3-4 Dynamika

2015-10-03
Dynamika
• zasady
dynamiki
• pojęcie całki
• rozwiązywanie
równań ruchu
Dynamika – badanie przyczyn
ruchu (Newton, XVIII w.)
Oddziaływania fundamentalne
Oddziaływania
Źródło
Intensywność
względna
Promień
działania
Grawitacyjne
Masa
10-39
Dalekozasięgowe
Słabe
Cząstki elementarne
10-15
Krótkozasięgowe
(10-15 m)
Elektromagnetyczne
Ładunki elektryczne
10-2
Dalekozasięgowe
Jądrowe (silne)
Hadrony (protony,
neutrony, mezony)
1
Krótkozasięgowe
(10-15 m)
1
2015-10-03
Dynamika


badanie przyczyn ruchu
badanie związków między ruchem
ciała a siłami działającymi na ciało
określenie ruchu ciała pod działaniem
znanych sił
 wyznaczenie sił działających na ciało,
gdy znany jest jego ruch

Masa, pęd, siła

masa – wielkość skalarna




pęd – wielkość wektorowa



charakteryzuje właściwości inercjalne ciała, czyli jego
uległość wobec oddziaływań na niego innych ciał
mechanika klasyczna  masa ciała nie zależy od prędkości
określenie masy poprzez porównanie z masą innego ciała
wzorca
wielkość dynamiczna charakteryzująca ruch ciała


pęd p – iloczyn masy i prędkości ciała
p  mv
siła – wielkość wektorowa

będąca miarą oddziaływań prowadzących do zmiany
prędkości – jeśli ciało o masie m porusza się z
przyspieszeniem a, to pozostaje ono pod działaniem siły F

definiowanej jako 
F  ma
2
2015-10-03
Siły wewnętrzne i zewnętrzne
w układzie ciał





układ ciał – zbiór dwóch lub większej liczby ciał
układ zamknięty – masa układu podczas ruchu nie
ulega zmianie
siła wewnętrzna – siła działająca między ciałami
składowymi układu
siła zewnętrzna – siła pochodząca ze strony ciał nie
należących do układu
układ odosobniony(izolowany) – wypadkowa sił
zewnętrznych na układ jest równa zeru
Zasady dynamiki Newtona


Ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się
ruchem jednostajnym prostoliniowym dopóki nie
zostanie zmuszone za pomocą odpowiednich sił do
zmiany tego stanu (zasada bezwładności)
Szybkość zmiany pędu ciała jest równa sile
wypadkowej działającej na to ciało


dp
 Fwyp
dt





dmv
dv
m
 ma  Fwyp
dt
dt
Gdy dwa ciała oddziaływują wzajemnie to siła
wywierana przez ciało drugie na ciało pierwsze jest
równa i przeciwnie skierowana do siły z jaką ciało
pierwsze działa na ciało drugie


FAB  FB  A
3
2015-10-03
Energia


Energia to wielkość fizyczna charakteryzująca stan ciała
(układu ciał) pod względem jego zdolności do
wykonywania pracy (ruchu ciała)
zależnie od różnych rodzajów procesów fizycznych
mówimy o różnych formach energii:






wewnętrznej
mechanicznej
elektromagnetycznej
jądrowej
chemicznej
zasadniczo rozróżnia się energię:


Ek kinetyczną – związaną z ruchem ciała
U potencjalną – związaną z siłami działającymi na ciało i jego
położeniem
Praca i energia kinetyczna
1
1 dżul = 1 J = 1 kgm2/s2
mv 2
2
im szybciej porusza się ciało tym większa jest jego Ek
Energia kinetyczna:
Ek 
zwiększanie prędkości pod wpływem działania siły – siła
wykonuje pracę nad ciałem
Praca W jest to energia przekazana ciału lub od niego odebrana
na drodze działania na ciało siły.
Gdy energia przekazywana ciału W>0, a gdy odbierana W<0
Zmiana energii kinetycznej ciała jest równa całkowitej pracy
wykonanej nad ciałem
 Ek  Ek koń  Ek pocz  W
4
2015-10-03
Siła działająca na poruszające się ciało
wykonuje pracę nad tym ciałem
Praca siły
Praca wykonana nad ciałem w czasie jego przemieszczania
na drodze r przez siłę F, stałą na drodze r jest iloczynem
skalarnym sił F i wektora przemieszczenia


W  F  r
F
0
F

r
F0cos
rk
Ft

W  F  r  F cos   r
0
gdzie  oznacza kąt między kierunkiem siły i przesunięcia
rk
Geometryczna
interpretacja pracy –
pole pod krzywą F(r)
r
Praca wykonana nad ciałem może mieć różny znak. Jeśli składowa wektora siły w
kierunku wektora przemieszczenia w stosunku do wektora przemieszczenia
 jest skierowana zgodnie – dodatnia ( < 90° W>0 siły napędowe)
 jest skierowana przeciwnie – ujemna ( > 90° W<0 siły oporowe)
 są do siebie prostopadłe - zerowa
Rachunek całkowy
Całkowanie jest działaniem odwrotnym względem
różniczkowania. Polega na znalezieniu dla badanej funkcji f(x)
tzw. funkcji pierwotnej F(x), która w każdym punkcie
badanego przedziału spełnia równość F’(x) = f(x)
Funkcja pierwotna jest wyznaczana z dokładnością do
dowolnej stałej C, gdyż (F(x)+C)’=f(x)
Sumę F(x)+C nazywamy całką nieoznaczoną f(x) i oznaczamy
symbolem
 f (x) dx
funkcja
podcałkowa
zmienna
całkowania
 ...... dx
symbol całkowania
5
2015-10-03
Podstawowe wzory
 1 dx  x  C
 0 dx  C
x
n
dx 
x n1
C
n 1
1
 x dx  3x
2
e
1
 x dx  ln x  C
 sin x dx   cos x  C
Przykłady:
 a dx  ax  C
x
dx  e x  C , e  2,718...
 cos x dx  sin x  C
l
3
1
C
 y 2 dy   y
2
1 3

2
 x  C  x
3


, bo
dy 
y 1
1
C   C
1
y
1
 sin 5t dt   5 cos 5t  C
Całka oznaczona
Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) to całką
oznaczoną funkcji f(x) w przedziale [a,b] nazywamy
górna
dolna
granica
całkowania
Przykład:
b
 f (x) dx  F (x)
a
4
 x dx 
1
4

b
a
 F (b)  F (a)

1 2
1
x  4 2  12  7,5
2 1 2
6
2015-10-03
Równania różniczkowe
dy
 f x 
dx
Równanie różniczkowe typu
ogólne postaci
ma rozwiązanie
y   f x  dx
dy  f x  dx
Przykład:
 dy   f x  dx
dy
 e 2t
dt
y '  e 2t
y 
y   f x  dx
y   e 2t dt
1 2t
e C
2
Całka jako suma
znajomość prędkości pozwala obliczyć drogę
przebytą przez punkt materialny
v 
ds
dt
t2
s   v dt
ds  v dt
całka oznaczona
t1
Dzielimy odstęp czasu t2 – t1 na N małych odstępów t1, t2, .... tN,
Drogę przebytą przez cząstkę liczymy jako sumę dróg s1, s2, ...sN,
przebytych w powyższych odstępach czasu si  vi ti
s  s1  s2    sN 
N
N
si   v i t i

i 1
i 1
Droga jest tym dokładniej policzona im mniejsze są odcinki czasu ti
N
t2
i 1
t1
s  lim  v i t i   v t  dt
ti  0
7
2015-10-03
Graficzna interpretacja całki
Rozważmy wykres zależności prędkości od czasu
vi
v
Przebytą drogę można
interpretować jako pole
powierzchni figury ograniczonej
si krzywą v(t) i prostymi t=t1 i t=t2
v(t)
s
t1
ti
t2
Iloczyn viti jest równy polu
powierzchni paska si a suma tych
t pasków równa jest polu figury
s
całka oznaczona
równa jest polu
pod krzywą
 si   vi ti
i
t2
i
s   v dt
t1
Równanie ruchu
Jeżeli znamy masę i siłę działającą na ciało to
II zasada Newtona określa tzw. równanie ruchu

  
F  F r , v , t 



dv
F  ma  m
dt


 
dr
v  v r , t  
dt


F
v   dt
m


r   v dt
Z równania ruchu można otrzymać prędkość i tor ciała w
dowolnej chwili czasu , odtworzyć ruch przeszły i przewidzieć
poruszanie się w przyszłości  charakter deterministyczny
8
2015-10-03
Całki ruchu
prędkość i przemieszczenie w ruch jednowymiarowy o a=const
a
dv
dt
dv  a dt
stałą C1 wyznaczamy z
warunku początkowego
v  a dt  at  C1
v 
dx
dt
dx  v dt
x   v dt 
 dv   a dt
v t  0  v 0
v  at  v0
czyli
v 0  C1
całkując obie
strony równania
 at  v  dt
0
całkując obie
strony równania
 a t dt  v 0  dt 
 dx   v dt
at 2
 v 0t  C 2
2
znając x0 – położenie w początkowej chwili czasu t0=0
x 0  x0  C2
czyli
x 
at 2
 v 0t  x0
2
praca siły zmiennej
analiza w jedn. wym.
siła zmienia się na odcinku xpocz, xkonc.
Wybieramy tak małe x, że siła F jest stała
Praca wykonana przez siłę F na odcinku xj
Wj  F j x
W   Wj   F j  x
Całkowita praca W - suma
Gdy szerokość odcinka x dąży do zera
W 
xkonc
 F x  dx
x pocz
W 
W przypadku trójwymiarowym:
rk


 F  dr
rp
W 
xk
yk
zk
xp
yp
zp
 Fx dx 
 Fy dy 
 F dz
z
9
2015-10-03
Moc
Szybkość z jaką siła wykonuje pracę, czyli pracę
wykonywaną w jednostce czasu nazywamy mocą
Pśr 
P 
W 
W
t
P 
 dr
 
dW
F
 F v
dt
dt
t2
 Pdt
dW
dt
moc chwilowa
przy stałej sile
jedn. 1 W = 1 J/s
znając moc można wyznaczyć pracę
t1
Pole sił
obszar przestrzeni,
w którym na ciało
umieszczone w każdym
jego punkcie działa


określona siła F  r , t 
10
2015-10-03
Definicja pola

Pole matematyczne
przestrzenny rozkład liczb (pole skalarne)
 rozkład wektora (pole wektorowe)


Pole fizyczne – przestrzenny rozkład
wielkości fizycznej
pola matematyczne służą do opisu
wielkości fizycznych
 pola fizyczne skalarne np. termiczne
 wektorowe - grawitacyjne

Geometria pola


pole przestrzenne
pole płaskie


skalarne – określone dla punktów płaszczyzny
wektorowe – wektory leżą w jednej
płaszczyźnie

pole centralne – kierunki wektorów

pola bezźródłowe - wirowe
przechodzą przez centrum (środek), a wartości
zależą od odległości
 dośrodkowe
 sferyczne
 kołowe
11
2015-10-03
Izopowierzchnie i linie pola
Izopowierzchniami nazywamy powierzchnie stałych
wartości funkcji pola (sił, natężeń)
Liniami pola wektorowego nazywamy linie
wyznaczające kierunek pola
pole jednorodne
pole centralne
pole niejednorodne
Strumień pola
Strumień wielkości wektorowej v przez powierzchnię S
jest równy sumie strumieni d przez elementy
powierzchni dS będące iloczynem składowej normalnej
wektora v przez pole powierzchni dS
   d
dS
dS

 
d   v  dS  v cos  dS
v
 
   v  dS
S
S
12
2015-10-03
v
dS
 vS
dS
v
 0
dS
o
v
60
 ½ v S
Rodzaje pól siłowych




pola stacjonarne (np. grawitacyjne)


F  f r ,t 


F  f r 


pola niestacjonarne (elektromagnetyczne) F  f r ,t 

pole potencjalne – jeśli istnieje funkcja V r , t , że
siłę można przedstawić w postaci
potencjał

 V V V 
skalarny
F  g rad V  
,
,

 x y z 
pole zachowawcze, gdy potencjał
skalarny nie

zależy od czasu V r   U r 

pole grawitacyjne

pole sprężystości

pole elektrostatyczne
dla zachowawczych pól siłowych
potencjałem skalarnym jest
energia potencjalna
13
2015-10-03
Podział pól siłowych

pola grawitacyjne


pola elektromagnetyczne



ładunki w spoczynku – pola elektryczne
ładunki w ruchu – pola magnetyczne
pola jądrowe


źródła i obiekty – ciała posiadające masę
źródła – cząstki jądrowe (elementarne)
podlegające oddziaływaniom silnym lub słabym
pola siły można opisać za pomocą
wektorowego pola natężeń


F
E 
m0

 F
E 
q0
Ciała próbne – słabe obiekty nie
zakłócające pola sił
Przykłady pól siłowych
pole
elektrostatyczne

FC

r
m
Q


F  k x

Fg
pole sprężyste
M
pole
magnetyczne
pole
grawitacyjne
14
2015-10-03
Zasady zachowania –
najbardziej
fundamentalne prawa
wyrażają stałość danej wielkości
fizycznej w trakcie określonych
procesów fizycznych
zasady zachowania: pędu, momentu
pędu, energii;
ładunku, liczby nukleonów, liczby
leptonowej
Prawo zachowania energii
mechanicznej

Energia mechaniczna układu jest sumą energii potencjalnej
i kinetycznej wszystkich jego składników
Emech  K + U

gdy układ jest izolowany od otoczenia i siła zachowawcza
wykonuje pracę WAB nad jednym z ciał układu to zachodzi
zmiana energię kinetycznej ciała w energię potencjalną układu
K  WAB

U  WAB
KB  K A=  UB  UA 
jeżeli wszystkie siły działające na cząstkę są zachowawcze,
to całkowita energia cząstki w każdym jej położeniu jest
wielkością stałą, zwaną całkowitą energią mechaniczną
K A + UA = KB + UB = const  Emech
15
2015-10-03
L1
y
Siły zachowawcze
Siły zachowawcze
 zależą tylko od położenia punktu
 mogą być reprezentowane przez funkcję
energii potencjalnej
r2
L3
L2
r1
0
x
r
 
U(r )   F  dr
r zer
Dla sił zachowawczych
 praca sił pomiędzy dwoma punktami nie zależy od wyboru
drogi, a tylko od położenia końcowego i początkowego punktu
 praca po drodze zamkniętej jest równa zero
 pole w którym działają siły zachowawcze nazywamy
polem zachowawczym
 przykłady pól zachowawczych:
• pole grawitacyjne
• pole elektrostatyczne
Zasada zachowania energii

jeżeli w układzie oprócz sił zachowawczych działa siła
niezachowawcza (rozpraszająca) np. siła tarcia, to zmiana
energii kinetycznej cząstek jest równa:
K  WAB  WAB (zach)  WAB (rozp)

korzystając z definicji energii potencjalnej otrzymujemy, że
praca sił rozpraszających jest <0 i równa zmianie Emech
WAB (rozp)  (KB  K A )  (UB  UA )  K  U  Emech


energia układu izolowanego może przekształcać się z jednej
postaci w inną, jednak energia całkowita w jej różnorodnych
formach nie może być ani stworzona z niczego, ani też
unicestwiona
całkowita energia układu izolowanego nie może się zmieniać
K  U  Ewew  0
bo
Ewew  WAB rozp
16
2015-10-03
Zasada zachowania pędu

całkowity pęd izolowanego i zamkniętego układu cząstek pozostaje
stały
(jeśli na układ cząstek nie działają siły zewnętrzne lub ich wypadkowa
jest równa zeru, to całkowity pęd układu nie ulga zmianie)



m1v1  m2v 2    mNv N 

N

miv i

i 1
 const
pęd początkowy jest równy pędowi końcowemu


ppocz  pkonc

jeśli wypadkowa sił zewnętrznych jest wzdłuż pewnej osi równa zeru,
to składowa pędu w tym kierunku nie ulega zmianie
px pocz  px konc
F 0 
dp
 0  p  const
dt
Przykład:
Zderzenie niesprężyste (idealne)
m1
V1
m2
V2
m1  m2
u1
Zasada zachowania pędu
Zasada zachowania energii
m1V1  m2V2  m1  m2   u1
m1V12 m2V22 m1  m2   u12


 E
2
2
2
u1 
m1v1  m2v 2
m1  m2
E
strata energii
17
2015-10-03
Momentu pędu

moment pędu (kręt) cząstki o pędzie p i znajdującej się w
punkcie określonym wektorem wodzącym r wynosi:
 
  
L = r mv sin  rp
L = r  m v  r p

wektor momentu pędu jest prostopadły do płaszczyzny
wyznaczonej przez p i r przedstawiamy go w postaci:
z

L



i
j k

L x
y z 
p x p y pz



 i ypz  zpy   jzpx  xpz   k xpy  ypx 

r

r

p
y

x
Zachowanie momentu pędu
  
T  r F

moment siły

zmiana momentu pędu w czasie
 

dL dr  p      
=
 v  p  r F = r F = T



dt
dt
0

jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych
działających na układ jest równy zeru, to
całkowity moment pędu tego układu jest stały
  
T  r F  0

L
 = const
T=0 gdy: r=0, lub F=0, lub F || r
18
2015-10-03
Obracający się dysk
rozważmy ciało obracające się z prędkością w
wokół osi przechodzącej przez środek masy ciała
Dzielimy ciało na małe elementy o masie mj


L =  rjmjv j   rjmj rjw    rj2mj w
gdzie
L  Iw
I=
 rj2
mj
I =  r2dm
nazywamy momentem bezwładności
L
Ipocz wpocz  Ikonc wkonc
vj


 dL
dw

T 
=I
 I
dt
dt
m j
K 
1 2
Iw
2
Student na obrotowym stołku


L pocz  L konc
Ipocz w pocz  Ikonc wkonc
L  Iw
moment
bezwładności
prędkość
kątowa
19
2015-10-03
Precesja pod wpływem siły
ciężkości
Na obracające się koło o
momencie pędu L działa moment
siły T powodujący zmianę L
  
T  r F


 

T  r  mg

R  mg
 
dL
L  T t
T 
dt  

L '  L  L

moment siły, tak więc i zmiana
momentu pędu jest skierowana
w naszą stronę w płaszczyźnie
poziomej powodując precesję

L

T
L
Analogia ruchu
postępowego i obrotowego
Ruch
postępowy
Ruch
obrotowy
Wielkości
m, v, a
I, w, 
Energia
kinetyczna
mv2/2
Iw2/2
II Zasada
dynamiki
F=ma
F=dp/dt
T=I
T=dL/dt
pęd, moment
pędu
p=mv
L=Iw
20