wielokąty wpisane i opisane na okręgu

WIELOKĄTY WPISANE I OPISANE NA OKRĘGU
I.
WIELOKĄT WPISANY W OKRĄG.
Def. Wielokąt wpisany w okrąg jest to taki wielokąt, którego wszystkie wierzchołki leżą na okręgu:
Wielokąt po prawej nie jest wpisany w okrąg - jeden z jego wierzchołków nie leży na okręgu.
TW. Jeśli figura jest wpisana w okrąg, to okrąg jest opisany na tej figurze
Środek okręgu jest równo oddalony od
wierzchołków figury wpisanej w ten okrąg.
Symetralna odcinka AB to zbiór punktów równo odległych od 2 punktów np. A i B. Zatem środek okręgu
opisanego na wielokącie można znaleźd rysując symetralne boków tego wielokąta.
TW. Wielokąt można wpisad w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne jego boków przetną się w
1 miejscu.
Z właściwości trójkąta wynika, że symetralne boków trójkąta przecinają się zawsze w tym samym
miejscu, więc na każdym trójkącie można opisad okrąg.
WIELOKĄTY WPISANE I OPISANE NA OKRĘGU
KONSTRUKCJA OKRĘGU OPISANEGO NA TRÓJKĄCIE.
1. Wiadomo, że symetralne boków trójkąta przecinają się w 1 miejscu. Wystarczy więc, skonstruowad 2
symetralne. Najpierw tworzymy symetralną boku AB.
2. Następnie boku BC.
3. Punkt przecięcia symetralnych jest środkiem okręgu. Stawiamy w nim nóżkę cyrkla i odmierzamy
odległośd do najbliższego wierzchołka. Następnie rysujemy okrąg.
4. Podobnie konstruujemy każdy okrąg opisany na wielokącie. Jeśli jednak nie jesteśmy pewni czy taki
okrąg da się skonstruowad, należy narysowad symetralne wszystkich boków. Jeśli przetną się w 1
punkcie, możemy opisad na nim okrąg.
POŁOŻENIE ŚRODKA OKRĘGU WZGLĘDEM WPISANEGO TRÓJKĄTA.
Trójkąt ostrokątny: środek okręgu znajduje się wewnątrz okręgu.
Trójkąt prostokątny: środek okręgu znajduje się na przeciwprostokątnej i dzieli ją
równo na połowę.
Trójkąt rozwartokątny: środek okręgu znajduje się poza trójkątem.
WIELOKĄTY WPISANE I OPISANE NA OKRĘGU
II.
WIELOKĄT OPISANY NA OKRĘGU.
Def. Wielokąt opisany na okręgu to taki wielokąt, którego wszystkie boki są stycznymi do okręgu.
Wielokąt po prawej nie jest opisany na okręgu - dwa z jego boków nie są styczne do okręgu.
Środek okręgu O musi byd jednakowo oddalony od wszystkich boków wielokąta. Punkt jednakowo odległy od
2 prostych leży na dwusiecznej kąta zawartego między tymi prostymi. Tak więc środek okręgu leży na
przecięciu dwusiecznych wszystkich kątów wielokąta.
TW. Wielokąt można opisad na okręgu tylko i tylko wtedy, gdy wszystkie dwusieczne jego kątów
przetną się w 1 miejscu.
Z własności trójkąta wynika, że dwusieczne kątów trójkąta przecinają się zawsze w tym samym
miejscu, więc w każdy trójkąt można wpisad okrąg .
WIELOKĄTY WPISANE I OPISANE NA OKRĘGU
KONSTRUKCJA OKRĘGU WPISANEGO W TRÓJKĄT.
Wiadomo, że dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w 1 miejscu. Wystarczy więc, skonstruowad 2
dwusieczne. Najpierw tworzymy dwusieczną kąta przy wierzchołku C.
Teraz dwusieczną kąta przy wierzchołku A. Powstaje punkt O.
Punkt przecięcia symetralnych O jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. Wystarczy teraz
Źródła pomocy: planimetria.tanges.pl oraz Podręcznik "Matematyka 2001"
Opracowały: Mirella Matuszak, Ewelina Kurzaj, Ania Toboła