Komputer kwantowy: nowe wyzwanie dla nanotechnologii
Transkrypt
Komputer kwantowy: nowe wyzwanie dla nanotechnologii
MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY PLENARNE Komputer kwantowy: nowe wyzwanie dla nanotechnologii Lucjan Jacak Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska 1. Pomiar, dekoherencja, informacja kwantowa Kwantowa ewolucja zamkniętego układu opisanego hamiltonianem jest równie deterministyczna jak ewolucja klasyczna opisywana przez równanie Newtona. Chociaż kwantowy układ nie ma trajektorii w przestrzeni fazowej, to ma ją w przestrzeni Hilberta. Pomiar powoduje jednak nieodwracalną utratę informacji. Według von Neumanna pomiar prowadzi do utraty informacji zawartej w funkcji falowej poprzez jej przypadkowe rzutowanie na kierunek jednej z funkcji własnych operatora wielkości mierzonej. Pomiar jest wynikiem oddziaływania układu z przyrządem pomiarowym. Oddziałujące układy nie są z reguły opisane swoimi funkcjami falowymi (nie są w stanach czystych), ale można je opisać za pomocą macierzy gęstości. Każde oddziaływanie dwóch układów można interpretować jako pomiar jednego układu dokonywany przez drugi; pomiar von Neumanna zachodzi wtedy, gdy układ pomiarowy jest makroskopowy (superselekcja) [1,2]. Ewolucja macierzy gęstości jednego z układów pod wpływem oddziaływania z drugim jest nazywana ogólnie dekoherencją. W wyniku oddziaływania układów dochodzi do splątania kwantowego. Czysty stan całego układu nazywa się stanem splątanym, jeśli nie jest prostym iloczynem tensorowym stanów czystych obu układów (jest on wtedy liniową kombinacją takich iloczynów). Podukłady nie są wtedy w stanach czystych. Splątanie układów jest naturalnym wynikiem ich oddziaływania i nie może być uzyskane lokalnie przez manipulowanie tylko w jednym z układów. Splątanie leży u podstaw pomiaru i dekoherencji – najpowszechniejszych zjawisk w mikroświecie. Dla dostatecz72 nie małych układów, obu mikroskopowych (np. pojedynczych cząstek), można analizować i nawet wpływać na ewolucję splątania i wzajemnej dekoherencji. Stwarza to nowe możliwości przetwarzania informacji w kwantowy sposób, niedostępny dla informatyki klasycznej. Można planować deterministyczną kwantową ewolucję układów złożonych z małych oddziałujących podukładów, w analogii do klasycznych algorytmów. Konieczne jest jednak, by zdążyć przetworzyć kwantową informację w niewielkim układzie, wykorzystując w kontrolowany sposób splątywanie się jego podukładów, dopóki nie doplącze się otoczenie i nie dokona dekoherencji (pomiaru) w niekontrolowany sposób. Podstawową jednostką informacji kwantowej jest qubit – abstrakcyjny dwustanowy układ kwantowy, którego zawartością, w odróżnieniu od klasycznego bitu, może być dowolna superpozycja obu stanów (zob. także artykuł M. Horodeckiego na s. 35 niniejszego zeszytu – Red.). Ze względu na nielokalny charakter mechaniki kwantowej przejawiający się w kwantowym splątaniu, przetwarzanie informacji kwantowej i jej przekazywanie jest zupełnie nieklasycznym zjawiskiem. Pojemność informacyjna nawet niewielkich układów kwantowych jest ogromna, również niespotykana w klasycznej informatyce – wymiar przestrzeni Hilberta dla np. 100 qubitów wynosi 2100 (wymiar iloczynu tensorowego 100 dwuwymiarowych przestrzeni). Przetwarzanie informacji, jaką można zakodować w stanie kwantowym 100 qubitów, przekracza zatem możliwości jakichkolwiek klasycznych komputerów – chodzi o przetwarzanie macierzy 2100 × 2100 (układ kwantowy przetwarza je sam). Opanowanie technik sterowania procesami kwantowymi otworzyłoby niezwykłe możliwości. Informację zrozumiałą dla czło- POSTĘPY FIZYKI TOM DODATKOWY 53D ROK 2002 MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY PLENARNE wieka (czyli klasyczną) należałoby wczytać w sterowany układ kwantowy, pozwolić jej błyskawicznie i nielokalnie ewoluować zgodnie z zaprojektowanym algorytmem kwantowym, a następnie wynik odczytać w postaci klasycznej. Z odczytaniem byłyby trudności – zgodnie z zasadą nieoznaczoności nie cała kwantowa informacja jest dostępna. Jednak odpowiednio manipulując superpozycją (czyli wykorzystując efekty interferencyjne), można uzyskać pożądaną część kwan- towej informacji w postaci klasycznej. Równoległe i równoczesne przetwarzanie całej kwantowej informacji w wielocząstkowym układzie kwantowym jest wykładniczo szybsze od informatyki klasycznej (pewne spowolnienia wynikają z ograniczeń odczytu). Podanie szybkich kwantowych algorytmów (tab. 1, [3,4]) dla rozwiązania kłopotliwych zagadnień klasycznej informatyki może zatem zapowiadać rewolucję informatyczną i technologiczną. Tabela 1. Algorytmy kwantowe. Nazwa algorytmu Problem Przyspieszenie Algorytm Deutscha i Jozsy, 1992 odróżnienie funkcji zrównoważonej od stałej (Oracle setting) wykładnicze Algorytm Simona, 1997 odróżnienie funkcji 1-1 od funkcji 2-1 wykładnicze Algorytm Shora dla faktoryzacji, 1994 znajdowanie liczb pierwszych wykładnicze Transformata Fouriera wg Kitajewa, 1995 szybka kwantowa transformata Fouriera Algorytm Grovera, 1995 przeszukiwanie bazy danych (Finding needle in a haystack) Algorytm Shora kwantowej korekty błędów, 1996 kwantowa korekta błędów Należy podkreślić, że wyidealizowane algorytmy kwantowe bardzo trudno zrealizować praktycznie. Nieunikniona dekoherencja wywołana przez otoczenie nawet najlepiej izolowanego układu prowadzi do kumulacji błędów i nieodwracalnej utraty informacji. Dopiero zastosowanie kwantowej korekty błędów [3–5] na każdym etapie kwantowego algorytmu mogłoby umożliwić praktycznie bezbłędną realizację procedur kwantowych. Dobrze już rozpoznane protokoły korekty błędów o charakterze kombinatorycznym prowadzą jednak do silnego zwielokrotnienia układu, a co za tym idzie, do gwałtownego (wykładniczego) wzrostu dekoherencji wraz z liczbą qubitów. Stąd stosunek czasu dekoherencji do czasu kwantowych elementarnych operacji logicznych musi być dostatecznie duży (co najmniej 105 ), by można było skutecznie zastosować procedury korekty. Nie są to jedyne trudności na drodze praktycznego wykorzystania informacji kwantowej. Równie silne ograniczenia wynikają z podstawowych własności stanów kwantowych, w szczególności qubitów, odróżniających je od klasycznych bitów. Twierdzenia: no-cloning [6], no-broadcasting [7] i no-deleting [8], mówiące o niemożności kopiowania stanów (kopiowanie POSTĘPY FIZYKI TOM DODATKOWY 53D kwadratowe umożliwiłoby równoczesne pomiary, przecząc zasadzie nieoznaczoności), rozpowszechniania i wymazywania nieznanych stanów znacznie komplikują niektóre procedury, np. proste resetowanie kwantowego rejestru, niezbędne dla powtarzalności kwantowego komputera. Informatyka kwantowa ma niezwykłe i zadziwiające możliwości – wynikają one jednak, podobnie jak splątanie, z elementarnych własności algebraicznych iloczynu tensorowego. Można to zademonstrować na przykładzie kwantowego kodowania i kwantowej teleportacji (Dodatki 1 i 2, [3–5]). W przypadku kodowania kwantowego wykorzystuje się nielokalny charakter stanów splątanych. Dokonując operacji lokalnych tylko na jednym qubicie, z jednego stanu splątanego można uzyskać trzy pozostałe splątane stany tzw. bazy Bella w 4-wymiarowej przestrzeni Hilberta dwóch qubitów (w przypadku klasycznym kodowanie pary bitów wymaga działań na obu bitach). Podobnie – w przypadku teleportacji kwantowej – wykorzystanie własności iloczynu tensorowego pozwala na interpretację prostych zależności algebraicznych jako przekazania zawartości qubitu 1 na inny, nawet odległy qubit 3 (Dodatek 2). Mimo że kwantowy transport informacji ROK 2002 73 MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY PLENARNE jest natychmiastowy, w czasie teleportacji nienaruszona jest relatywistyczna zasada ograniczenia przekazu informacji przez prędkość światła. Qubit 3 ma wprawdzie natychmiast pełną informację o qubicie 1, ale w zbyt dużej ilości. Żeby odbiorca przy qubicie 3 wiedział, która jest właściwa, musi otrzymać dodatkową informację klasyczną, przekazaną wolniej niż prędkość światła w próżni. Fakt ten zwraca również uwagę na niezrozumiany jeszcze do końca aspekt informacji klasycznej – układ kwantowy bez tej informacji to co innego (teleportacja nieujawniona) niż układ kwantowy zaopatrzony w taką informację (teleportacja dokonana). Kwantowa teleportacja może być wykorzystana także do wykonywania operacji logicznych w odmienny sposób niż za pomocą fizycznie implementowanych bramek [9]. Uogólnienia protokołu teleportacji pozwalają bowiem transportować również operatory unitarne, tzn. wykonywać ewolucje kwantowe na odległość (zmieniając stan qubitu 1, zmienimy także stan qubitu 3 po teleportacji). Można by więc teleportacyjnie wykonywać operacje logiczne kwantowych algorytmów, omijając w ten sposób dekoherencję fizycznych bramek. Wydaje się prawdopodobne przeprowadzenie takiego scenariusza realizacji kwantowych algorytmów w ramach optyki liniowej, gdzie opanowano dokładne operacje jednoqubitowe, i bardzo zaawansowane są techniki precyzyjnego splątywania dwóch i trzech qubitów (potrzebnych do teleportacji operacji dwuqubitowych [5,9]). 2. Komputer kwantowy – perspektywy i ograniczenia Dowolną deterministyczną ewolucję kwantową można przedstawić jako sekwencję operacji jednoqubitowych i uniwersalnej operacji dwuqubitowej, np. sterowanego zaprzeczenia CNOT [3,4]. Na prostej bazie przestrzeni H1 ⊗H2 działa ono wg przepisu: |00i ⇒ |00i, |01i ⇒ |01i, |10i ⇒ |11i, |11i ⇒ |10i. Pozwala to na algorytmizację procesów kwantowych i leży u podstaw koncepcji komputera kwantowego [4,5,10]. Gdyby dysponować idealnymi qubitami i móc je dowolnie sprzęgać ze sobą oddziaływaniami w kontrolowany sposób, to nawet niewielka ich liczba (w porównaniu z liczbą tranzystorów w klasycznych procesorach), tj. 100–1000 qubitów, pozwoliłaby na realizację 74 nieosiągalnych klasycznie zadań w bardzo krótkim czasie [3–5,10]. Działają już 3-qubitowe komputery kwantowe (tab. 2 [5,10]) na jonach uwięzionych w pułapkach i spinach jądrowych cząsteczek, jednak ich możliwości są jeszcze niewielkie. W przypadku obu konstrukcji nie wydaje się możliwe skalowanie i przekroczenie bariery kilkuqubitowych układów (działania na jonach są zbyt wolne, liczba oddziałujących spinów jądrowych w cząsteczkach jest mała, w obu konstrukcjach są kłopoty z resetowaniem [5]). Główny problem skalowania polega na tym, że wraz z liczbą qubitów niekontrolowana dekoherencja rośnie wykładniczo. Kwantowe schematy korekty błędów [3–5] wykorzystują niezmienniczość określonych podprzestrzeni zwielokrotnionych układów wobec skorelowanej dekoherencji. Taka dekoherencja rośnie wprawdzie szybciej z liczbą qubitów N (tj. jak exp(N 2 ), podczas gdy nieskorelowana dekoherencja rośnie jak exp(N )), ale umożliwia określenie nieczułych na dekoherencję podprzestrzeni (uogólnienia stanów singletowych), w których można bezpiecznie przechowywać informację. Inne koncepcje ochrony przed dekoherencją to tymczasowa teleportacja informacji do bardziej odpornych części układu lub znalezienie fizycznego mechanizmu korekty, jak w przypadku koncepcji topologicznego komputera na anyonach [11]. Konstrukcja komputera kwantowego w rzeczywistym układzie fizycznym wymaga, by spełniony był szereg warunków: 1) odpowiednio zdefiniowany qubit – dwa stany kwantowe oddzielone od pozostałych stanów układu (względnie duże odległości energetyczne, wzbronione przejścia itp.), tak by informacja weń wpisana nie ulegała wypływowi, 2) określenie możliwości wpisywania informacji w qubit, tj. możliwości uzyskania dowolnej superpozycji dwóch stanów qubitu za pomocą zewnętrznego, makroskopowo zmienianego pola (np. oscylacje Rabiego w realistycznym obszarze pól), 3) możliwość skalowania qubitu do urządzenia wieloqubitowego, 4) zaprojektowanie i realizacja uniwersalnej operacji dwuqubitowej, którą można byłoby wykorzystać do wykonania dowolnej kwantowej operacji logicznej (może to być CNOT lub inna bramka [5,10]; w każdym przypadku konieczne POSTĘPY FIZYKI TOM DODATKOWY 53D ROK 2002 MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY PLENARNE jest opanowanie techniki włączania i wyłączania oddziaływania qubitów w precyzyjny sposób, w bardzo krótkich odstępach czasu, tj. sterowanie splątaniem dwóch qubitów), 5) zapewnienie stosunku rzędów czasu potrzebnego na wykonanie elementarnych operacji logicznych i czasu dekoherencji na poziomie nie mniejszym niż 5, Tabela 2. Realizacje komputera kwantowego. Dziedzina Obiekt Autorzy Fizyka atomowa (zrealizowany 3-qubitowy) jony w pułapkach elektrycznych Cirac, Zoller (1995) Monroe i in. (1995) Optyka kwantowa QED – kwantowa elektrodynamika mikrownęk Turchette i in. (1995) Imamoglu i in. (1999) Jądrowy rezonans magnetyczny, NMR (zrealizowany 3-qubitowy) spiny jądrowe molekuł w cieczach Cory i in. (1997) Gershenfeld i in. (1997) Elektronowy rezonans magnetyczny, EPR spiny elektronowe Kane (1998) Vrijen (2000) Rezonansowa spektroskopia nadprzewodników nadprzewodzące złącza Josephsona Averin i in. (1997) Shnirman i in. (1997) Mooij i in. (1999) Fizyka elektronów elektrony na powierzchni He-4 Platzman, Dykman (1999) Sterowane polem magnetycznym lub elektrycznym struktury nanoskopowe (kropki kwantowe) spinowe stopnie swobody kropek kwantowych DiVincenzo i in. (1998) DiVincenzo i in. (2000), Tanamoto (2000) Jacak i in. (2001) Optycznie sterowane struktury nanoskopowe (kropki kwantowe) orbitalne stopnie swobody kropek kwantowych (elektronowe lub ekscytonowe) Zanardi, Rossi (1998) Li, Arakawa (2000), Bayer i in. (2001) Automaty komórkowe, układy biologiczne automaty komórkowe Lloyd (1993) Benjamin (2000) Wzbudzenia topologiczne anyony, ułamkowy efekt Halla Kitajew (1997) 6) zapewnienie możliwości oddziaływania dużej liczby qubitów, albo bezpośrednio (co jest trudne), albo poprzez qubit pośredniczący (np. foton), w celu skalowania komputera i realizacji korekty błędów, 7) zapewnienie możliwości odczytu informacji na wyjściu, 8) zapewnienie możliwości ponownego ustawienia całego układu (resetowania). Niektóre zastosowania kwantowej informatyki, jak kodowanie i transmisja, nie wymagają spełnienia wszystkich wyżej wymienionych warunków i wydają się łatwiejsze do realizacji, o czym świadczy znaczny postęp w tym zakresie [5]; ograniczenia związane są tam głównie ze swobodnymi nośnikami informacji – ruchomymi qubitami, np. fotonami – i możliwościami utrzymania ich kwantowych cech na dużych odległościach (ostatnie eksperymenty ze spowalnianiem POSTĘPY FIZYKI TOM DODATKOWY 53D i zatrzymywaniem światła wydają się tu też bardzo obiecujące). Jako qubity proponuje się rozmaite układy fizyczne [5]: foton (jest, nie ma w danym modzie), ekscyton (jest, nie ma w kropce kwantowej), spin jądrowy lub elektronowy w polu magnetycznym (1/2, −1/2), prąd tunelowy w nadprzewodzącym złączu Josephsona (kierunek → lub ←). Bardziej zaawansowane koncepcje to pojedynczy qubit na wielocząstkowych stanach w układach spinowych [12], fermionowych, bozonowych, a nawet anyonowych [11]. Poszukuje się zwłaszcza rozwiązań w obszarze nanotechnologii przy wykorzystaniu dobrze rozwiniętej technologii miniaturyzacji klasycznej informatyki (epitaksji, litografii i procesów samoorganizacji). Szczególnie interesujące są tu kropki kwantowe – układy o rozmiarach od kilku do kilkudziesięciu nanometrów, najczęściej w heterostrukturach półprzewodnikoROK 2002 75 MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY PLENARNE wych, mogące zawierać nawet pojedyncze elektrony. Stany elektronów zlokalizowanych w takich kropkach, z energią wiązania od kilku do kilkudziesięciu meV, mogą być (w przeciwieństwie do elektronów w atomach) łatwo modyfikowane polem magnetycznym (do 10 T) w zakresie do kilkudziesięciu procent, a także, w podobnym zakresie, łatwo osiągalnym polem elektrycznym. Stale rozwijane techniki wytwarzania kropek pozwalają na budowę skorelowanych układów kropek, np. cząsteczek czy łańcuchów kropek – niezbędnych dla procesorów kwantowych. Brane są pod uwagę zarówno orbitalne (elektronowe lub ekscytonowe), jak i spinowe stopnie swobody nośników uwięzionych w kropkach [12–16]. Całkowicie sterowana światłem ekscytonowa bramka logiczna na kwantowej cząsteczce (sprzężonej parze kropek) GaAs/InAs [14] jest całkiem możliwa do realizacji – zademonstrowano już splątanie stanów [15]. Czas relaksacji ekscytonów w kropkach jest rzędu nanosekundy, więc zastosowanie ultraszybkich, femtosekundowych technik optycznych [17] daje szansę na korektę błędów. Ostatnio pojawiły się zastrzeżenia w związku z możliwością pikosekundowej dekoherencji ekscytonów poprzez kanał niestabilnych polaronów [18]. Wydaje się jednak, że wstępne oszacowanie czasu tej dekoherencji było zawyżone. Poza tym, przez odpowiedni wybór rozmiarów kropki można będzie ominąć tę dekoherencję. Rozmiary kropek generowanych naprężeniem zależą (w niewielkim zakresie) od szczegółów technologii, być może należy zatem użyć kropek kształtowanych polem elektrycznym, o bardziej plastycznych charakterystykach. Spinowe stopnie swobody mogą okazać się znacznie korzystniejsze [12,13]. Czas dekoherencji spinu pojedynczego elektronu w kropce szacuje się w skali mikrosekund (wobec bardzo słabego sprzężenia z fononami). Trudności w tym przypadku związane są raczej z uzyskaniem pojedynczego elektronu w kropce oraz ze słabym rozszczepieniem Zeemana (np. 0,03 meV/T w GaAs). Różnica energii stanów qubitu zadanego przez dwie orientacje spinu w polu magnetycznym jest zatem mała, a czas operacji jednoqubitowych byłby niekorzystnie długi. W celu ominięcia tej trudności DiVincenzo [12] podał koncepcję qubitu spinowego na stanach trzech elektronów w trzech jednoelektronowych kropkach i wykorzystania do jed76 noqubitowych operacji silnego oddziaływania wymiennego (oddziaływanie to komutuje z Ŝ 2 i Ŝz ; dla ośmiu stanów trójki spinów, dwie pary stanów mają te same S i Sz , a na jednej z nich proponuje się rozpiąć qubit; wcześniej proponowano też qubit na stanach singletowym i trypletowym pary elektronów w kropce [16]). Oddziaływanie wymienne, choć spinowe, jest pochodzenia orbitalnego (Dodatek 3) i wyraża się poprzez różnicę energii stanów trypletowego i singletowego pary elektronów. Dobrze znane przejście singlet–tryplet w polu magnetycznym (dla pola rzędu 1 T, w przypadku kropek kwantowych) umożliwia zaprojektowanie sterowanego polem magnetycznym splątania stanów spinowych, co przy dużej wartości rozszczepienia singlet–tryplet poza punktem krytycznym może pozwolić na implementację bardzo szybkich dwuqubitowych operacji (Dodatek 3), a także jednoqubitowych dla wielospinowych qubitów. Mimo wielkich wysiłków nie zbudowano jednak jeszcze pozwalającej na skalowanie bramki logicznej w technologii półprzewodnikowej, nawet przy użyciu kropek kwantowych. Wobec skali trudności tego zadania praktyczna konstrukcja dużego komputera kwantowego może nie być zadaniem realistycznym w najbliższym czasie, jednakże gwałtowny postęp w zakresie doświadczalnej mechaniki kwantowej doprowadzi z pewnością do wielu ważnych odkryć i praktycznych zastosowań, już dziś bardzo atrakcyjnych np. w zakresie zabezpieczeń i transmisji. Dodatek 1 Protokół gęstego kodowania kwantowego Maksymalnie splątane stany pary qubitów (tzw. stany Bella): √ |ψ 1 i12 = (1/ 2)(|0i1 ⊗ |1i2 + |1i1 ⊗ |0i2 ), √ |ψ 2 i12 = (1/ 2)(|0i1 ⊗ |1i2 − |1i1 ⊗ |0i2 ), √ |ψ 3 i12 = (1/ 2)(|0i1 ⊗ |0i2 + |1i1 ⊗ |1i2 ), √ |ψ 4 i12 = (1/ 2)(|0i1 ⊗ |0i2 − |1i1 ⊗ |1i2 ). Dokonując wyłącznie lokalnych operacji na qubicie 2, można uzyskać wszystkie stany Bella wychodząc z jednego, np.: 1. operacja tożsamościowa, |0i2 → |0i2 i |1i2 → |1i2 daje |ψ 1 i12 ⇒ |ψ 1 i12 , 2. zamiana stanów, |0i2 → |1i2 i |1i2 → |0i2 daje |ψ 1 i12 ⇒ |ψ 3 i12 , POSTĘPY FIZYKI TOM DODATKOWY 53D ROK 2002 MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY PLENARNE 3. zróżnicowanie fazowe o π, |0i2 → −|0i2 i |1i2 → |1i2 daje |ψ 1 i12 ⇒ |ψ 2 i12 , 4. zamiana stanów i zróżnicowanie fazowe, |0i2 → −|1i2 i |1i2 → |0i2 daje |ψ 1 i12 ⇒ |ψ 4 i12 . Dodatek 2 Protokół teleportacji kwantowej Chcemy przeteleportować stan qubitu 1, |ϕi1 = α|0i1 + β|1i1 , na inny qubit 3. W tym celu splątu2 jemy √ qubit 3 z pomocniczym qubitem 2, np. |ψ i23 = (1/ 2)(|0i2 ⊗ |1i3 − |1i2 ⊗ |0i3 ); wtedy układ trzech qubitów jest w stanie |φi123 = |ϕi1 ⊗ |ψ 2 i23 i można go przedstawić w innej bazie: 2 Ŝ i = 2|φi123 = |ψ 2 i12 ⊗ (−α|0i3 − β|1i3 ) + |ψ 1 i12 ⊗ (−α|0i3 + β|1i3 ) + |ψ 4 i12 ⊗ (α|1i3 + β|0i3 ) + |ψ 3 i12 ⊗ (α|1i3 − β|0i3 ). Dodatek 3 Realizacja bramki CNOT w spinowej konfiguracji pary kropek Ĥ = i=1,2 + 2 (p̂i + (e/c)A) + ωi ri2 + gi µB Ŝ i · B 2m∗ e2 . ε|r 1 − r 02 | POSTĘPY FIZYKI TOM DODATKOWY 53D 1+ 1 2 = 34 , 3 2 + 2Ŝ 1 · Ŝ 2 . Dla singletu: S = 0, Ŝ 2 ⇒ S(S + 1) = 0, skąd Ŝ 1 · Ŝ 2 ⇒ −3/4. Dla trypletu: S = 1, Ŝ 2 ⇒ S(S + 1) = 2, skąd Ŝ 1 · Ŝ 2 ⇒ 1/4. Zatem operator (1/4)(Es +3Et )−(Es −Et )Ŝ 1 · Ŝ 2 ma takie same wartości własne dla singletu S = 0 i trypletu S = 1 jak orbitalna część hamiltonianu Ĥ, czyli X Ĥ = (Et − Es )Ŝ 1 · Ŝ 2 + gi µB Ŝ i · B. i=1,2 Oddziaływanie wymienne Et − Es = J(B) zmienia się mocno dla pola w zakresie kilku T, przechodząc przez zero, co pozwala na włączanie lub wyłączanie oddziaływania i splątania obu qubitów. Sterowana polem magnetycznym operacja CNOT wyraża się wtedy wzorami [13]: z z z ÛCNOT = eiπŜ1 /2 e−iπŜ2 /2 Û 1/2 eiπŜ1 Û 1/2 , Rτ i Ĥ dt Û = T e 0 int (h̄ = 1), Z τ J dt = π. Ĥint = J Ŝ 1 · Ŝ 2 , 0 Literatura Rolę qubitów odgrywają w tym przypadku spiny elektronów w dwóch jednoelektronowych kropkach (patrz rysunek) w polu magnetycznym. Hamiltonian tego układu ma postać ( 1 2 Ŝ 2 = (Ŝ 1 + Ŝ 2 )2 = Wykorzystano tu bazę przestrzeni H1 ⊗ H2 ⊗ H3 rozpiętą przez wektory Bella w H1 ⊗ H2 (Dodatek 1). Współczynniki α i β, które chcemy teleportować, od razu już znajdują się przy qubicie 3 (nawet bardzo odległym, ale splątanym z 2) w czterech różnych kombinacjach. Wystarczy wybrać jeden z ortogonalnych stanów |ψ i i12 (przez pomiar – rzutowanie), a cały układ znajdzie się np. w stanie |ψ 4 i12 ⊗ (α|1i3 + β|0i3 ), jeśli wybraliśmy i = 4. Należy teraz poinformować (klasycznie) odbiorcę przy qubicie 3, które i wybraliśmy, żeby wiedział, jak lokalnie na qubicie 3 uzyskać stan |ϕi3 = α|0i3 + β|1i3 . Równocześnie qubit 1 przestaje być w stanie czystym |ϕi1 , bo zostaje splątany z qubitem 2, podczas gdy qubit 3 odplątuje się i po lokalnej manipulacji uzyskuje wyjściową zawartość qubitu 1. Stan qubitu 1 jest więc teleportowany na qubit 3 bez naruszenia twierdzenia no-cloning ani zasad relatywistycznych (klasyczna informacja o i została przekazana wolniej niż światło). X Dla spinu 1/2: ) [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] W. Żurek, Phys. Rev. D 26, 1862 (1982). M.B. Menskij, Usp. Fiz. Nauk 169, 1017 (1998). D. Aharonov, quant-ph/98 12037 (1999). J. Preskill, http://www.theory.caltech.edu/˜preskill/ ph229. D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger, The Physics of Quantum Information (Springer Verlag, 2000). W.K. Wootters, W.H. Żurek, Nature 299, 802 (1982). H. Barnum i in., Phys. Rev. Lett. 76, 2818 (1996). A.K. Pati, S.L. Braunstein, Nature 404, 184 (2000); W.H. Żurek, Nature 404, 130 (2000). ROK 2002 77 MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY PLENARNE [9] D. Gottesman, I.L. Chuang, Nature 402, 390 (1999). [10] Ch. Bennet, D.P. DiVincenzo, Nature 404, 247 (2000); D.P. DiVincenzo, Science 270, 255 (1995). [11] M.H. Friedman, quant-ph/0101025 (2001); A. Kitaev, Russian Math. Survey 52, 1191 (1997). [12] D.P. DiVincenzo i in., Nature 408, 339 (2000). [13] D. Loss, D.P. DiVincenzo, Phys. Rev. A 57, 120 (1998); G. Burkard i in., Phys. Rev. B 59, 2070 (1999). 78 [14] P. Zanardi, F. Rossi, Phys. Rev. Lett. 81, 4752 (1998); Phys. Rev. B 59, 6170 (1999); E. Biolatti i in., Phys. Rev. Lett. 85, 564 7 (2000). [15] M. Bayer i in., Nature 405, 923 (2000); Science 291, 451 (2001); G. Chen i in., Science 289, 1906 (2000). [16] L. Jacak i in., Acta Phys. Pol. A 99, 277 (2001). [17] J.M. Kikkawa, D.D. Awschalom, Nature 397, 139 (1999); Phys. Today, June 1999, s. 33. [18] O. Verzelen i in., Phys. Rev. B 62, R4809 (2000). POSTĘPY FIZYKI TOM DODATKOWY 53D ROK 2002