 = − ¯
Plp (cos θ)v
l
¯
¯
2
(l + p)!
lp
oraz
ak =
X
alm al (k)Ylm (θ, ϕ),
(3.20)
(3.21)
lm
gdzie: k = |k|, liczby alm sa, wspóÃlczynnikami rozwinieciae,
natomiast moduÃl
,
zapewnia ujemna, wartość potencjaÃlu, co odpowiada parowaniu elektronów.
Oczywiście zachodzi: m, p = −l, ..., l.
Rozpatrywana para elektronów ma z góry ustalona, wartość liczby kwantowej l (tutaj l = 0 lub l = 1). Wiec
, dla tej wÃlaśnie wartości l elementy
p
0
vl (k, k ) przyjmuja, niezerowe wartości a dla innych wartości l przyjmuja, on
wartości równe zeru. Powyższe rozumowanie prowadzi nas do równania postaci:
s
¯
¯
r
¯
¯
X
2l + 1 ¯
(l − p)! p
p
0 ¯
e
P (cos θ)vl (k, k )¯
Vk−k0 = −
(3.22)
¯
¯
2 ¯ p
(l + p)! l
Teraz uściślimy sformuÃlowanie: ”rozważamy elektrony znajdujace
sie, na lub
,
powyżej powierzchni Fermiego.” Przyjmiemy bowiem zaÃlożenie, że rozważane
elektrony oddziaÃluja, miedzy
soba, tylko w waskim
przedziale wartości energii,
,
,
powyżej powierzchni Fermiego. Możemy zatem elementy vlp (k, k 0 ) przybliżyć
wyrażeniem:
½ p
vl = const(k, k 0 )
dla kF σ0 < k, k 0 < kaσ
p
0
vl (k, k ) =
0
w pozostaÃlych przypadkach,
gdzie kaσ jest wartościa, pedu
niewiele wieksz
a, od kF σ .
,
,
ROZDZIAÃL 3. UKÃLAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH27
W powyższej definicji pojawiÃl sie, element vlp , który w porównaniu z definicja, zawarta, w rozdziale poprzednim, dodatkowo zależy od liczby kwantowej
p. Sytuacja ta jest odzwierciedleniem faktu, iż potencjaÃl parujacy
zależy nie
,
tylko od rodzaju parowania, z którym mamy do czynienia ale także od jego
odmiany (w przypadku parowania trypletowego). Powyższa notacja w prosty
sposób określa rodzaj i odmiane, parowania a przez to i potencjaÃl parujacy,
z
,
którym mamy do czynienia. Dlatego bedzie
ona stosowana w dalszej cześci
,
,
tego rozdziaÃlu.
Równanie (3.18) przybiera zatem postać:
s
¯
¯)
( r
¯
X
1
2l + 1 ¯¯X (l − p)! p
p¯
e
a k0 =
a
P
(cos
θ)v
¯
k
l¯ .
¯
2[E(k0 ) − EF ] + ∆pl
2 ¯ p
(l + p)! l
k
(3.23)
Uwzgledniaj
ac
, we wzorze (3.23) zależność (3.21) otrzymujemy:
,
P
0
0
0
l0 m0 al0 m0 al0 (k )Yl0 m0 (θ , ϕ ) =
P
kl0 m0
q
2l+1
2
¯
¯P q
¯
¯
(l−p)! p
¯ p (l+p)! vl Plm (cosθ̃)¯ al0 m0 al0 (k)Yl0 m0 (θ, ϕ)
2[E(k0 ) − EF ] + ∆pl
(3.24)
Powyższe równanie, przez analogie, do równania otrzymanego wcześniej, można
nazwać uogólnionym równaniem Coopera dla przypadku zÃlamanej symetrii
spinowej w ukÃladzie.
Po przeprowadzeniu rachunków, które z technicznego punktu widzenia
sa, takie same jak te przeprowadzone w poprzednim rozdziale, otrzymujemy
zależność:
q
¯
¶Z
µ
2l+1
Z ¯¯X s
0 2
¯
(k
)
dk 0
(l − p)! p
2V
2
¯
p¯
0
0
0
P
(1)v
¯
l ¯ sinθ dθ dϕ = 1,
¯ p
¯
(2π)3
2[E(k0 ) − EF ] + ∆pl
(l + p)! l
(3.25)
która po uwzglednieniu
nastepuj
acych
wyników:
,
,
,
½ 0
P0 = 1
dla parowania singletowego,
P11 (1) = P1−1 (1) = 0 i P10 (1) = 1 dla parowania trypletowego,
przechodzi w równanie postaci:
q
µ
¶ Z (k 0 )2 2l+1 |v p |dk 0 Z
l
2V
2
sinθ0 dθ0 dϕ0 = 1,
(2π)3
2[E(k0 ) − EF ] + ∆pl
(3.26)
ROZDZIAÃL 3. UKÃLAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH28
gdzie tym razem mamy:
½
l = 0, m = 0, dla parowania singletowego,
l = 1, m = 0, dla parowania trypletowego.
Otrzymane powyżej równanie bardzo Ãlatwo przeksztaÃlcamy do postaci:
Z
k 2 dk
(π)2
q
=
,
(3.27)
2
2
~ k
− 2EF + ∆pl
V 2l+1 |v p |
2µ
l
2
gdzie zamieniliśmy k’ na k.
Ponieważ rozpatrujemy bardzo waski
przedziaÃl wartości wektora falowego
,
k, wiec
możemy
w
powyższej
zależności
wykonać
nastepuj
ace
przybliżenie:
,
,
,
kF pl =
kF σ +kF σ0
.
2
Dodatkowo, musimy teraz podać obszar caÃlkowania po który wykonywać
bedziemy
caÃlke, dana, w postaci (3.27). Obszar ten to odcinek na osi k o
,
poczatku
w punkcie, któremu odpowiada mniejsza z dwóch rozważanych
,
wartości pedu
Fermiego, oznaczmy go przez kF σ0 . Natomiast jego koniec
,
znajduje sie, w punkcie kaσ . Ped
niewiele
, ten odpowiada z zaÃlożenia pedowi
,
wiekszemu
od wiekszej
z rozważanych wartości pedu
Fermiego.
,
,
,
Tak wiec,
otrzymujemy
nast
epuj
ace
równanie:
,
,
,
Z kaσ
(π)2
kdk
q
=
,
(3.28)
2
2
p
~ k
p
kF σ0 2µ − 2EF + ∆l
kF pl 2l+1
|v
|
l
2
które po wykonaniu elementarnego caÃlkowania przechodzi w równanie postaci:


p
p
2µ
2
2
2
kaσ − ~2 (2EF l − ∆l )
.
 qπ ~
(3.29)
p = exp
2µ
p p
2l+1
kF σ0 − ~2 (2EF − ∆l )
k |v |
µV
2
Fl
l
Po uwzglednieniu
poniższych zależności:
,
kaσ = kF σ + ∆k;
2
~2 kF
σ
2µ
−
2
~2 kF
σ0
2µ
~$D =
~2
(kF σ
2mσ
−
2
~2 kF
σ
2σ
2
~2 kF
σ
2σ
−
−
+ ∆k)2 −
2
~2 kF
σ0
2σ0
2
~2 kF
σ0
2σ0
mσ
= EF ( m
− 1);
0
σ
m
= EF ( mσσ0 − 1);
~2
k2
2mσ0 F σ 0
=
~2
k ∆k
mσ F σ
+
~2
(∆k)2 ;
2mσ
ROZDZIAÃL 3. UKÃLAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH29
i wykonaniu prostych przeksztaÃlceń, wyznaczamy z równania (3.29) zależność
opisujac
pary Coopera, w postaci:
, a, energie, wiazania
,
·
µ
¶
¸−1
2
2
p
π ~
√ 2l+1
×
∆l = exp
−1
p
µV
2

~k̄F |vl |

2 2

0
 mσ ~$D + EF ( mσ − 1) − EF pl ( mσ − 1) exp  q π ~
 .
p p
µ
mσ 0
mσ
2l+1
kF l |vl |
µV
2
(3.30)
Powyższa, zależność, można po zdefiniowaniu wielkości:
∆mσσ0 = mσ0 − mσ ,
zwanej rozszczepienim masowym, zapisać ostatecznie jako:
·
µ
¶
¸−1
2 ~2
p
π
√ 2l+1 p p − 1
∆l = exp
×
µV


2
kF l |vl |
2 2

π ~
 .
 mσ ~$D − EF ∆mσσ0  1 + 1 exp
q
p p
µ
mσ 0 mσ
2l+1
kF l |vl |
µV
2
(3.31)
Oszacowanie średniego rozmiaru pojedynczej pary Coopera w tym przypadku, prowadzi do nastepuj
acej
zależności:
,
,
1
ξlp = ~ [2(mσ + mσ0 )∆pl ]− 2 =
·
µ
¶
¸− 21
2 ~2
p − 21
π
√ 2l+1 p p − 1
~ [2(mσ + mσ0 )∆l ]
exp
×
µV


2
kF l |vl |
2 2

π ~
 ,
 mσ ~$D − EF ∆mσσ0  1 + 1 exp
q
p p
µ
mσ 0 mσ
2l+1
kF l |vl |
µV
2
(3.32)
gdzie, energia wiazania
∆pl dana jest równaniami powyżej.
,
Jeżeli przyjmiemy w otrzymanych zależnościach (wzory (3.30), (3.31) i
(3.32)):
1. l = 0, p = 0, to otrzymamy wtedy wyniki dla singletowego parowania elektronów w ukÃladzie, w którym wystepuje
rozszczepienie masowe
,
∆m;
2. l = 1, p = 0, to otrzymamy wyniki dla parowania trypletowego w
ukÃladzie o spinowo-zależnych masach elektronów.
ROZDZIAÃL 3. UKÃLAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH30
Mamy zatem:
energia wiazania
dla parowania singletowego
,
¶
¸−1
·
µ
2 ~2
π
0
√1 0 0 − 1
×
∆0 = exp
µV


2
~kF 0 |v0 |
2 2

π ~
 m↑ ~$D − EF ∆m↑↓  1 + 1 exp
 ,
q
µ
m↓ m↑
1
0 0
µV 2 ~kF 0 |v0 |
(3.33)
energia wiazania
dla parowania trypletowego
,



−1
2 2
π ~
 − 1 .
∆01 = 2~$D exp  q
3
0 1
µV 2 ~kF 1 |v0 |
(3.34)
Średni rozmiar pary Coopera w przypadku parowania singletowego
·
µ
¶
¸ 21
2 ~2
π
1
0
√1 0 0 − 1 ×
exp
ξ0 = ~ √
2(m↑ +m↓ )
µV
2
~kF 0 |v0 |


− 21
2 2
π ~
 m↑ ~$D − EF ∆m↑↓  1 + 1 exp

q
µ
m↓ m↑
1
0 00
µV 2 ~kF 0 |v |
,
(3.35)
średni rozmiar pary Coopera w przypadku parowania trypletowego
ξ10 =
r


2 2

 21
π ~
~ 
 − 1 ,
exp  q
8m$D
3
0
0
µV 2 ~kF 1 |v)1 |
(3.36)
gdzie m oznacza mase, pojedynczego elektronu tworzacego
dana, pare.
,
,
Powyższe wzory opisuja, energie, i średni rozmiar wszystkich możliwych
par Coopera jakie moga, powstać na skutek oddziaÃlywania wymiennego miedzy
,
elektronami, w ukÃladzie ze spinowo-zależnymi masami elektronów.
W szczególności, w przypadku parowania singletowego, redukuja, sie, one,
po podstawieniu m↑ = m↓ , do znanych z poprzedniego rozdziaÃlu wzorów
opisujacych
singletowa, pare, Coopera w ukÃladzie, w którym nie wystepuje
,
,
rozszczepienie masowe ∆m. Natomiast w przypadku parowania trypletowego, struktura zależności opisujacych
energie, i średni rozmiar trypletowej
,
pary Coopera w ukÃladzie o spinowo zależnych masach elektronów jest taka
sama jak w ukÃladzie, w którym masy elektronów nie zależa, od ich spinu.
ROZDZIAÃL 3. UKÃLAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH31
3.3
Podsumowanie rozdziaÃlu.
W rozdziale niniejszym przeanalizowany zostaÃl ogólny mechanizm parowania elektronów zaindukowanego oddziaÃlywaniami wymiennymi w ukÃladzie,
w którym wystepuj
a, efektywne spinowo-zależne masy elektronów.
,
Z modelu, który zostaÃl tutaj przedstawiony wynikaja, zależności opisujace
,
energie, i rozmiar, zarówno singletowej jak i trpletowej pary Coopera. Sa, to
wzory od (3.30) do (3.36).
Z zależności powyższych widać, że opisany tutaj model parowania redukuje sie, do omówionego wcześniej modelu, w którym nie wystepuje
roz,
szczepienie masowe. Wszystkie wyniki, które otrzymaliśmy dla parowania z
degeneracja, spinowa, w ukÃladzie, otrzymujemy z omówionego w tym rozdziale
modelu jeżeli poÃlożymy: mσ = mσ0 .
Zauważmy, że w stanie podstawowym singletowa para Coopera nie jest
para, bezpradow
a, ale niesie ze soba, prad
,
, elektryczny. Sytuacja taka wynika z
faktu zÃlamania symetrii spinowej ukÃladu, co przejawia sie, w różnicach efektywnych mas elektronów tworzacych
taka, pare.
,
,
Zwróćmy jeszcze uwage, na fakt, że w przypadku parowania trypletowego,
w ukÃladzie ze zniesiona, degeneracja, spinowa,, powstaÃla para Coopera ustawia sie, zawsze w taki sposób aby jej wypadkowy spin byÃl prostopadÃly do
wyróżnionego kierunku kwantowania. Sytuacja taka pozwala na sterowanie zachowaniem sie, trypletowej par Coopera, poprzez czynnik zadany z
zewnatrz,
np. pole magnetyczne lub pole elektryczne.
,
Jednak, aby mieć peÃlny obraz przedstawionej tutaj sytuacji, należy rozważyć uogólniona, na przypadek dowolnego parowania, teorie, BCS.
Wreszcie należy zwrócić uwage, na to, że jeżeli potencjaÃl parujacy,
który
,
zostaÃl wprowadzony w oryginalnym podejściu Coopera, dla przypadku parowania singletowego [3], oznaczymy jako v˜0 , to zachodzi wtedy: v˜0 = √12 v00 ,
gdzie v00 jest odpowiednim wspóÃlczynnikiem rozwiniecia potencjaÃlu Vk−k0 w
bazie ortonormalnych stowarzyszonych funkcji Legendre’a.
RozdziaÃl 4
Problem Coopera w jezyku
II
,
kwantowania
Równorzednym
formalizmem do I kwantowania jest w przypadku nie,
relatywistycznym II kwantowanie. Jest to formalizm, który zostaÃl podany
kilka lat po sformuÃlowaniu mechaniki falowej. Jego nazwa bierze sie, stad,
że
,
operatory opisujace
cz
astki
maj
a
podobn
a
struktur
e
do
wartości
oczekiwanej
,
,
,
,
,
operatorów w I kwantowaniu, można by zatem powiedzieć, że mamy do czynienia z ”powtórnym kwantowaniem”. W efekcie zamiast pakietów falowych,
z którymi mamy do czynienia w mechanice falowej Schrödingera, pojawia sie,
dobrze określony jezyk
czastkowy.
Otrzymany w ten sposób obraz jest bar,
,
dzo prosty w interpretacji i bardzo czesto
pozwala na kierowanie sie, intuicja.,
,
Dowód równoważności obu tych formalizmów można znaleźć np. w [7].
4.1
Podstawowe definicje w II kwantowaniu.
Operatory jedno i dwuczastkowe
sa, zdefiniowane w reprezentacji II kwanto,
wania za pomoca, nastepuj
acych
zależności:
,
,
XZ
Ô1 =
d3 rΨ†σ (r)O1 (r)Ψσ (r)
(4.1)
σ
Ô2 =
XZ
d3 rd3 r0 Ψ†σ (r)Ψ†σ0 (r0 )O2 (r, r0 )Ψσ0 (r0 )Ψσ (r)
(4.2)
σσ 0
gdzie: O1 (r) oraz O2 (r, r0 ) sa, operatorami w obrazie Schrödingera, natomiast
Ψσ (r) jest operatorem pola dla zadanej spinowej liczby kwantowej σ.
32
ROZDZIAÃL 4. PROBLEM COOPERA W JEZYKU
II KWANTOWANIA33
,
Zależne od spinu operatory pola konstruowane sa, wedÃlug nastepuj
acych
,
,
reguÃl:
X
Ψσ (r) =
aiσ φi (r)χσ ,
(4.3)
i
gdzie: {φi (r)} jest zupeÃlnym zbiorem ortonormalnych, jednoczastkowych
,
funkcji falowych a χσ jest cześci
a, spinowa, funkcji falowej, speÃlniajac
, a, nastepu,
,
†
†
0 = δσσ 0 , natomiast akσ , a
jac
a
relacj
e
χ
χ
s
a
odpowiednio
operatorami
σ
σ
kσ
, ,
,
,
anihilacji i kreacji czastki
w stanie jednoczastkowym
|kσi. Operatory te
,
,
speÃlniaja, nastepuj
ace
reguÃly (anty)komutacji (znak ” + ” odpowiada fermio,
,
nom, a ”−”bozonom):
[aiσ , ai0 †σ0 ]∓ = δii0 δσσ0 ; [aiσ , ai0 σ0 ]∓ = [a†iσ , a†i,σ0 ]∓ = 0.
(4.4)
Stan próżni |0i zdefiniowany jest nastepuj
acym
zwiazkiem:
akσ |0i ≡ 0.
,
,
,
DziaÃlajac
, operatorami kreacji na stan próżni |0i, można zbudować caÃla, przestrzeń Focka, mówmy wtedy o tzw. reprezentacji liczb obsadzeń.
ReguÃly (anty)komutacji speÃlniane przez operatory kreacji i anihilacji cza,
stek w oczywisty sposób przenosza, sie, na (zależne od spinu) operatory pola.
ReguÃly te dla spinowych operatorów pola maja, nastepuj
ac
, a, postać (znak
,
” + ” odpowiada fermionom, a ”−”bozonom):
[Ψσ (r), Ψσ0 (r0 )]∓ = [Ψσ (r)† , Ψσ0 (r0 )† ]∓ = 0
[Ψσ (r), Ψσ0 (r0 )† ]∓ = δσσ0 δ (r − r0 )
(4.5)
CaÃlkowity (niezależny od spinu) operator pola dany jest w nastepuj
acej
,
,
postaci spinorowej:
µ
¶
X
X
ai↑
Ψ(r) =
Ψσ (r) ≡
φi (r)
.
(4.6)
ai↓
σ
i
ROZDZIAÃL 4. PROBLEM COOPERA W JEZYKU
II KWANTOWANIA34
,
4.2
Rozwiazanie
problemu Coopera w jezyku
,
,
II kwantowania.
Opierajac
, sie, na informacjach zawartych w poprzednim paragrafie można
hamiltonian oddziaÃlujacej
pary elektronów zapisać w przestrzeni pedów
w
,
,
nastepuj
acej
postaci:
,
,
X
X
†
σσ 0 †
²k a†kσ akσ +
Ĥ =
|k|, |k0 | > kF .
(4.7)
Vk,k
0 akσ a−kσ 0 a−k0 σ 0 ak0 σ ;
kσ
k,k0
Od razu zostaÃlo tutaj zaÃlożone, że rozpatrywane elektrony maja, przeciwnie
0
0
skierowane pedy.
Natomiast przyjmujac
, odpowiednio σ = −σ lub σ = σ
,
otrzymamy hamiltonian odpowiadajacy
jednej z możliwych pary Coopera,
,
która może powstać.
Pierwszy wyraz w hamiltonianie opisuje swobodna, propagacje, elektronów
umieszczonych powyżej powierzchni Fermiego przez krysztaÃl. ZostaÃl on wyprowadzony przy wykorzystaniu definicji operatora jednoczastkowego
w II
,
kwantowaniu i przy wyborze operatora pola w postaci:
Ψσ (r) =
X
k
1
ak,σ χσ √ eikr .
V
(4.8)
Natomiast drugi wyraz przedstawia oddziaÃlywanie. Wyraz z oddziaÃlywaniem
można wyprowadzić przy użyciu metody transformacji kanonicznej, w drugim rzedzie
rachunku zaburzeń, prowadzonym dla hamiltonianu opisujacego
,
,
ukÃlad elektron-fonon.
Stan w przestrzeni Focka, rozpatrywanej pary elektronów, postulowany
jest w postaci:
X
(4.9)
|F i =
αk a†kσ a†−kσ0 |0i,
k
gdzie stan |0i jest stanem podstawowym ukÃladu w T = 0 (wszystkie poziomy
poniżej powierzchni Fermiego sa, obsadzone). Oczywiście, tak jak poprzednio,
wspóÃlczynniki αk musza, speÃlniać warunek uwzgledniaj
acy
zakaz Pauliego.
,
,
Dodatkowo normalizacja wektora stanu (hF |F i = 1) narzuca na nie warunek
postaci:
X
|αk |2 = 1.
(4.10)
k
Wykorzystujac
, teraz zależności (4.7) i (4.9) możemy zbudować funkcjonaÃl
energii wedÃlug nastepuj
acej
formuÃly: E{ak , αk∗ } = hF |Ĥ|F i. Nastepnie
sto,
,
,
sujac
wiaz
, metode, mnożników Lagrange’a, w której uwzgledniamy
, (4.10)
,
ROZDZIAÃL 4. PROBLEM COOPERA W JEZYKU
II KWANTOWANIA35
,
narzucony na ukÃlad, otrzymujemy funkcjonaÃl postaci
Ã
!
X
F {αk , αk∗ } = hF |Ĥ|F i − λ
|αk |2 − 1 ,
(4.11)
k
który z kolei minimalizujemy wzgledem
wspóÃlczynników αk∗
,
δ
δ
∗
F
{α
,
α
}
=
E{αk , αk∗ } − λαk = 0.
k
k
∗
∗
δαk
δαk
Postepowanie
takie prowadzi ostatecznie do równania postaci:
,
X
αk (2²k − λ) +
αk0 Vk−k0 = 0.
(4.12)
(4.13)
k0
Otrzymane równanie (4.13), sprowadza sie, do równania (2.14) (dla EK =
0) w przypadku gdy w ukÃladzie nie wystepuje
rozszczepienie masowe ∆m.
,
Równanie to sprowadza sie, również do równania (3.16) (dla EK = 0) w
przypadku ukÃladu elektronów o spinowo-zależnych masach. Przy czym w obu
tych przypadkach okazuje sie, że λ peÃlni role, energii wÃlasnej rozpatrywanego
ukÃladu.
Jak wiec
I jak i II kwanto, widać, obydwa formalizmy (zarówno jezyk
,
wania) prowadza, do takich samych wyników. Formalizm II kwantowania
jest jednak wygodniejszy w bardziej skomplikowanych sytuacjach. Jest też
jedynym, w którym można sformuÃlować konsekwentnie teorie, BCS.
4.3
Podsumowanie rozdziaÃlu.
W powyższym rozdziale przedstawione zostaÃlo, w jezyku
II kwantowania,
,
rozwiazanie
problem Coopera dla przypadku dowolnego parowania elektronów.
,
Rozwiazanie
to obejmuje parowanie zarówno singletowe jak i trypletowe.
,
Obejmuje ono również parowanie elektronów o spinowo-zależnych masach.
Oczywistym jest, że stosujac
, formalizmy I i II kwantowania powinniśmy
otrzymać identyczne wyniki. Widać to wyraźnie gdy porównamy ze soba,
równania (2.14) i (4.13) oraz równania (3.16) i (4.13). Równania te wyprowadzone zostaÃly odpowiednio w obu tych jezykach.
Opisuja, one energie,
,
wiazania
pary, w ukÃladzie, w którym nie wystepuje
rozszczepienie masowe
,
,
∆m oraz w ukÃladzie, w którym mamy do czynienia ze spinowo-zależnymi
masami elektronów tworzacymi
dana, pare.
,
,
RozdziaÃl 5
Podsumowanie pracy
W zaprezentowanej pracy przedstawiony zostaÃl model parowania elektronów zaindukowanego oddziaÃlywaniami wymiennymi. Model taki rozpatrzono w dwóch przypadkach.
W pierwszym z nich, omówionym w rozdziale drugim, przedstawiono model parowania w krysztale, w którym nie istnieje wyróżniony kierunek w
przestrzeni. W rozważanym ukÃladzie moga, zaistnieć dwa rodzaje parowania, a mianowicie: parowanie singletowe charakteryzujace
sie, liczba, kwan,
towa, (l = 0) oraz parowanie trypletowe scharakteryzowane liczba, kwantowa, (l = 1). PowstaÃle w takich warunkach pary Coopera, nie sa, opisywane poprzez liczbe, kwantowa, m, tzn. liczbe,
, która charakteryzuje rzut
wypadkowego spinu caÃlego ukÃladu na zadana, oś kwantowania. Podejście takie wynika z faktu, iż w badanym ukÃladzie nie istnieje wyróżniony kierunek
w przestrzeni. W dalszej cześci
zostaÃly wyznaczone analitycznie zależności
,
opisujace
zarówno energie, wiazania
jak również rozmiar par, które moga, po,
,
wstać w takim ukÃladzie. Z otrzymanych zależności wypÃlywaja, trzy ważne
wnioski. Pierwszy z nich jest taki, że pary Coopera tworza, sie, najcześciej,
,
wtedy gdy, energia środka masy elektronów tworzacych
tak
a
par
e
jest
równa
,
,
,
zeru (EK = 0). Drugi mówi, że rozmiar powstaÃlej pary Coopera jest odwrotnie proporcjonalny do pierwiastka kwadratowego z jej energii wiazania
,
(ξl ∼ √1∆l ). Natomiast trzeci, to fakt, iż obydwa rodzaje par, jakie moga,
powstać w rozważanym ukÃladzie, to pary bezpradowe.
,
Z kolei, w drugim z omawianych modeli, który opisany jest w rozdziale
trzecim, przedstawiona zostaÃla pojedyncza para Coopera o efektywnych masach tworzacych
ja, elektronów, zależnych od kierunków spinów wynikajacych
,
,
z oddziaÃlywania kulombowskiego miedzy
nimi.
W
rozważanym
ukÃ
l
adzie
,
moga, wystapić
również dwa rodzaje par. Jednakże, tym razem, w odróżnieniu
,
od przypadku dyskutowanego poprzednio, musimy do opisu powstaÃlych par
Coopera użyć liczby kwantowej m. Jest to podyktowane faktem zÃlamania
36
ROZDZIAÃL 5. PODSUMOWANIE PRACY
37
symetrii badanego ukÃladu, które objawia sie, w postaci zależności masy elektronów od rzutów ich spinów na zadana, oś kwantowania. Pary jakie moga,
powstac w rozpatrywanym ukÃladzie to: para singletowa scharakteryzowana
liczbami kwantowymi (l = 0, m = 0) oraz para trypletowa, która, charakteryzuja, nastepuj
ace
liczby kwantowe (l = 0, m = 0). Na pozór zadziwiajacy
,
,
,
jest fakt, że w ukÃladzie tym nie wystepuj
a, trypletowe pary Coopera opisane
,
liczbami kwantowymi: (l = 1, m = −1) oraz (l = 1, m = 1). Jednak, po
gÃlebszej
analizie tego problemu, powyższy wniosek jest wrecz
naturalny i nie
,
,
ma w nim nic zadziwiajacego.
Jest on bowiem nieunikniona, konsekwencja,
,
zÃlamania symetrii rozważanego ukÃladu i wynika z rozróżnialności czastek,
,
gdyż: m↑ 6= m↓ .
Podobnie jak poprzednio, również i tym razem zostaÃly wyznaczone analitycznie zależności opisujace
energie, wiazania
oraz rozmiar powstaÃlych w
,
,
takich warunkach par Coopera. Wnioski wynikajace
z tych zależności, które
,
dotycza, energii wiazania
oraz rozmiaru badanych par sa, prawie takie same
,
jak odpowiadajace
im
wnioski,
które otrzymane zostaÃly w poprzednim przy,
padku. Różnica, która miedzy
nimi wystepuje,
przejawia sie, w przypadku
,
,
parowania singletowego i polega na tym, że energia wiazania
singletowej pary
,
Coopera zależy od wielkości rozszczepienia masowego ∆m, które wystepuje
,
pomiedzy
elektronami
tworz
acymi
tak
a
par
e.
Z
analizy
zależności
opisuj
acej
,
,
,
,
,
energie, wiazania
tej
pary
wynika
wniosek,
że
im
wi
eksze
∆m
dla
tej
pary,
,
,
tym sÃlabsze jest jej wiazanie.
Natomiast, jeżeli chodzi o to, czy rozpatrywane
,
pary sa, bezpradowe
czy też nie, to sprawa ta przedstawia sie, nieco inaczej,
,
niż w poprzednio omawianym przypadku. A mianowicie, snigletowa para,
nie jest tak, jak poprzednio, para, bezpradow
a,, tylko niesie prad
,
, elektryczny.
Fakt ten jest konsekwencja, wystepowania
w
ukÃ
l
adzie
spinowo-zależnych
mas
,
elektronów tworzacych
ta, pare.
,
, Natomiast jeżeli chodzi o przypadek pary trypletowej, to tym razem, podobnie jak poprzednio, jest ona para, bezpradow
a.,
,
Omawiany powyżej model parowania elektronów o spinowo-zależnych masach redukuje sie, w szczególnym przypadku do rozważanego poprzednio modelu, jeżeli tylko przyjać,
dana,
, że efektywne masy obu elektronów tworzacych
,
pare, Coopera sa, zawsze sobie równe (tzn. nie istnieje rozszczepienie masowe
∆m)
W czwartym rozdziale tej pracy, w bardzo krótkiej formie zostaÃly omówione wszystkie powyższe problemy w jezyku
II kwantowania. Otrzymane wnio,
ski po zastosowaniu tego formalizmu sa, takie same jak te, które zostaÃly otrzymane w jezyku
I kwantowania. Nic w tym dziwnego, ponieważ jak wiadomo
,
obydwa te formalizmy sa, równoważne.
Bibliografia
[1] A.L. Fetter, J.D. Walecka
Kwantowa teoria ukÃladów wielu czastek,
PWN, Warszawa 1988
,
[2] Walter A. Harrison
Teoria ciaÃla staÃlego, PWN, Warszawa 1976
[3] P. Wróbel
Pary Coopera w niestandardowych ukÃladach sieciowych, Praca magisterska, Kraków 1999
[4] J. SpaÃlek, P. Gopalan Phys. Rev. Lett. 64 (1990) 2823
Almost localized electrons in a magnetic field
[5] A. Kleinberg, J. SpaÃlek, Phys. Rev. B 57 (1998) 12041
Simple treatment of the metal - insulator transition: Effects of degeneracy, temperature and applied magnetic field
[6] L.N. Cooper, Phys. Rev. 104 (1956) 1189
Bound electron pairs in a degenerate Fermi gas
[7] B. Robertson, AJP 41 (1973) 678
Introduction to field operators in quantum mechanics
[8] P.W. Anderson, Physica B 199 & 200 (1994) 8
Two new developments in the theory of high Tc superconductivity
[9] K.A. Müller, J.G Bednorz, Physica B 64 (1986) 189
Possible high Tc superconductivity in the Ba - La - Cu - O system
[10] S. Brzezowski
Wstep
, do mechaniki kwantowej, wydano nakÃladem Instytutu Fizyki Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1997
38
BIBLIOGRAFIA
39
[11] M. Cyrot, D. Pavuna
Wstep
, do nadprzewodnictwa, PWN, Warszawa 1996
[12] K. Zalewski
WykÃlady z nierelatywistycznej mechaniki kwantowej, PWN, Warszawa
1997
[13] W.E. Lawrence, S. Doniach, in Proc. 12th Int. Conf. on Low Temperature Physics, Kyoto, Japan, 1971, ed. E. Kanda (Keigaku, Tokyo, 1971)
p.361
Theory of layer structure superconductors
[14] L.D. Landau
Mechanika kwantowa - teoria nierelatywistyczna, PWN, Warszawa 1979
(wyd 2)
[15] K. Byczuk, J. SpaÃlek, Phys. Rev. B 53 (1996) 518 (Rapid Comm.)
Transition temperature and a spatial dependence of the superconducting
gap for multilayer high-temperature superconductors
[16] P.T. Matthews
Wstep
, do mechaniki kwantowej, PWN, Warszawa 1977
[17] Ch. Kittel
Wstep
, do fizyki ciaÃla staÃlego, PWN, Warszawa 1999
[18] K. Byczuk, J. SpaÃlek, W. Wójcik, Phys. Rev. B 46 (1992) 14134
Microscopic model of hybrid pairing: II. Exact solution for a single pair
[19] H. Ibach, H. Lüth
Fizyka ciaÃla staÃlego, PWN, Warszawa 1996
[20] J. SpaÃlek, Phys. Rev. B 63 (2000) 104513
Spin-triplet superconducting pairing due to local Hund’s rule and Dirac
exchange