Wyklad 3

Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 3)
Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i
warunkowa. Mnożenie szeregów.
Definicja 1. Niech {an }n∈N będzie ciągiem liczbowym. Definiujemy ciąg {sn }n∈N przyjmując
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
......
sn = a1 + a2 + · · · + an
......
Nazywamy go ciągiem sum częściowych ciągu {an }n∈N , albo szeregiem o wyrazie ogólnym an . Tak
∞
P
zdefiniowany ciąg zapisujemy w postaci nieskończonej sumy
an . Szereg ten nazywamy zbieżnym,
n=1
jeśli ciąg {sn }n∈N jest zbieżny. Jego granicę nazywamy sumą szeregu. Jeśli więc lim sn = s to
n→∞
∞
P
piszemy
an = s.
n=1
Z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że
Stwierdzenie 1. Szereg
∞
P
an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ε > 0, istnieje
n=1
Nε , że dla dowolnych m > n > Nε
|an+1 + an+2 + · · · + am | < ε.
∞
P
Stwierdzenie 2. Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu
słowy, jeśli szereg
∞
P
an jest by lim an = 0. Innymi
n→∞
n=1
an jest zbieżny, to jego wyraz ogólny dąży do zera.
n=1
Powyższy warunek nie jest wystarczającym, ponieważ z warunku lim an = 0 nie wynika zbieżn→∞
∞
P
ność szeregu
an . Ten warunek spełniają szeregi zbieżne, ale istnieją również szeregi rozbieżne,
n=1
które ten warunek także spełniają.
Przykład 1. (a) Rozważmy szereg
∞
P
n=1
1
n.
Jego wyraz ogólny równy
1
n
jest oczywiście zbieżny do
zera, ale sam szereg jest rozbieżny. Rzeczywiście, pogrupujmy kolejne składniki w podany niżej
sposób
∞
P
1
1
1
n = 1 + 2+
n=1
+ 13 + 41 +
+ 15 +
+ 19 +
1
1
1
6 + 7 + 8+
1
1
1
10 + 11 + 12
+
1
13
+
1
14
+
1
15
+
1
16 +
...
Jeśli poszczególne składniki w wierszach po prawej stronie równości (poczynając od drugiego),
zastąpimy ostatnim składnikiem z każdego wiersza, tzn. składnikiem najmniejszym, to suma liczb w
1
Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 3)
tych wierszach będzie równa 21 , a przecież jest ich nieskończenie wiele. Zatem suma tak otrzymanego
∞
P
1
szeregu jest równa ∞. Ostatecznie więc, suma szeregu
n jest także równa ∞ – jest to szereg
n=1
rozbieżny. Ten szereg nazywamy szeregiem harmonicznym, a kolejne sumy częściowe nazywamy
liczbami harmonicznymi: H1 = 1, H2 = 1 + 12 , H3 = 1 + 12 + 31 , . . .. Odgrywają one ważną rolę w
szacowaniu złożoności różnych algorytmów.
∞
P
1
(b) Wyraz ogólny szeregu
jest również zieżny do zera. Tym razem mamy jednak do
n2
n=1
czynienia z szeregiem zbieżnym. Faktycznie,
∞
P
n=1
1
n2
1
22
= 1+
+
1
32
+
1
42
1
1
6 1 + 2·3
+ 3·4
+
1
= 1+ 1− 2 +
∞
P
Stwierdzenie 3. Jeżeli szeregi
∞
P
(an + bn )
n=1
∞
P
can i
n=1
∞
X
(an + bn ) =
n=1
∞
P
an i
n=1
∞
P
+
1
52
+ ··· 6
1
4·5 + ·· · =
1
1
1
2 − 3 + 3
−
1
4
1
4
+
−
1
5
+ · · · = 2.
bn są zbieżne i c jest dowolną liczbą całkowitą, to szeregi
n=1
(an − bn ) są zbieżne oraz
n=1
∞
X
∞
X
an +
n=1
bn ,
n=1
∞
X
can = c
n=1
∞
X
an ,
n=1
∞
X
(an − bn ) =
n=1
∞
X
an −
n=1
∞
X
bn .
n=1
Definicja 2. Niech an będzie ciągiem liczbowym o wyrazach nieujemnych. Szereg postaci
∞
X
(−1)n−1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · ·
n=1
nazywamy szeregiem naprzemiennym.
Twierdzenie 4. Jeżeli szereg naprzemienny
∞
P
(−1)n+1 an spełnia warunki
n=1
a1 > a2 > a3 > · · · oraz
lim an = 0
(1)
n→∞
Przykład 2. Z ostatniego twierdzenia wynika, że szeregi
∞
X
(−1)n+1
n=1
∞
X
(−1)n+1
n=1
1
1 1 1 1
= − + − + ··· ,
n
1 2 3 4
1
1 1 1 1
= − + − + ···
2n − 1
1 3 5 7
są zbieżne. Można udowodnić, że pierwszy z nich jest zbieżny do loge 2, a drugi do
π
4.
Twierdzenie 5. (N. H. Abel) Jeżeli ciąg {an }n∈N spełnia warunki (1), natomiast szereg b1 + b2 +
b3 + · · · jest ograniczony, to szereg a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + · · · jest zbieżny.
Twierdzenie 6. (O porównywaniu szeregów) Jeżeli dla każdego n ∈ N 0 6 bn 6 an i szereg
a1 + a2 + · · · jest zbieżny, to równiwż szereg b1 + b2 + · · · jest zbieżny i
∞
X
bn 6
n=1
∞
X
n=1
2
an
Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 3)
Twierdzenie 7. (a) (Kryterium D’Alamberta) Jeżeli szereg a1 + a2 + · · · o wyrazach dodatnich
spełnia warunek
an+1
< 1,
lim
n→∞ an
to jest zbieżny. Jeżeli ten szereg spełnia warunek
an+1
> 1,
n→∞ an
lim
to jest rozbieżny. Jeśli wreszcie
lim
n→∞
an+1
= 1,
an
to kryterium nie daje odpowiedzi.
(b) (Kryterium Cauchy’ego) Jeżeli szereg a1 + a2 + · · · o wyrazach dodatnich spełnia warunek
lim
√
n
n→∞
an < 1,
to jest zbieżny. Jeżeli ten szereg spełnia warunek
lim
√
n
an > 1,
lim
√
n
an = 1,
n→∞
to jest rozbieżny. Jeśli wreszcie
n→∞
to kryterium nie daje odpowiedzi.
Twierdzenie 8. Jeżeli ciąg {an }n∈N o wyrazach dodatnich spełnia warunek lim an+1
= g, to
n→∞ an
√
n
lim an = g. W szczególności, każdy szereg spełniający warunek D’alamberta spełnia również
n→∞
warunek Cauchy’ego.
Przykład 3. Skuteczność powyższych kryteriów łatwo sprawdzić na przykładzie badania zbieżności
następujących szeregów:
∞ n
∞
P
P
c
n!
(a)
,
c
>
0,
(b)
n!
nn ,
(c)
n=1
∞
P
ncn , 0 < c < 1,
(d)
n=1
n=1
∞
P
1
nα ,
n=1
α > 0,
Ad a) Wyraz ogólny tego szeregu ma postać
an+1
lim
= lim
n→∞ an
n→∞
cn+1
(n+1)!
cn
n!
an =cn
n! ,
= lim
n→∞
zatem w kryterium D’Alamberta mamy
n!
cn+1
· n
(n + 1)! c
c
= 0.
n→∞ n + 1
= lim
Stąd, na mocy tego kryterium, szereg jest zbieżny.
Podobnie łatwo zastosować kryterium Cauchy’ego.
r
√
cn
c
n
lim an = lim n
= lim √
= 0.
n
n→∞
n→∞
n! n→∞ n!
Ad b) Wyraz ogólny ma postać bn =
szereg zbieżny, ponieważ
an+1
lim
= lim
n→∞ an
n→∞
(n+1)!
(n+1)n+1
n!
nn
n!
nn .
= lim
n→∞
Z kryterium D’Alamberta otrzymujemy, że jest to
(n + 1)!
nn
·
(n + 1)n+1 n!
3
n!(n + 1) · nn
=
n→∞ (n + 1)n (n + 1) · n!
= lim
Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 3)
nn
= lim
n→∞ (n + 1)n
n→∞
= lim
1
n+1 n
n
1
= .
e
Zastosowanie kryterium Cauchy’ego sprowadza się do policzenia granicy
r
n n!
,
lim
n→∞
nn
co nie jest oczywiste. Odwołajmy się zatem tylko do twierdzenia 8.
Twierdzenie 9. (Kryterium Raabe’go) Niech an > 0 dla wszystkich liczb naturalnych n. Jeżeli
an
lim n
− 1 > 1,
(2)
n→∞
an+1
to szereg
∞
P
an jest zbieżny. Jeżeli natomiast
n=1
lim n
n→∞
to szereg
∞
P
an
−1
an+1
6 1,
(3)
an jest rozbieżny.
n=1
Dowód. Załóżmy najpierw, że spełniona jest zależność (2). Wtedy, dla pewnej liczby rzeczywistej
t > 0 istnieje liczba naturalna N , że dla wszystkich n > N zachodzi nierówność
an
− 1 > (1 + t)
n
an+1
tzn.
nan − (n + 1)an+1 > tan+1 .
W szczególności
(N + 1)aN +1 − (N + 2)aN +2
(N + 2)aN +1 − (N + 3)aN +3
···
(n − 2)an−2 − (n − 1)an−1
(n − 1)an−1 − nan
> taN +2
> taN +3
···
> tan−1
> tan
Po dodaniu stronami dostajemy
(N + 1)aN +1 − nan > t(sn − sN +1 )
Wyliczając z ostatniej nierówności sn mamy
sn <
N +1
+ sN +1 .
t
Prawa strona tej nierówności nie zależy od n. Zatem szereg
∞
P
an jest ograniczony i tym samym
n=1
– zbieżny.
Załóżmy teraz, że spełniona jest nierówność (3). Wtedy istnieje liczba naturalna N , taka że dla
wszystkich n > N zachodzi nierówność
an
n
− 1 6 1,
an+1
4
Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 3)
skąd otrzymujemy
n+1
an
6
.
an+1
n
Rozpiszmy tę nierówność dla kolejnych wartości większych od N .
aN +1
aN +2
aN +2
aN +3
6
N +2
N +1
6
N +3
N +2
···
an−2
an−1
an−1
an
···
6
n−1
n−2
6
n
n−1
i po przemnożeniu stronami dostajemy
aN +1
n
6
,
an
N +1
czyli
aN +1
N +1
Szereg, którego wyrazami są prawe strony ostatniej
∞
P
również szereg
jest rozbieżny.
an >
1
.
n
nierówności jest szeregiem rozbieżnym, więc
·
n=1
Twierdzenie 10. (Kryterium Cauchy’ego o zagęszczaniu) Niech an > 0 i niech ciąg {an }n∈N
∞
∞
P
P
będzie nierosnący. Wówczas szereg
an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg
2n a2n jest
n=1
n=1
zbieżny.
Dowód. Niech
sn = a1 + a2 + · · · + an , tn = 2a2 + 4a4 + 8a8 + · · · + a2n .
Ponieważ a1 > a2 > a3 > · · · > 0, więc
s2n −1 = a1 + (a2 + a3 ) + (a4 + a5 + a6 + a7 ) + · · · + (a2n−1 + · · · + a2n −1 ) 6
a1 + 2a2 + 4a4 + 8a8 + · · · + 2n−1 a2n−1 = a1 + tn−1 .
Z drugiej strony:
s2n = a1 + a2 + (a3 + a4 ) + (a5 + a6 + a7 + a8 ) + · · · + (a2n−1 +1 + · · · + a2n ) >
1
a1 + a2 + 2a4 + 4a8 + · · · + 2n−1 a2n = a1 + tn .
2
Pierwsza nierówność oznacza, że jeśli ciąg {tn } jest ograniczony, to ograniczony jest ciąg {sn }.
Druga, odwrotnie – jeśli ograniczony jest ciąg {sn }, to takim jest {tn }.
Przykład 4.
∞
P
n=1
1
n(log2 n)α ,
Definicja 3. Szereg
∞
P
α>1
an nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli zbieżny jest szereg
n=1
∞
P
|an |.
n=1
Szereg, który jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny nazywamy warunkowo zbieżnym.
Opracował: Czesław Bagiński
5