NIEBEZPIECZNA PRĘDKOŚĆ

26
NAUCZANIE MATEMATYKI
Marcin Braun
NIEBEZPIECZNA
PRĘDKOŚĆ
Jak uczyć w szkole podstawowej o prędkości?
Nowa podstawa programowa wprowadza do nauczania matematyki w szkole podstawowej zagadnienie:
„rozwiązywanie zadań tekstowych umieszczonych w praktycznym kontekście, w szczególności zadań typu droga –
prędkość – czas”.
Różne zadania praktyczne rozwiązywaliśmy i do tej pory, ale
hasło „droga – prędkość – czas” dodano dopiero teraz. I nic
dziwnego, że trafiło ono do podstawy programowej z matematyki. Choć przyroda zawiera elementy fizyki, to traktuje je
opisowo, a nie ilościowo.
Jak nie uczyć?
Negatywnych przykładów można wymyślać wiele, ale jednego wymyślać niestety nie trzeba. Tak bowiem czasem się uczy
s
w gimnazjum: mamy wzór v = t , przekształcamy go do odpowiedniej postaci i podstawiamy dane. A jak nie umiemy
przekształcić, to uczymy się sztuczek pamięciowych (np. z zasłanianiem czegoś palcem).
Fizycy na szczęście odchodzą od takiego nauczania, ale nawet gdyby uznać je za właściwe w gimnazjum, na pewno nie
przystaje do szkoły podstawowej. Tutaj żaden wzór nie jest
potrzebny.
Jaka prędkość?
W fizyce prędkość to skomplikowane pojęcie. Jest ona bowiem
wektorem, który jest pochodną po czasie wektora wskazującego położenie ciała. Z pewnością nie o tak szeroko rozumianą
prędkość może chodzić autorom podstawy.
MAGENTA BLACK
zam637(ms41) str. 26
NAUCZANIE MATEMATYKI
Domyślam się, że w tym wieku wystarczy
wiedzieć, że w wypadku ciała poruszającego
się ze stałą prędkością tę prędkość możemy obliczyć, dzieląc drogę przez czas. Przy
ruchu ze zmienną prędkością w ten sam sposób obliczamy prędkość średnią1 . Na ogół
w zadaniach z praktycznym kontekstem
milcząco przyjmujemy, że chodzi właśnie
o prędkość średnią. Jeśli bowiem „samochód
przebył 40 km z prędkością 90 km
”, to trudh
no przypuszczać, że na tak długim odcinku
ani trochę nie przyspieszał i nie hamował.
5 godzin przejedzie 5 razy więcej, czyli
5 · 60 km = 300 km.
Nie potrzebujemy przekształcać wzorów.
Podobnie nie przekształcalibyśmy wzoru,
aby się dowiedzieć, że rozdając 5 uczniom
po 60 cukierków, rozdamy łącznie 300 cukierków.
W gimnazjum wzór s = v · t powinien się pojawić po takich intuicyjnych rozważaniach,
jako ich skrócony zapis. W szkole podstawowej może go nie być w ogóle.
Obliczamy prędkość
Nieco trudniejsze do intuicyjnego wyjaśnienia jest obliczanie czasu. Ale i tu nie musimy
się odwoływać do algebry ani do sztuczek
pamięciowych.
Aby obliczyć prędkość, wcale nie musimy
korzystać ze wzoru. Ba, nawet nie powinniśmy. Wzór jest dobry dla bardziej zaawansowanych uczniów, którzy wiedzą, skąd się
wziął. Wprowadzony zbyt wcześnie stanowi
jakąś tajemniczą regułkę do zapamiętania.
Słabsi uczniowie może i lubią się uczyć na
pamięć, ale nie powinniśmy tego popierać.
Na szczęście bez wzorów jest w rzeczywistości jeszcze łatwiej, zwłaszcza gdy zastosujemy porównanie do sytuacji z życia
codziennego2 :
Jeśli między 10 uczniów podzielimy po
równo 20 cukierków, to każdy dostanie
20 : 10 = 2 cukierki:
20 cukierków
= 2 cukierki na ucznia
10 uczniów
Jeśli w ciągu 10 s samochód przejechał
20 m, to na każdą sekundę przypadają
2 m:
20 m
m
=2
10 s
s
Obliczanie czasu
. Ile
Samochód jedzie z prędkością 50 km
h
czasu zajmie mu przejechanie 200 km?
Trzeba podzielić drogę 200 km na odcinki
po 50 km. Takich odcinków jest 200 : 50 = 4,
a każdy z nich samochód przebywa w ciągu
godziny. Zatem cała droga zajmie 4 h.
Zaczynają się schody
Jak widzimy z powyższych przykładów,
proste zadania dotyczące drogi, prędkości
i czasu nie powinny sprawiać uczniom wielkich trudności, jeśli tylko niepotrzebnie nie
zagmatwamy sposobu ich rozwiązywania.
Oczywiście stopień trudności znacznie wzrośnie, gdy w zadaniu połączymy obliczanie
prędkości z przeliczaniem jednostek czasu,
rachunkami na godzinach itp. Można sobie
na przykład wyobrazić takie zadanie egzaminacyjne:
Jaką drogę przebywa w ciągu 5 h samokm
chód jadący z prędkością 60 h ?
Pociąg wyjechał z Warszawy o 9.50 i przyjechał do Radomia o 12.20. Odległość
między tymi miastami wynosi 100 km. Jaka była średnia prędkość pociągu?
Taka prędkość oznacza, że w ciągu godziny samochód przejedzie 60 km. W ciągu
Musimy tutaj obliczyć, że od 9.50 do 12.20
mijają 2 h 30 min i zapisać to w postaci
Obliczanie drogi
MAGENTA BLACK
zam637(ms41) str. 27
27
28
NAUCZANIE MATEMATYKI
2 12 h albo 2,5 h (a nie w postaci 2,30 h, jak
to się zdarza nawet dorosłym!), potem podzielić 100 przez 2,5. Gdy jest tyle różnych
czynności, to uczeń może się pogubić.
Radą na takie sytuacje jest wyobrażenie sobie prostszych danych. Jak więc liczylibyśmy
prędkość, gdyby pociąg jechał przez dokładnie 2 h? Trzeba by podzielić 100 przez 2.
W takim razie w naszym wypadku należy podzielić 100 przez 2,5.
muje wynik 45 km
. Ale nie jest to poprawne
h
rozwiązanie. Gdybyśmy koniecznie chcieli
liczyć średnią, musiałaby to być średnia
ważona, przy czym drugi odcinek miałby
większą wagę, gdyż został przebyty w dłuższym czasie. Ale znacznie łatwiej rozwiązać
to zadanie po prostu krok po kroku:
1
3
2
3
h
pierwszy odcinek
20 km
drugi odcinek
20 km
w sumie
40 km 1 h
h
Podstępna średnia
Zatem prędkość średnia wynosiła 40 km
.
h
Prawdziwe kłopoty zaczynają się w zadaniach typu:
Miejmy nadzieję, że takich zadań nie należy
się spodziewać na sprawdzianie szóstoklasisty, ale są dobrym tematem na konkursy.
Ciężarówka przejechała 20 km po szosie
z prędkością 60 km
, a następnie 20 km po
h
km
drodze gruntowej z prędkością 30 h . Jaka była średnia prędkość pojazdu?
Wielu uczniów, słysząc słowo „średnia”, od
razu oblicza średnią arytmetyczną i otrzy-
1
Dokładnie: średnią wartość wektora prędkości.
Jest ona czym innym niż wartość średniego wektora prędkości. Całe szczęście, że nie musimy się
zajmować takimi niuansami!
2
Porównanie pochodzi z książki To jest fizyka dla
klasy I gimnazjum.
ZDARZYŁO SIĘ PEWNEGO RAZU
Marek Pisarski
Minęła dłuższa chwila, zanim nauczycielka
Szyfry i kody, cz. 3
uświadomiła sobie, jak zawiłą ścieżką krąży-
Na jednej z kolejnych wrześniowych lekcji
w klasie VI nauczycielka zwróciła się do
uczniów z pytaniem:
– Czy wiecie lub pamiętacie, co to jest pierwiastek kwadratowy?
Po dłuższej chwili milczenia oznaczającego,
że nikt nie wie ani nie pamięta, w klasie dał
się słyszeć głos jednej z uczennic:
– Pani ścięła włosy!!!
Mogłoby się wydawać, że jest to kolejny
przykład powakacyjnej ignorancji uczniów,
podkreślony niestosownym brakiem uwagi
na słowa nauczycielki.
Otóż nauczycielka matematyki, o której opo-
MAGENTA BLACK
ła myśl spostrzegawczej uczennicy.
wiadam, przez wiele lat nosiła długie włosy.
Czasem spinała je z tyłu spinką, na której dla ozdoby umieszczono miniaturową
tablicę szkolną ze znakiem pierwiastka kwadratowego zrobionym z masy plastycznej.
Dzieci w klasie IV i V zwracały uwagę na tę
spinkę. Pytały, co oznacza widoczny na niej
symbol. Ucząc tych samych uczniów w klasie VI, nauczycielka miała już krótko obcięte
włosy. Nie pamiętały znaczenia pojęcia. Jedna uczennica zapamiętała spinkę.
zam637(ms41) str. 28