2. FUNKCJE FALOWE, OBSERWABLE I WARTOŚCI OCZEKIWANE

2. FUNKCJE FALOWE, OBSERWABLE I WARTOŚCI OCZEKIWANE
2.1. Zagadnienia fizyczne
Położenie i pęd cząstki swobodnej, paczka falowa, jednoczesna mierzalność wielkości
fizycznych i zasada nieokreśloności (nieoznaczoności) Heisenberga
2.2. Zagadnienia matematyczne
Operatory liniowe i hermitowskie, wartości oczekiwane operatorów, funkcje całkowalne z
kwadratem, norma funkcji, paczka falowa, wariancja zmiennej losowej (dyspersja),
podstawowe metody obliczania całek
Zad. 2.1.
Wykazać, że jeżeli wielkość mechaniczną A opisujemy operatorem hermitowskim, to
a) jej wartość oczekiwana (średnia) jest rzeczywista
2
b) wartość oczekiwana kwadratu tej wielkości A2   A dx
Zad. 2.2.
W stanie opisanym funkcją falową  (x ) wartości średnie położenia i pędu wynoszą
 i

odpowiednio x , p . Udowodnić, że funkcja falowa  ( x )  exp  p x  ( x  x )
 

opisuje stan, w którym wartości średnie położenia i pędu są równe zeru.
Zad. 2.3.
 x2

W chwili t  0 paczka falowa opisana jest funkcją  ( x )  A exp 
 ik0 x  .
 2a 2

Znaleźć:
a) A z warunku unormowania
b) średnie położenie i średni pęd cząstki w tym stanie
2
2
c) dyspersję położenia  2 ( x )  x 2  x i pędu  2 ( p )  p 2  p oraz relację
nieokreśloności dla tych wielkości
Zad. 2.4.
Obliczyć wartość średnią pędu px w stanie własnym operatora energii H 
px2
 V ( x) ,
2m
gdzie V (x ) jest dowolnym potencjałem.
Wskazówka: Obliczyć najpierw komutator H , x  .
Zad. 2.5.
Udowodnić, że w stanie własnym energii dyspersja pędu dana jest wzorem  2 ( p )  2m T ,
gdzie T oznacza operator energii kinetycznej
Zad. 2.6.
Operatory samosprzężone A i B spełniają kanoniczną relację komutacyjną A, B  i .
Wykazać, że operatory te nie mają wektorów własnych w dziedzinie, na której określony jest
komutator.