Zad. 1. Dwaj strzelcy niezalenie oddają po jednym strzale do celu

Zad. 1. Dwaj strzelcy niezależnie oddają po jednym strzale do celu, przy czym
prawdopodobieństwo trafienia przez strzelca A wynosi P(A) = 0.9, natomiast analogicznie dla
drugiego strzelca P(B) = 0.8. Nas interesują prawdopodobieństwa oddania łącznie 0,1 lub 2
strzałów.
Obliczyć wartość oczekiwaną i odchyłkę standardową liczby trafień (po takich dwu
strzałach). Wskazówka: do obliczenia ww. prawdopodobieństw zastosować wzory na
prawdopodobieństwo zdarzeń niezależnych i prawdopodobieństwo zdarzeń alternatywnych
wykluczających się.
Obliczyć wartość oczekiwaną i odchyłkę standardową liczby trafień po takich 10 próbach po
dwa strzały. Wskazówka: Zastosować twierdzenia o sumie zmiennych losowych. Czy
odchylenie standardowe stanowi taki sam procent wartości oczekiwanej w obu przypadkach?
Odp.: E(n)=1.70, D(n)=0.5, E(N)=17.0, D(N)=1.58, gdzie N=n1+ n2+...+ n10 (a nie N=10n)
Zad. 2. W loterii polegającej na jednokrotnym rzucie monetą za orła płacą 10 zł, a za reszkę 0
zł. Jednak za możliwość zagrania płaci się 5 zł. Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie
standardowe zysku po jednym rzucie. Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe
zysku po 10 rzutach (zastosować twierdzenia o sumie zmiennych losowych). Czy odchylenie
standardowe stanowi taki sam procent wartości oczekiwanej w obu przypadkach?
Odp.: E(z)=0 zł, D(z)=5 zł, E(Z)=0 zł, D(Z)=15,81 zł, gdzie Z=z1+ z2+...+ z10
Zad. 3. W loterii pieniężnej przygotowano 100 losów, w tym 1 wygrywający 1000 zł i 10
wygrywających 100 zł, reszta losów jest przegrywająca. Los kosztuje 30 zł. Obliczyć wartość
oczekiwaną i odchylenie standardowe zysku posiadacza jednego losu.
Odp.: E(z)=-10 zł, D(z)=101 zł, dużym odchyleniem standardowym można wytłumaczyć
duże zainteresowanie przy stoisku z tą grą.
Zad. 4. W pudełku znajduje się 1000 wymieszanych rezystorów o czterech różnych
wartościach: 500 rezystorów 1 Ω, 100 rezystorów 10 Ω, 150 rezystorów 100 Ω, 250
rezystorów 1000 Ω. Rezystory są jednakowe w dotyku.
Obliczyć wartość oczekiwaną i odchyłkę standardową wartości rezystora przy jednokrotnym
pobraniu z pudełka.
Obliczyć wartość oczekiwaną i odchyłkę standardową przy dwukrotnym losowaniu z pudełka
(ze zwracaniem) dla zmiennej losowej będącej wartością połączenia a. szeregowego
b. równoległego obu wylosowanych rezystorów.
Odp.: E(R)=266.5 Ω, D(R)=424.84 Ω, E(Rsz)=533 Ω, D(Rsz)=600.81 Ω,
Zad. 5. W sali znajduje się 23 studentów – 13 kobiet i 10 mężczyzn. Pytanych losowo będzie
dzisiaj troje studentów. Jaka jest wartość oczekiwana liczby pytanych kobiet i jej odchylenie
standardowe? Jaka jest wartość oczekiwana i odchyłka standard. liczby pytanych mężczyzn?
Odp.: E(Nk)=1.696, D(Nk)=0.819, E(Nm)=1.304, D(Nm)=0.819,
wartość D(Nk)= D(Nm)=0.496, obliczona z prostego twierdzenia o sumie zmiennych
losowych jest błędna, bo zmienne są zależne (ponieważ nie pyta się dwukrotnie jednej
osoby na jednych zajęciach).
Zad. 6. Pewien fan telewizyjnych quizów uczestniczy w grze o 100 tys. zł. Właśnie dostał
pytanie, na które nie zna odpowiedzi. Mógłby zgadywać z podanych czterech możliwości
(gdy zgadnie wygrywa całość kwoty, jeśli nie – wszystko traci). Mógłby też wykonać telefon
do przyjaciela (w takim przypadku gra jest tak pomyślana, że za prawidłową odpowiedź
wygrywa się połowę sumy, za nieprawidłową – wszystko traci). Niestety pora tego quizu
wypadła w godzinach pracy gracza, a ponieważ nie dostał on zwolnienia, wyszedł z pracy bez
zgody przełożonego. Teraz z emocji zapomniał numeru telefonu do przyjaciela (który pracuje
w tym samym zakładzie), zna tylko numer centrali, która obsługuje 100 numerów
wewnętrznych. Postanawia więc zadzwonić na losowo wybrany numer z tej centrali i udawać,
że to jest jego przyjaciel. Grający ocenia, że losowo wybrana osoba z jego pracy zna
prawidłową odpowiedź z prawdopodobieństwem 1:2, ale gdyby akurat natrafił na swojego
przyjaciela, to zna on odpowiedź z prawdopodobieństwem 9:10. Niestety jest też mała szansa,
że gracz trafi na swojego szefa, a wtedy on niechybnie „wywali go z roboty”, co jest
równoznaczne ze stratą czteromiesięcznych zarobków w wysokości 12 tys. zł (co wynika z
tego, że rzecz dzieje się w pewnym kraju (nie w naszym) i w dużym mieście (nie w naszym),
gdzie średni czas szukania dobrej pracy wynosi cztery miesiące). Czy graczowi opłaca się
wykonać „telefon do przyjaciela”, czy zgadywać samodzielnie? W tym celu rozważ wartość
oczekiwaną zmiennej losowej X, czyli wygranej w przypadku samodzielnego zgadywania, i
wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y, czyli zysku w przypadku „telefonu do przyjaciela”.
Zad. 7. Obliczyć wartość średnią i odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej X
danej przez szereg rozkładu:
xi
1
2
4
p(xi)
0.3
0.5
0.2
Zad. 8. Wynik rzutu kostką sześcienną jest dyskretną zmienną losową. Obliczyć wartość
oczekiwaną i odchylenie standardowe tej zmiennej.
Zad. 9. Z talii zawierającej 52 karty losujemy 4 karty. Za 1 asa wśród wylosowanych kart
płaci się 3.91 zł, za 2 asy – 40 zł, za 3 asy - 1410 zł, za 4 asy – 270725 zł. Obliczyć wartość
oczekiwaną i odchyłkę standardową wygranej po jednym losowaniu 4 kart, jeśli za samą
możliwość uczestniczenia w losowaniu płaci się 5 zł.
(Odp. E=-1 zł (średnia strata), D=522 zł; to dzięki tej dużej odchyłce ludzie są skłonni uważać
grę za atrakcyjną, mimo że średnio się traci).
Zad. 10. Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe ciągłej zmiennej
losowej posiadającej jednostajny (równomierny) rozkład prawdopodobieństwa w przedziale
(a,b). Najpierw unormować rozkład.
Zad. 11. Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe ciągłej zmiennej
losowej posiadającej rozkład prawdopodobieństwa w przedziale (a,b) dany wzorem
f(x) = c(x-a)2, gdzie c jest pewną stałą. Najpierw unormować rozkład.
Zad. 12. Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe ciągłej zmiennej
losowej posiadającej wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa dla x ≥ 0 dany wzorem
f(x) = ce-x/a, gdzie a jest pewną znaną stałą. Najpierw unormować rozkład.
Zad. 13. Ciągła zmienna losowa posiada gęstość prawdopodobieństwa daną wzorem
−
x2
2σ 2
dla x ≥ 0
(rozkład Rayleigha)
Unormować rozkład. Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe tej
zmiennej. (Odp.: c = 1/σ2, E = σ√π/2 = 1.253σ, D2 = (2-π/2)σ2 )
f ( x) = cx e
Zad. 14. Rezystancja oporników produkowanych w pewnej fabryce ma (w przybliżeniu)
normalny rozkład prawdopodobieństwa o wartości średniej xsr = 100 Ω i odchyłce
standardowej σ = 5 Ω. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany opornik ma
rezystancję
a. większą niż 105 Ω
b. mniejszą niż 90 Ω
c. większą niż 95 Ω
d. mniejszą niż 110 Ω
e. w przedziale (95,110)
Skorzystać z tablic standardowego rozkładu normalnego.
Zad. 15. Zbadano, że cegły wyprodukowane w pewnej fabryce minimalnie różnią się
wysokością, przy czym rozkład gęstości prawdopodobieństwa wysokości cegieł jest
jednostajny z wartością średnią hsr = 10 cm i szerokością przedziału zmienności ∆h = 0.6 cm
(czyli 9.7 ≤ h ≤ 10.3; wynika to z procesu technologicznego). Obliczyć prawdopodobieństwo
tego, że mur wybudowany z 30 przypadkowo wybranych cegieł, ustawionych jedna na
drugiej, będzie miał wysokość H ≥ 303 cm. Uwaga: zaprawa murarska nie zwiększa
wysokości muru, ponieważ cegła ma wewnątrz pionowe otwory na zaprawę. Wskazówka:
a. obliczyć odchylenie stand. wysokości h pojedynczej cegły;
b. obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe wysokości H muru z 30 cegieł,
wykorzystując odp. twierdzenie o sumie zmiennych losowych;
c. znaleźć szukane prawdopodobieństwo (że H ≥ 303 cm), posługując się tablicami
odpowiedniego rozkładu prawdopodobieństwa (centralne tw. graniczne mówi nam, jaki to w
przybliżeniu rozkład).
Czy odchylenie standardowe stanowi taki sam procent wartości oczekiwanej (średniej) w
przypadku jednej cegły i w przypadku muru z 30 cegieł?
Zad. 16. Szeregowy opór R zestawiono z dwóch szeregowo połączonych rezystorów:
R1 = R2 = 100 Ω. Pierwszy rezystor ma klasę dokładności 5% (co znaczy, że σ1 =5%·R1), a
drugi – 10%. Obliczyć odchylenie standardowe oporu R. Ilu „procentom” to odpowiada?
Znaleźć prawdopodobieństwo (za pomocą tablic) tego, że łączny opór R:
a. R > 211.18 Ω
b. R > 222.36 Ω
c. R > 233.54 Ω
Zad. 17. Rozkład dwóch zmiennych losowych X i Y dany jest za pomocą rozkładu gęstości
prawdopodobieństwa f(x,y) = c(x+y) dla x,y ∈ (0,1).
a. unormować rozkład
b. wyznaczyć rozkłady brzegowe fx(x) i fy(y)
c. obliczyć E(X), E(Y)
d. obliczyć D(X), D(Y) (dwoma sposobami)
e. obliczyć cov(X,Y) (dwoma sposobami)
Zad. 18. Rozkład dwóch zmiennych losowych X i Y dany jest za pomocą rozkładu gęstości
prawdopodobieństwa f(x,y) = c(x2+y2) dla x,y ∈ (-1,1).
a. unormować rozkład
b. wyznaczyć rozkłady brzegowe fx(x) i fy(y)
c. obliczyć E(X), E(Y)
d. obliczyć D(X), D(Y) (dwoma sposobami)
e. obliczyć cov(X,Y) (dwoma sposobami)
Zad. 19. Rozkład dwóch zmiennych losowych X i Y dany jest za pomocą rozkładu gęstości
prawdopodobieństwa f(x,y) = c/(x2+y2+1) dla x,y ∈ R.
a. unormować rozkład
b. wyznaczyć rozkłady brzegowe fx(x) i fy(y)
c. obliczyć E(X), E(Y)
d. obliczyć D(X), D(Y) (dwoma sposobami)
e. obliczyć cov(X,Y) (dwoma sposobami)