15. Macierze 15. Macierze

15. Macierze
Definicja Macierzy.
Dla danego ciała F i dla danych m, n
IN funkcję A : {1,...,m}
{1,...,n}
F nazywamy
macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F.
Wartość A(i, j) macierzy A dla argumentu (i, j) oznaczamy przez , a samą macierzy
zapisujemy jako A=
lub
A=
Zbiór wszystkich macierzy o m wierszach i n kolumnach oraz o wyrazach z ciała F
oznaczamy przez
(F).
Dla macierzy A
zaś funkcję
=
(F) funkcję
=
nazywamy i-tym wierszem macierzy A,
nazywamy j-tą kolumną tej macierzy.
Definicja Delty Kroneckera
Liczbę
, gdzie i,j = 1,..., n, daną wzorem:
=
nazywamy deltą Kroneckera o indeksie (i,j).
Definicja Macierzy Kwadratowej
Macierz z przestrzeni
nazywamy macierzą kwadratową stopnia n.
Definicja Macierzy Jednostkowej
Macierzą jednostkową (stopnia n) nazywamy macierz
=
Macierz diagonalna i trójkątna
Macierz kwadratową A = [aij] o wymiarach n x n nazywamy:
a) Macierzą diagonalną, gdy aij=0 dla i≠j
b) Macierzą górną trójkątną, gdy aij=0 dla i>j
c) Macierzą dolną trójkątną, gdy aij=0 dla i<j
Przyklady:
a)
1
b)
c)
Suma (różnica) macierzy
Niech A = [aij], B = [bij] będą macierzami wymiaru m x n. Sumą (rożnicą) macierzy A i B
nazywamy macierz C = [cij], której elementy określone są wzorem: cij = aij ± bij dla 1 ≤ i ≤ m
oraz 1 ≤ j ≤ n. Piszemy C = A ± B.
Przykład:
A=
A+B=
,B=
,A–B=
Iloczyn macierzy przez liczbę
Niech A = [aij] będzie macierzą wymiaru m x n oraz niech α
R. Iloczynem macierzy A
przez liczbę α nazywamy macierz B = [bij], której elementy określone są wzorem: bij = α * aij
dla 1 ≤ i ≤ m oraz 1 ≤ j ≤ n. Piszemy B = α * A.
Przykład:
A=
, α = 1/3.
α*A=
Iloczyn dwóch macierzy
Niech A = [aij] będzie macierzą o wymiarach m x n, macierz B = [bij] wymiaru n x k.
Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = [cij] wymiaru m x k, której elementy
określone są wzorem: cij = ai1 * b1j + ai2 * b2j + … + ain * bnj dla 1 ≤ i ≤ m oraz 1 ≤ j ≤ k.
Piszemy C = A * B.
2
UWAGA!
Macierz A można pomnożyć przez macierz B z prawej strony tylko wtedy, gdy ilość kolumn
macierzy A jest równa ilości wierszy macierzy B.
Przykład:
,B=
A*B=
Własności działań na macierzach:
Niech A, B, C będą dowolnymi macierzami tego samego wymiaru oraz niech α, β
R.
Wówczas:
1. A + B = B+ A
2. A + 0 = 0 + A = A
3. (A + B) + C = A + (B + C)
4. A + (-A) = 0
5. Α * (A + B) = α * A + α * B
6. (α + β) * A = α * A + β * A
7. 1 * A = A
8. A * (B + C) = A * B + A * C (A ma wymiar m x n, B i C - n x k)
9. (A + B) * C = A * C + B * C (A i B ma wymiar m x n, a C - n x k)
10. A * (B * C) = (A * B) * C (A ma wymiar m x n, B - n x k, C - k x l
11. A * In = Im * A = A (A ma wymiar m x n)
12. Mnożenie macierz nie jest przemienne
Definicja Macierzy Transponowanej
Macierzą transponowaną do macierzy A = [
]
nazywamy macierz
=[
]
Własności Macierzy Transponowanej
Niech A, B będą macierzami wymiary m x n, a C n x k i α
R. Wówczas:
1. (A + B)T = AT + BT
2. (α * A)T = α * AT
3. (A * B)T = BT * AT
4. (AT)T = A
3
Przykład macierzy transponowanej
. Wówczas AT =
Niech A=
.
Główna Przekątna
Jeżeli macierz jest kwadratowa to ciąg elementów o równych wskaźnikach wiersza i kolumny
począwszy od jeden do jej stopnia nazywa się główną przekątną.
Definicja Wyznacznika Macierzy Kwadratowej
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [
]
det A =
gdy n = 1
det A =
gdzie
(F) nazywamy liczb
det
gdy n > 1,
jest macierzą powstałą z A przez skreślenie pierwszego wiersza i j-tej kolumny.
Przykład.
1. n = 1
det [
]=
2. n = 2
det
=
-
3. n = 3
det
=
+
+
-
-
-
Działania na wierszach i kolumnach
1. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest iloczynem wyrazów na głównej przekątnej.
2. det AT = det A
3. Jeżeli macierz B powstaje z A przez:
a) zamianę dwóch sąsiednich wierszy (kolumn) to det B = - det A
4
b) zamianę dwóch wierszy (kolumn) miejscami to det B = - det A
c) pomnożenie wiersza (kolumny) przez α ≠ 0 to det B = α * det A
d) dodanie do wiersza kombinacji liniowych innych wierszy (kolumn), to det B = det
A
4. Jeżeli macierz A zawiera wiersz zerowy lub dwa identyczne wiersze (kolumny) to det
A=0
5. det A-1 = 1/det A
Twierdzenie Laplace'a
Niech A = [
]
(F), zaś dla i, j = 1,..., n symbol
oznacza macierz (n-1)
(n-1)
powstałą przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny. Wówczas dla dowolnego
i = 1,...,n zachodzi równość
det
det A =
Przykład. Obliczmy wyznacznik macierzy A korzystając z twierdzenia Laplace'a
A=
I. Dodajemy czwartą kolumnę do pierwszej oraz trzeciej, zaś odejmiemy ją od drugiej:
det A =
=
Korzystamy z rozwinięcia Laplace'a
det A =
0
+
0
0
1
=
+
1
=
=
II. Odejmiemy pierwszą kolumnę od ostatniej, następnie trzecią dodajmy do drugiej:
det A=
=
=
5
Korzystamy z rozwinięcia Laplace'a
det A =
( 4)
= 4
III. Redukujemy współczynniki w ostatnim wierszu, odejmując pierwszy wiersz od drugiego:
det A = 4
=4
Korzystamy z rozwinięcia Laplace'a
det A = 4
8
= 4 ( 1)
= 64
Reguła Sarrusa
Metoda obliczania wyznacznika stopnia 3
I. Dopisujemy dwa pierwsze wiersze pod wyznacznik
II. Obliczamy sumę iloczynów wzdłuż "czerwonych strzałek" i odejmuje od niej sumę iloczynów
wzdłuż "niebieskich strzałek"
6
Ogólny wzór ma postać:
(
+
+
)-(
-
-
)
Przykład.
(
+
+
) - (5
-
) = 0 +10 + 0 - (0 - 12 -14)
-
= 10 + 26 = 36
Macierz odwrotna
Macierz kwadratową A = [aij] wymiaru n x n nazywamy macierzą nieosobliwą (lub
odwracalną), jeżeli istnieje macierz A-1 taka, że A * A-1 =A-1 * A = I
Warunek wystarczający istnienia macierzy odwrotnej
Jeżeli macierz kwadratowa A = [aij] jest macierzą nieosobliwą tzn, detA ≠ 0, to istnieje do
niej dokładnie jedna macierz odwrotna A-1, która jest równa macierzy dołączonej,
pomnożonej przez odwrotność wyznacznika, to znaczy: A-1 = 1/detA * DT.
Metoda eliminacji Gaussa
Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A =
.
Najpierw liczymy wyznacznik:
det A =
= 54 + 45 +28 - 27 – 40 -63 = -3 ≠ 0
Zatem A-1 istnieje.
Teraz obliczamy dopełnienia algebraiczne wszystkich wyrazów macierzy A:
d11 = (-1)1 + 1
=7
d12 = (-1)1 + 2
= -5
d13 = (-1)1 + 3
=6
7
d21 = (-1)2 + 1
= -6
d22 = (-1)2 + 2
=3
d23 = (-1)2 + 3
= -3
d31 = (-1)3 + 1
=1
d32 = (-1)3 + 2
=1
d33 = (-1)3 + 3
= -3
Tworzymy macierz dopełnień:
D=
, DT =
Podstawiamy do wzoru: A-1 = 1/detA * DT
A-1 =
Obliczmy teraz macierz odwrotną innym sposobem:
½ * R1 => R1
R3 – R1 => R3 i R2 – 3R1 => R2
(-2/3) * R2 => R2 i 2/3 * R3 => R3
R3 – R2 => R3
8
R3 * 2/3 => R3 i R1 – 7/2 * R2 => R1
R1 – 1/3 * R3 => R1 i R2 – 1/3 * R3 => R2
9