Praca dyplomowa (na zaliczenie seminarium)

Uniwersytet Mikołaja Kopernika
Wydział Matematyki i Informatyki
Analiza układów dynamicznych
generowanych przez równania różniczkowe
oraz jej zastosowanie
na przykładzie układu Lorenza
Jarosław Demkowski
nr albumu: 219780
T ORU Ń 2010
Spis treści
Wprowadzenie
3
1 Podstawowe poj˛ecia dotyczace
˛ analizy układów dynamicznych
4
1.1
Układy dynamiczne pochodzace
˛ od równań różniczkowych . . . .
4
1.2
Cechy i własności układów dynamicznych . . . . . . . . . . . . . .
6
2 Atraktory
2.1
Definicja i podstawowe własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Układ Lorenza
12
12
14
3.1
Równania Lorenza jako przykład układu chaotycznego . . . . . . .
14
3.2
Atraktor Lorenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Bibliografia
19
Wprowadzenie
Teoria układów dynamicznych jest bardzo ważna˛ dziedzina˛ dzisiejszej matematyki. Układy dynamiczne, cz˛esto generowane przez układy równań różniczkowych
zwyczajnych lub czastkowych,
˛
modeluja˛ zjawiska przyrodnicze i procesy w otaczajacym
˛
nas świecie. W tej pracy zostana˛ podane podstawowe poj˛ecia analizy
układów dynamicznych pochodzacych
˛
od równań różniczkowych. Zostanie zdefiniowany atraktor układu dynamicznego oraz na krótkim przykładzie zostanie przedstawione zastosowanie tej teorii.
3
Rozdział 1
Podstawowe poj˛ecia dotyczace
˛
analizy układów dynamicznych
W tym rozdziale, jak również w dalszej cz˛eści pracy skupi˛e si˛e jedynie na
układach dynamicznych generowanych przez równania różniczkowe zwyczajne. Podane definicje i twierdzenia b˛eda˛ miały na celu przybliżenie idei układów
dynamicznych oraz poj˛eć zwiazanych
˛
z ich analiza.˛
1.1
Układy dynamiczne pochodzace
˛ od równań różniczkowych
Na poczatek
˛ przypomnijmy twierdzenie, które posłuży do zdefiniowania przykładu, na którym oprzemy definicj˛e układu dynamicznego.
Twierdzenie 1 (O globalnej rozwiazalności).
˛
Niech f : (a, b) × X → X b˛edzie
odwzorowaniem ciagłym
˛
i spełniajacym
˛
lokalny jednostajny warunek Lipschitza
ze wzgl˛edu na zmienna˛ x ∈ X (mówimy wtedy, że f jest Lipschitzowsko ciagła
˛
ze wzgl˛edu na druga˛ zmienna).
˛ Załóżmy, że zachodzi nierówność:
||f (t, x)|| 6 M (t)||x|| + N (t),
dla t ∈ (a, b), x ∈ X,
(1.1)
gdzie M, N : (a, b) → R sa˛ funkcjami ciagłymi.
˛
Wówczas dowolne zagadnienie
poczatkowe:
˛

ẋ = f (t, x)
x(t ) = x
0
0
4
(1.2)
posiada dokładnie jedno rozwiazanie
˛
u : (a, b) → R.
O funkcji f , która ma własność (1.1) mówimy, że ma wzrost liniowy wzgl˛edem x.
Przykład 1. Rozważmy teraz autonomiczne równanie różniczkowe zwyczajne:
ẋ = f (x),
(1.3)
gdzie f : Ω → Rn , Ω ⊂ Rn . Załóżmy, że dla tego równania ma miejsce jednoznaczność rozwiaza
˛ ń zagadnień poczatkowych
˛
i, że wszystkie rozwiazania
˛
można
przedłużyć na cała˛ prosta˛ R. Ma to miejsce na przykład, gdy Ω = Rn , a f jest Lipschitzowsko ciagła
˛
i ma wzrost liniowy, tzn. spełnia warunek (1.1) twierdzenia
˛
(1).Oznaczmy przez φ : R × Ω → Ω funkcj˛e taka,˛ że φ(·, x0 ) jest rozwiazaniem
zagadnienia poczatkowego:
˛

ẋ = f (x)
x(0) = x .
0
(1.4)
Wówczas odwzorowanie φ jest ciagłe
˛ i spełnia nast˛epujace
˛ warunki:
φ(0, x) = x dla x ∈ Rn ,
φ(t1 , φ(t2 , x)) = φ(t1 + t2 , x) dla x ∈ Rn , t1 , t2 ∈ R.
Wzorujac
˛ si˛e na powyższych własnościach odwzorowania φ definiujemy abstrakcyjny układ dynamiczny (z czasem ciagłym):
˛
Definicja 1. Niech X b˛edzie przestrzenia˛ metryczna˛ oraz niech φ : R × X → X
b˛edzie odwzorowaniem. Par˛e (X, φ) nazywamy układem dynamicznym, jeżeli
dla dowolnych t1 , t2 ∈ R oraz x ∈ X zachodza˛ warunki
φ(0, x) = x,
(1.5)
φ(t1 , φ(t2 , x)) = φ(t1 + t2 , x).
(1.6)
oraz φ jest odwzorowaniem ciagłym.
˛
Ćwiczenie 1. Sprawdzić, że odwzorowania φt := φ(t, ·) sa˛ homeomorfizmami
przestrzeni X na siebie oraz, że odwzorowanie:
R ∋ t 7→ φt ∈ Homeo(X)
jest homomorfizmem grupy (R, +) w grup˛e (Homeo(X), ◦).
5
Przestrzeń X nazywamy wówczas przestrzenia˛ fazowa˛ danego układu dynamicznego. Jest ona zbiorem wszystkich możliwych stanów, w jakich może
znajdować si˛e ten układ. Zbiór liczb rzeczywistych R reprezentuje oś czasu, w
którym zmienia si˛e stan układu. Jeśli założymy, że w czasie t = 0 układ znajdował si˛e w stanie x, to wówczas wartość φ(t, x) interpretuje si˛e jako stan układu
po upływie czasu t. Najistotniejsza˛ cech˛e badanych w tej pracy układów dynamicznych wyraża warunek drugi definicji (1). Oznacza on, że sposób ewolucji
poczatkowego
˛
stanu układu nie zależy od czasu, w jakim ta ewolucja przebiega. Innymi słowy przyszłe stany układu sa˛ w pełni zdeterminowane przez stan
poczatkowy.
˛
Ta˛ cech˛e układów dynamicznych nazywa si˛e determinizmem.
1.2
Cechy i własności układów dynamicznych
Podane zostana˛ teraz najważniejsze poj˛ecia dotyczace
˛ analizy układów dynamicznych, potrzebne do zrozumienia dalszej cz˛eści niniejszej pracy.
Definicja 2. Niech (X, φ) b˛edzie układem dynamicznym. Dla x0 ∈ X określamy
zbiory:
(i) +O(x0 ) = {φ(t, x0 ); t ∈ R} — trajektoria punktu x0 ;
(ii) O+ (x0 ) = {φ(t, x0 ); t > 0} — dodatnia trajektoria punktu x0 ;
(iii) O− (x0 ) = {φ(t, x0 ); t 6 0} — ujemna trajektoria punktu x0 .
Trajektoria punktu x0 w przestrzeni fazowej opisuje graficznie ewolucj˛e układu
dynamicznego, o czym mówi kolejna definicja:
Definicja 3. Odwzorowanie
R ∋ t 7→ φ(t, x0 ) ∈ X
nazywamy ruchem punktu x0 w przestrzeni X.
Rozpatrujac
˛ ruch punktu x0 tylko dla t > 0 (odpowiednio dla t 6 0) można
mówić o ruchu dodatnim punktu x0 (odpowiednio o ruchu ujemnym punktu x).
Trajektorie układu dynamicznego moga˛ mieć postać pojedynczych punktów lub
krzywych zamkni˛etych.
6
Definicja 4. xxx
(i) Punkt x0 ∈ X nazywamy punktem stałym układu dynamicznego, jeśli:
O(x0 ) = {x0 }.
(ii) Trajektori˛e O(x0 ) punktu x0 ∈ X nazywamy trajektoria˛ okresowa˛ układu
dynamicznego, jeśli:
φ(T, x0 ) = x0 ,
dla pewnego T > 0.
Trajektorie okresowe nieb˛edace
˛ punktami stałymi sa˛ homeomorficzne z okr˛egiem.
Wyróżnia si˛e również pewne typy zbiorów:
Definicja 5. Niech (X, φ) b˛edzie układem dynamicznym. Zbiór A ⊂ X nazywamy:
(i) niezmienniczym, jeśli φ(R, A) ⊂ A;
(ii) dodatnio niezmienniczym, jeśli φ(R+ , A) ⊂ A;
(iii) ujemnie niezmienniczym, jeśli φ(R− , A) ⊂ A;
Jak nietrudno zauważyć, przeciwne inkluzje w warunkach (i) – (iii) powyższej
definicji zachodza˛ w sposób oczywisty, na mocy obserwacji, iż ∀x∈A⊂X x ∈ O(x) =
φ(R, x) ⊂ φ(R, A). Zatem w istocie zachodza˛ wtedy równości tych zbiorów.
Łatwo zauważyć, że trajektorie O(x) sa˛ zbiorami niezmienniczymi, półtrajektorie
dodatnie (odp. ujemne) sa˛ zbiorami dodatnio (odp. ujemnie) niezmienniczymi.
Niezmienniczość zbioru A oznacza, iż składa si˛e on z całych trajektorii.
Lemat 1. Domkni˛ecie zbioru niezmienniczego (odp. dodatnio niezmienniczego,
ujemnie niezmienniczego) jest również zbiorem niezmienniczym (odp. dodatnio
niezmienniczym, ujemnie niezmienniczym).
Dowód. Niech A b˛edzie zbiorem niezmienniczym oraz niech clA b˛edzie domkni˛eciem zbioru A. Wówczas:
x ∈ clA ⇔ ∃(xn )n∈N ⊂A : x = lim xn .
n→∞
7
Na podstawie definicji (1) oraz ciagłości
˛
odwzorowania φ zauważmy, że:
φ(0, x) = φ(0, lim xn ) = lim φ(0, xn ) = lim xn = x,
n→∞
n→∞
n→∞
Stad:
˛
∀x∈clA x ∈ O(x) = φ(R, x) ⊂ φ(R, clA),
czyli clA ⊂ φ(R, clA).
Określimy teraz zbiory graniczne:
Definicja 6. xxx
(i) Zbiorem ω-granicznym punktu x0 ∈ X nazwiemy zbiór:
ω(x0 ) = { lim φ(tn , x0 ); tn → +∞, o ile granica istnieje};
n→∞
(ii) Zbiorem α-granicznym punktu x0 ∈ X nazwiemy zbiór:
α(x0 ) = { lim φ(tn , x0 ); tn → −∞, o ile granica istnieje}.
n→∞
Lemat 2. Niech (X, φ) b˛edzie układem dynamicznym oraz niech x0 ∈ X. Wówczas:
∩
ω(x0 ) =
{φ(t, x0 ); t > T },
T ∈R
α(x0 ) =
∩
{φ(t, x0 ); t 6 T }.
T ∈R
Dowód. Ponieważ (X, δ) jest przestrzenia˛ metryczna,˛ wi˛ec w każdym punkcie
x ∈ X istnieje przeliczalny pełny układ otoczeń B(x) = {Vn ; n ∈ N}, spełniajacy
˛ warunek Vn+1 ⊆ Vn , n ∈ N (np. kule o promieniu n1 ). Oznaczmy przeci˛e∩
cie T ∈R {φ(t, x0 ); t > T } przez ω1 (x0 ). Pokażemy najpierw, że ω(x0 ) ⊆ ω1 (x0 ).
Istotnie, dla dowolnego T ∈ R zbiór {φ(t, x0 ); t > T } zawiera granice wszystkich ciagów
˛
postaci φ(tn , x0 ). W druga˛ stron˛e, niech y ∈ ω1 (x0 ). Skonstruujemy indukcyjnie żadany
˛
ciag.
˛ Weźmy dowolne φ(t1 , x0 ) ∈ V1 . Załóżmy, że
mamy już n wyrazów takich, że φ(tn , x0 ) ∈ Vn . Wystarczy teraz wybrać tn+1 >
tn + 1 takie, żeby φ(tn+1 , x0 ) ∈ Vn+1 (w przypadku kul o promieniu
odległość δ(φ(tn+1 , x0 ), y) <
1
).
n+1
1
n
takie, żeby
Wówczas ciag
˛ φ(tn , x0 ) jest na mocy konstrukcji
zbieżny do y (ponieważ dla dowolnego otoczenia y prawie wszystkie wyrazy
ciagu
˛ należa˛ do tego otoczenia). Ponadto tn → ∞, gdyż z nierówności tn > tn + 1
wynika, że tn > t1 + n.
8
Ćwiczenie 2. Przeprowadzić dowód drugiej cz˛eści lematu.
Na podstawie powyższego lematu można uogólnić poj˛ecie zbioru granicznego
punktu x0 ∈ X, gdy zbiór {x0 } zastapimy
˛
dowolnym podzbiorem A ⊂ X, co
widać w poniższej uwadze.
Uwaga 1. Niech (X, φ) b˛edzie układem dynamicznym oraz niech A ⊂ X. Wówczas:
ω(A) =
∩
{φ(t, A); t > T },
T ∈R
α(A) =
∩
{φ(t, A); t 6 T }.
T ∈R
Na mocy lematu (2) można również łatwo stwierdzić, że zbiory graniczne
sa˛ zbiorami domkni˛etymi i niezmienniczymi, a w praktyce, niestety również
bardzo cz˛esto zbiorami pustymi. Przydatnego kryterium na „niepustość” zbioru
granicznego dostarcza poniższe twierdzenie.
Twierdzenie 2. Jeżeli O+ (x0 ) jest zbiorem zwartym, to ω(x0 ) jest jego niepustym
podzbiorem zwartym i spójnym.
Dowód. Rodzina zbiorów AT := {φ(t, x); t > T }, t ∈ R, jest uporzadkowana
˛
liniowo przez relacj˛e inkluzji w ten sposób, że AT1 ⊂ AT2 , gdy T1 > T2 . Zatem
mamy:
ω(x0 ) =
∞
∩
An ,
(1.7)
n=1
a ponieważ {An }n∈N jest zst˛epujacym
˛
ciagiem
˛
niepustych podzbiorów zwartego
zbioru O+ (x0 ), wi˛ec ω(x0 ) jest również zbiorem niepustym. Zwartość zbioru
ω(x0 ) wynika z jego domkni˛etości, a spójność jest konsekwencja˛ wzoru (1.7) i
spójności zbiorów An dla n ∈ N.
Wniosek 1. Jeśli X = Rn oraz O+ (x0 ) jest zbiorem ograniczonym, to ω(x0 ) jest
jego niepustym podzbiorem zwartym i spójnym.
Łatwo znaleźć zbiory graniczne dla punktu stałego i trajektorii okresowej.
Natomiast jeśli zbiór graniczny składa si˛e tylko z jednego punktu, to punkt ten
jest punktem stałym układu dynamicznego. Jeśli zbiór graniczny jest trajektoria˛
okresowa,˛ to nazywamy go cyklem granicznym.
9
Zanim przejdziemy do podania przykładu, zwróćmy uwag˛e na jeszcze jedna˛
bardzo ważna˛ własność trajektorii w przestrzeni fazowej. Mianowicie żadne
dwie trajektorie układu dynamicznego nigdy si˛e nie przecinaja.˛ Trajektorie odpowiadajace
˛ punktom leżacym
˛
bardzo blisko siebie również leża˛ bardzo blisko siebie, ale
nigdy nie zakłócaja˛ si˛e nawzajem. Ta własność nie przecinania wynika z faktu, że
przeszłe i przyszłe stany układu deterministycznego sa˛ określone jednoznacznie
przez stan układu w danej chwili. Przeci˛ecie trajektorii w chwili t wprowadzałoby niejednoznaczność przeszłych i przyszłych stanów, naruszajac
˛ w ten sposób
determinizm układu, co byłoby sprzeczne z wprowadzona˛ definicja.˛
Przykład 2. Rozważmy równanie autonomiczne na płaszczyźnie:

√
ẋ = x − y − x x2 + y 2
ẏ = x + y − y √x2 + y 2 ,
które po zamianie na współrz˛edne biegunowe (r, θ) przybiera postać:

ṙ = r(1 − r)
θ̇ = 1,
(1.8)
(1.9)
w której o wiele łatwiej rozwiazać
˛
to równanie, bo zmienne r i θ sa˛ rozdzielone.
Tak wi˛ec rozwiazaniami
˛
dla tego równania sa˛ wszystkie funkcje postaci:
r(t) =
1
1 + C1 e−t
θ(t) = t + C2 ,
(1.10)
(1.11)
gdzie C1 , C2 ∈ R. Jeszcze nie znajac
˛ postaci rozwiaza
˛ ń tego równania, łatwo
zauważyć, że r(t) = 0 oraz r(t) = 1 sa˛ dwoma rozwiazaniami
˛
stałymi równania
ṙ = r(1 − r), co wraz z rozwiazaniem
˛
θ(t) = t + C, C ∈ R daje dwie trajektorie
wyjściowe układu: punkt stały p = (0, 0) w poczatku
˛
układu współrz˛ednych oraz
trajektori˛e okresowa˛ S 1 = {x ∈ R2 ; ||x|| = 1}. Dla wartości r(t) ∈ (0, 1) mamy
ṙ(t) > 0, a wi˛ec r jest wtedy funkcja˛ rosnac
˛ a.˛ Ponieważ trajektorie nie moga˛ si˛e
przecinać, wi˛ec r(t) zbliża si˛e do okr˛egu r(t) = 1 przy t → +∞. Analogicznie
r(t) zbliża si˛e do punktu (0, 0) gdy t → −∞. Jeśli r(t) > 1, wówczas r jest funkcja˛
malejac
˛ a˛ i znowu r(t) → 1 przy t → +∞ i r(t) → +∞ przy t → −∞. W rezultacie:
(i) dla punktów koła otwartego B(0, 1) = {x ∈ R2 ; ||x|| < 1} z wyci˛etym
środkiem p = (0, 0):
10
• zbiorem α-granicznym jest zbiór {(0, 0)},
• zbiorem ω-granicznym jest okrag
˛ S 1 = {x ∈ R2 ; ||x|| = 1};
(ii) dla punktów z R2 \B(0, 1):
• zbiór α-graniczny jest pusty,
• zbiorem ω-granicznym jest okrag
˛ S 1 = {x ∈ R2 ; ||x|| = 1}.
Domkni˛etymi zbiorami niezmienniczymi sa:˛
• poczatek
˛
układu współrz˛ednych {(0, 0)};
• koło domkni˛ete B(0, 1);
• okrag
˛ S 1 = {x ∈ R2 ; ||x|| = 1};
• i oczywiście cała płaszczyzna.
Ćwiczenie 3. Przeprowadzić podobna˛ analiz˛e dla równania:

ẋ = x − y − x3
ẏ = x + y − y 3 .
11
(1.12)
Rozdział 2
Atraktory
W rozdziale tym podamy charakterystyk˛e pewnych niezmienniczych zbiorów
przyciagaj
˛ acych,
˛
jakie można zaobserwować w układach dynamicznych. Podane
również zostana˛ poj˛ecia i twierdzenia pomocne w ich gł˛ebszej analizie.
2.1
Definicja i podstawowe własności
Definicja 7. Zbiór ograniczony A ⊂ X w układzie dynamicznym (X, φ) nazywamy atraktorem globalnym tego układu, jeśli A jest niezmienniczy i spełnia
warunek jednostajnego przyciagania
˛
zbiorów ograniczonych, tzn. dla każdego
zbioru ograniczonego B ⊂ X:
lim sup d(φ(t, x), A) = 0,
t→+∞ x∈B
(2.1)
gdzie d(y, C) = inf z∈C d(y, z) oznacza odległość punktu y od zbioru C dana˛ przez
metryk˛e d na przestrzeni X.
Globalny atraktor, o ile istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie. W celu uzasadnienia tego faktu, wystarczy skorzystać z warunku jednostajnego przyciaga˛
nia najpierw dla zbiorów B = A1 i A = A2 , gdzie A1 i A2 to globalne atraktory,
a później odwrotnie, uwzgl˛edniajac
˛ niezmienniczość obu zbiorów. Ponadto dla
każdego zbioru ograniczonego B, mamy ω(B) ⊂ A.
Załóżmy, że istnieje atraktor globalny A. Rozważmy rodzin˛e zbiorów domkni˛etych i dodatnio niezmienniczych C ⊂ A takich, że:
lim d(φ(t, x), C) = 0,
t→+∞
12
(2.2)
dla każdego x ∈ X. Rodzina ta jest niepusta, gdyż zawiera atraktor globalny
A oraz przeci˛ecie wszystkich zbiorów tej rodziny należy do niej i jest jej najmniejszym zbiorem w sensie inkluzji.
Definicja 8. Powyżej opisany zbiór b˛edacy
˛ przeci˛eciem opisanej rodziny zbiorów
C nazywa si˛e minimalnym atraktorem globalnym. Ten rodzaj atraktora zawiera
zbiory ω-graniczne wszystkich punktów przestrzeni X.
W dalszym ciagu
˛ tej pracy b˛ed˛e posługiwał si˛e poniższa,˛ uproszczona˛ wersja˛
definicji (8).
Definicja 9. Atraktorem w układzie dynamicznym (X, φ) nazwiemy zbiór domkni˛ety
i niezmienniczy A ⊂ X o nast˛epujacej
˛ własności przyciagania:
˛
Istnieje otoczenie U zbioru A takie, że: lim d(φ(t, x), A) = 0,
t→+∞
(2.3)
dla x ∈ U , przy czym jeśli A1 jest niepustym podzbiorem A domkni˛etym, niezmienniczym i majacym
˛
własność przyciagania,
˛
to A1 = A.
W przykładzie (2) trajektoria okresowa S 1 = {x ∈ R2 ; ||x|| = 1}, która
w istocie jest cyklem granicznym, jest atraktorem tego układu, z otoczeniem
U , które nazywa si˛e cz˛esto basenem przyciagania,
˛
równym R2 \{(0, 0)}. Punkt
{(0, 0)} w tym przypadku jest repellerem, czyli atraktorem dla układu z odwróconym czasem, tzn. (X, φ),
e gdzie φ(t,
e x) = φ(−t, x). Zwykle jednak, atraktory
sa˛ zbiorami o znacznie bardziej skomplikowanej strukturze, w której można si˛e
doszukać podobieństw do fraktali. B˛edzie to widoczne w dalszej cz˛eści pracy na
przykładzie atraktora Lorenza.
13
Rozdział 3
Układ Lorenza
W rozdziale tym zostanie przedstawiona krótka analiza układu równań Lorenza
oraz atraktora Lorenza, produkowanego przez ten układ.
3.1
Równania Lorenza jako przykład układu chaotycznego
Układ równań Lorenza, to autonomiczne nieliniowe równanie różniczkowe
zwyczajne w przestrzeni R3 , modelujace
˛ zjawisko konwekcji cieplnej, b˛edace
˛
znacznym uproszczeniem skomplikowanego układu równań różniczkowych czast˛
kowych, opisujacego
˛
zachowanie atmosfery. Można je zapisać w prostej postaci:


ẋ = −σx + σy



(3.1)
ẏ = rx − y − xz



ż = xy − bz,
gdzie stałe dodatnie σ, r, b maja˛ określona˛ interpretacj˛e fizyczna.˛ Lorenz przyjał
˛
wartości σ = 10, b =
8
3
i przy pomocy superkomputera ówczesnych czasów
wykonywał obliczenia numeryczne rozwiaza
˛ ń tego układu dla różnych wartości
parametru r oraz dla różnych warunków poczatkowych.
˛
Wyniki, które otrzymał były bardzo zaskakujace.
˛
Okazało si˛e, że zachowanie układu wyraźnie si˛e
zmienia wraz ze wzrostem r od 0 do 32.
Zapiszmy równania Lorenza w zwartej postaci:
Ẋ = f (X),
14
(3.2)



x
−σx + σy

 


 f (X) =  rx − y − xz  , σ, b, r, > 0. W bardzo łatwy sposób
gdzie: X = 
y
 


z
xy − bz
można znaleźć punkty stałe tego układu, określone równaniem f (X) = 0. Po
rozwiazaniu
˛
otrzymujemy punkty:
C0 = (0, 0, 0),
√
√
C+ = ( b(r − 1), b(r − 1), r − 1),
√
√
C− = (− b(r − 1), − b(r − 1), r − 1),
gdzie C0 istnieje dla r < 1 jako jedyny punkt stały tego układu, a dla r > 1
pojawiaja˛ si˛e jeszcze dwa punkty C+ i C− . Zlinearyzujmy układ (3.1) wokół jego
punktów stałych. Macierz linearyzacji tego układu w dowolnym punkcie x0 ∈ R3
ma postać:

−σ

σ
0



Df (x0 ) = 
r − z −1 −x .
y
x
(3.3)
−b
Weźmy punkt stały C0 dla 0 < r < 1. Jego macierz linearyzacji ma postać:


−σ σ
0


,
(3.4)
Df (C0 ) = 
r
−1
0


0
0 −b
a jej wartościami własnymi sa˛ liczby:
σ + 1 1√
+
(σ + 1)2 + 4σ(r − 1),
2
2
σ + 1 1√
λ2 = −
−
(σ + 1)2 + 4σ(r − 1),
2
2
λ3 = −b.
λ1 = −
Łatwo sprawdzić, że dla 0 < r < 1 wszystkie powyższe wartości własne sa˛
ujemne, zatem punkt C0 jest stabilny. Kiedy r osiaga
˛ wartość r = 1, pojawiaja˛ si˛e
kolejne dwa punkty stałe układu Lorenza C− i C+ , które si˛e pokrywaja˛ z punktem
C0 , jednak ma juz miejsce nieznaczne zaburzenie stabilności tego punktu. Punkt
C0 staje si˛e granicznie stabilny, gdyż dla r = 1 mamy λ1 = 0, λ2 < 0, λ3 < 0.
15
Macierze linearyzacji wokół punktów C− i C+ maja˛ postać odpowiednio:




−σ σ
0
−σ σ
0




 , Df (C+ ) =  1 −1 −γ  ,
Df (C− ) = 
(3.5)
1
−1
γ




−γ −γ −b
γ
γ −b
gdzie γ =
√
b(r − 1). Wartości własne obu tych macierzy sa˛ pierwiastkami wielo-
mianu:
P (λ) = −λ3 − (σ + b + 1)λ2 − b(σ + r)λ + 2σb(r − 1).
(3.6)
Prześledźmy jakościowe zachowania tego wielomianu na poniższym rysunku:
Rysunek 3.1: Jakościowe zachowania wielomianu P (λ).
Łatwo zauważyć, że w przypadku punktów C− , C+ dla r = 1 mamy podobnie jak w przypadku punktu C0 , gdyż mamy wartości własne λ1 = 0, λ2 =
−(σ + 1), λ3 = −b, a wi˛ec punkty C− oraz C+ sa˛ marginalnie stabilne. Z rysunku
widać, że punkty te sa˛ stabilne dla 1 < r < r1 , natomiast dla r > 1 niestabilny
jest punkt C0 . Dla wartości r = r1 < rc , dwie spośród wartości własnych staja˛
si˛e zespolone, tzn. powstaja˛ dwa cykle graniczne, które sa˛ stabilne tak długo, jak
długo cz˛eści rzeczywiste tych wartości własnych sa˛ mniejsze od zera. W r = rc
16
te cz˛eści rzeczywiste znikaja,˛ tj. mamy dwie wartości własne λ = ±iλ0 , skad
˛
zgodnie z (3.6) wynika, że:
rc = σ
σ+b+3
σ−b−1
(= 24, 73684211 dla σ = 10, b = 8/3).
(3.7)
Powyżej rc cykle graniczne staja˛ si˛e niestabilne (zespolone wartości własne maja˛
dodatnie cz˛eści rzeczywiste) i pojawia si˛e chaos. Powyższa analiza jest zgodna z
wynikami numerycznymi otrzymanymi przez Lorenza, który znalazł zachowania chaotyczne powyżej rc = 24, 74 dla σ = 10, b = 8/3.
3.2
Atraktor Lorenza
Na rysunku poniżej widać znany z wi˛ekszości podr˛eczników do teorii równań różniczkowych zwyczajnych rysunek przedstawiajacy
˛ atraktor Lorenza w
R3 .
50
40
30
20
10
0
–10
0
10
17
20
–20
0
20
Bardzo ciekawa˛ własnościa˛ atraktora Lorenza jest to, że trajektoria b˛edzie
wydawała si˛e kra˛żyć wokół jednego punktu równowagi, C+ lub C− , dopóki jej
odległość od tego punktu równowagi osiagnie
˛
pewna˛ krytyczna˛ wartość. Nast˛epnie kra˛ży wokół drugiego punktu równowagi z rosnac
˛ a˛ amplituda˛ oscylacji, dopóki
krytyczna odległość nie zostanie znowu osiagni˛
˛ eta. Niezależnie od wyboru trajektorii, jeśli zdefiniujemy ciag
˛ (λn )n∈N , gdzie λn oznacza liczb˛e kolejnych obiegów
po jednym „skrzydle motyla” (λn+1 jest wtedy liczba˛ obiegów po drugim skrzydle), to w ciagu
˛ tym nie da si˛e dostrzec żadnej regularności, a dwa ciagi
˛ otrzymane dla różnych punktów startu sa˛ całkowicie różne, nawet gdy punkty te
różnia˛ si˛e od siebie o bardzo niewiele, lub nawet gdy wybierzemy ten sam punkt
startowy, ale obliczenia zostana˛ wykonane na dwóch różnych komputerach. Wówczas
ciagi
˛ te różnia˛ si˛e mi˛edzy soba˛ od pewnego miejsca. Ta˛ własność nazywa si˛e
wrażliwościa˛ na warunki poczatkowe.
˛
18
Bibliografia
[1] Alligood K. T., Sauer T. D.,Yorke J. A., Chaos: An Introduction To Dynamical
Systems, Springer, New York 2000.
[2] Przeradzki
B.,
Teoria
i
praktyka
równań
różniczkowych
zwyczajnych,
Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2003.
[3] Przeradzki B., Wykłady z analizy układów dynamicznych, wersja elektroniczna: http://im0.p.lodz.pl/ bprzeradzki/uk-dyn.pdf, 31.07.2010.
[4] J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo - Maple,
Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1999.
[5] Palczewski A., Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria i metody numeryczne z
wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych., Wydawnictwo
Naukowo - Techniczne, Warszawa 1999.
[6] Baker G. L., Gollub J. P., Wst˛ep do dynamiki układów chaotycznych,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998.
[7] Schuster H. G.,
Chaos deterministyczny. Wprowadzenie,
Naukowe PWN, Warszawa 1993.
19
Wydawnictwo