Algebra z Geometrią Analityczną, I rok inf., WPPT Lista 5 – 12

Algebra z Geometrią Analityczną, I rok inf., WPPT
Lista 5 – 12 października 2012
temat: macierz, wyznacznik, macierz odwrotna
• Mnożenie macierzy
Niech A = [aij ], B = [bij ] mają odpowiednio rozmiary m × p, p × n. Wówczas macierz
C = [cij ] = AB ma następujące elementy
cij =
p
X
aik bkj .
k=1
• Wyznaczniki
Rozwinięcie Laplace’a wyznacznika macierzy A = [aij ] stopnia n względem i-tego wiersza:
n
det(A) =
X
(−1)i+j aij det(Aij ),
j=1
gdzie macierz Aij powstaje z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
• Macierz odwrotna
Definicja macierzy odwrotnej AA−1 = A−1 A = I,
dopełnienie algebraiczne dij elementu aij macierzy kwadratowej A = [aij ]: dij = (−1)i+j det(Aij ),
wzór na macierz odwrotną (terminy angielskie: adjoint of A = (cof actor matrix of A)T )
A−1 =
1
adj(A),
det(A)
gdzie adj(A) jest transpozycją macierzy D = [dij ], czyli adj(A) = DT .
• Zapoznaj się z funkcjami Octava: det, inv.
...............................................................................................
1. Podaj rozmiary macierzy A, B, C takie, aby można było obliczyć: AB + ACB, 2B −
AT A, CAT + 3A. Każdy przypadek traktuj oddzielnie.
"
2. Niech A =
"
3. Niech A =
−1 0
2 3
0 1
0 2
#
"
,
B=
#
"
,
B=
1 2
3 0
1 1
3 4
#
. Sprawdź, że AB 6= BA.
#
"
,
2 5
3 4
C=
#
"
,
D=
3 7
0 0
#
.
Sprawdź, że
"
AB = AC =
3 4
6 8
#
"
,
AD =
0 0
0 0
#
.
4. Sprawdź, że prawdziwe są następujące równości:











−1 3
2
2
1
−1
3
2


 







 1 2 −3   −1  =  −9  = 2  1  − 1  2  + 3  −3  .
2 1 −2
3
−3
2
1
−2
1





1
x1
1
0 0

 


1 0   x2  =  2  .
5. Wyznacz x1 , x2 , x3 spełniające następującą równość  −1
3
x3
2 −1 1
6. Jaki będzie skutek pomnożenia z lewej (prawej) strony macierzy A stopnia 3 przez
macierze

 
 
 
 
 

1 0 0
1 0 2
0 1 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0

 
 
 
 
 

 0 1 0  ,  0 1 0  ,  0 1 0  ,  1 0 0  ,  0 1 0  ,  2 1 0 ?
−3 0 1
0 0 1
0 0 1
0 0 3
3 0 1
−3 0 1
Uwaga. To są przykłady macierzy elementarnych przekształceń. Sprawdź z definicji, że
druga macierz jest odwrotna do pierwszej macierzy. Jaką macierz odwrotną ma macierz
trzecia?
7. Niech macierze A i B rozmiaru m × n i n × q, odpowiednio, będą podzielone na bloki
"
A=
A11 A12
A21 A22
#
"
,
B11 B12
B21 B22
B=
#
.
Wówczas iloczyn AB może być wyrażony w następujący sposób
"
AB =
A11 B11 + A12 B21 A11 B12 + A12 B22
A21 B11 + A22 B21 A21 B12 + A22 B22
#
,
przy założeniu, że podział na bloki jest taki, że wszystkie iloczyny bloków istnieją.
Zastosuj powyższy sposób do obliczenia iloczynu następujących macierzy A i B

1 0|
0
1
5
−
1 3

2 1| 0

A=
 −− − −
−3 0|


,




1
0|
0
2
1|
5 


−− −− −−  .

3 −1|
3 
−4
2| −3



B=




2 3 1
2
 1 1 2
0 


8. Oblicz wyznacznik macierzy G = 
 za pomocą rozwinięcia Laplace’a
 0 0 1 −2 
0 0 1
2
i za pomocą elementarnych przekształceń. Następnie za pomocą dopełnień algebraicznych wyznacz macierz odwrotną G−1 . Powtórz obliczenia korzystając z następujących
własności wyznaczników i macierzy odwrotnych do macierzy podanych w odpowiedniej
postaci blokowej.
Niech macierz kwadratowa G ma następującą postać blokową:
"
G=
A C
0 B
#
,
gdzie bloki A i B są kwadratowe. Wówczas det(G) = det(A)det(B). Jeśli dodatkowo
założymy, że bloki A i B są nieosobliwe, czyli istnieją macierze odwrotne A−1 i B −1 , to
macierz G jest nieosobliwa i
"
G
−1
=
A−1 −A−1 CB −1
0
B −1
2
#
.
9. (∗) Podaj wzory na elementy macierzy AT A i uzasadnij, dlaczego macierz jest symetryczna.
10. (∗) Uzasadnij, że jeśli macierz A rozmiaru m × n ma zerowy wiersz, to macierz AB też
ma wiersz zerowy (który?), gdzie B jest dowolną macierzą rozmiaru n × q.
11. (∗) Niech


1 2 0


A =  3 5 0 .
3 6 0
Sprawdź na podstawie definicji, że nie istnieje macierz odwrotna do macierzy A. Rozważ
iloczyn XA dla dowolnej macierzy X.
12. (∗) Wykaż, że dla macierzy




A=


0
1
0
0
0
0
1
0
·
·
·
·
0
0
0
0
−a0 −a1 −a2 −a3
···
0
···
0
···
0
···
1
· · · −an−1







stopnia n prawdziwy jest wzór det(tI − A) = tn + an−1 tn−1 + · · · + a1 t + a0 .
13. (∗) Ciągiem Fibanacciego nazywamy ciąg d1 , d2 , . . ., którego dwa pierwsze wyrazy d1 i
d2 są równe 1, a każdy następny jest równy sumie dwóch wyrazów go poprzedzających,
czyli dk+1 = dk + dk−1 . Udowodnij, że (n + 1)-szy wyraz ciągu Fibanacciego dn+1 jest
równy następującemu wyznacznikowi stopnia n:
1
1 0
−1
1 1
0
−1
1
·
· ·
0
0 0
0
0
1
·
0
···
0
0
···
0
0
···
0
0
· · · −1
1
···
0 −1
0
0
0
1
1
.
14. (∗) Niech macierz A będzie kwadratowa stopnia n i niech istnieje macierz odwrotna
do macierzy A. Niech c, d będą macierzami jednokolumnowymi n × 1 takimi, że 1 +
dT A−1 c 6= 0. Udowodnij wzór Shermana-Morrisona:
(A + cdT )−1 = A−1 −
A−1 cdT A−1
.
1 + dT A−1 c
15. (∗) Niech A będzie macierzą rozmiaru n × k, a macierz B rozmiaru k × n. Sprawdź, że
macierz
"
#
I − BA
B
C=
2A − ABA AB − I
ma własność C 2 = I, czyli C −1 = C.
Krystyna Ziętak
3