TRm Vp ⋅⋅=⋅ xx

TERMODYNAMIKA
GAZY DOSKONAŁE I PÓŁDOSKONAŁE
Prawo Boyle’a i Mariotte’a
Prawo Gay-Lussaca
p ⋅ V = const, gdy T = const,
V
T
= const, gdy p = const,
Równanie stanu gazu doskonałego i półdoskonałego
p ⋅ v = Ri ⋅ T, gdzie:
p – ciśnienie bezwzględne, Pa,
v – objętość właściwa, m3/kg,
1 V
= , gdzie ρ - gęstość, kg/m3
v=
ρ m
Ri – indywidualna stała gazowa, J
,
kg ⋅ K
T – temperatura, K.
V – objętość, m3,
m – masa, kg.
p ⋅ V = m ⋅ Ri ⋅ T, gdzie:
p ⋅ V = n ⋅ (MR) ⋅ T, gdzie:
n – ilość moli, kmol,
(MR) – uniwersalna stała gazowa, J
kmol ⋅ K
p ⋅ V& = m& ⋅ Ri ⋅ T , gdzie:
V& -strumień objętości, m3/s
m& - strumień masy, kg/s
m = n ⋅ M, gdzie M – masa cząsteczkowa związku, kg/kmol
Strumienie masy i objętości
Strumień objętości: V& = S ⋅ w , gdzie:
S – pole przekroju, m2,
w – średnia prędkość, m/s.
Strumień masy: m& = V& ⋅ ρ = S ⋅ w ⋅ ρ
Uniwersalna stała gazowa: (MR)= 8315 J
kmol ⋅ K
(MR ) , J
Indywidualna stała gazowa związku: Ri =
kg ⋅ K
Mi
Warunki normalne: pn = 101325 Pa, tn = 0oC
1
Roztwory
Udział kilomolowy (molowy): z i =
ni
, przy czym
n
k
∑n
i =1
k
= n oraz ∑ z i = 1 , gdzie:
i
i =1
ni - ilość moli danego składnika r-ru
n - ilość moli całego r-ru
Udział kilogramowy (masowy): g i =
mi
, przy czym
m
mi - masa danego składnika r-ru
m - masa całego r-ru
V 
Udział objętościowy: ri =  i  , przy czym
 V  p ,T
k
k
i =1
i =1
∑ mi = m oraz ∑ g i = 1 , gdzie:
k
k
i =1
i =1
∑ Vi = V oraz ∑ ri = 1 , gdzie:
Vi - objętość danego składnika r-ru
V - objętość całego r-ru
ri = z i
ZaleŜność między udziałami masowymi a molowymi i objętościowymi:
M
M
g i = i ⋅ z i = i ⋅ ri , gdzie: Mz – zastępcza masa cząsteczkowa roztworu:
Mz
Mz
k
M z = ∑ (z i ⋅ M i ) =
i =1
1
, kg
, gdzie:
kmol
gi
∑
i =1 M i
k
M i - masa molowa danego składnika r-ru
k
Zastępcza stała gazowa roztworu: R z = ∑ ( g i ⋅ Ri ),
i =1
J
kg ⋅ K
, gdzie:
Ri - stała gazowa danego składnika r-ru
Rz =
(MR ) ,
Mz
J
kg ⋅ K
; R z ⋅ M z = 8315 J
kmol ⋅ K
k
Gęstość roztworu gazów: ρ = ∑ (ri ⋅ ρ i ), kg
i =1
m3
, gdzie:
ρ i - gęstość danego składnika r-ru
Prawo Daltona: pi = p ⋅ ri = p ⋅ z i , gdzie:
pi - ciśnienie cząstkowe składnika r-ru
p - ciśnienie bezwzględne całego r-ru
k
∑p
i =1
i
=p
2
PRACA ABSOLUTNA, UśYTECZNA, TECHNICZNA
Praca absolutna (bezwzględna, objętościowa); gdy 0
1
, 2
Praca uŜyteczna; gdy 0
, gdzie:
- ciśnienie otoczenia,
- praca kompresji otoczenia.
Praca techniczna
, - dla przemian nieliniowych
, - dla przemian liniowych
, , gdzie N- moc silnika, W
CIEPŁO WŁAŚCIWE, CIEPŁO PRZEMIANY
Ciała o stałym cieple właściwym
Kilogramowe ciepło właściwe (kilogramowa właściwa pojemność cieplna)
.
c – ilość ciepła potrzebna do ogrzania 1 kg ciała o 1 stopień;
Do ogrzania m kilogramów ciała o ∆t (∆T) potrzeba ciepła:
·
# · $% · &" &! lub !" # · $% · '" '! ,
a takŜe !" # · $( · &" &! lub !" # · $( · '" '! ,
gdzie: cp – kilogramowe ciepło właściwe pod stałym ciśnieniem, ·
!"
J
J
cv – kilogramowe ciepło właściwe w stałej objętości, ·
ti – temperatura, °C
Ti – temperatura, K.
cp – cv = R; cp=(Mcp):M
Kilomolowe ciepło właściwe (kilomolowa właściwa pojemność cieplna)
(Mc) – ilość ciepła potrzebna do ogrzania 1 kmol ciała o 1 stopień; )*+·.
Do ogrzania n kilomoli ciała o ∆t (∆T) potrzeba ciepła:
, · -$% · &" &! lub !" , · -$% · '" '! , J
a takŜe
!" , · -$( · &" &! lub !" , · -$( · '" '! , J
gdzie: Mcp – kilomolowe ciepło właściwe pod stałym ciśnieniem, )*+·
!"
Mcv – kilomolowe ciepło właściwe w stałej objętości, )*+·
ti – temperatura, °C
Ti – temperatura, K.
3
(Mcp) – (Mcv)= MR=8315
.
/012·3
Ciała o zmiennym cieple właściwym
Średnie kilogramowe ciepło właściwe gazów półdoskonałych
w zakresie temperatur od T1 do T2 (K):
w zakresie temperatur od t1 do t2 (°C):
4 &"
4 &!
4$|&" $|6 ·&"$|6 ·&!,
&!
&" &!
4 '" ·'" 4$|'! ·'!
6
4$|'" $|6
'!
·
'" '!
,
·
(w ten sam sposób moŜna obliczyć zarówno średnie kilogramowe ciepło właściwe w stałej
objętości cv jak i średnie kilogramowe ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu cp).
Średnie kilomolowe ciepło właściwe gazów półdoskonałych
w zakresie temperatur od t1 do t2 (°C):
w zakresie temperatur od T1 do T2 (K):
4
&"
4
&!
4-$|&" -$|6 ·&"-$|6 ·&!,
&!
&" &!
4
'"
4-$|'" -$|6
'!
·
'
·'" -4$|6! ·'!
'" '!
(w ten sam sposób moŜna obliczyć zarówno średnie kilomolowe ciepło właściwe w stałej
objętości (Mcv) jak i średnie kilomolowe ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu (Mcp)).
·
Do ogrzania m kilogramów ciała o ∆t (∆T) potrzeba ciepła:
a takŜe
!"
!"
&
# · 4$|&"! · &" &! lub
&
&
# · 4$| " · &" 4$| ! · &! lub
!"
6
6
&
, · 4-$|&"! · &" &! lub
&
&
, · 74-$| " · &" 4-$| ! · &! 8 lub
!"
6
6
!"
!"
!"
!"
'
# · 4$|'"! · '" '! , J
'
'
# · 4$| " · '" 4$| ! · '! ,
6
6
J
'
, · 4-$|'"! · '" '! , J
'
'
, · 74-$| " · '" 4-$| ! · '! 8,
6
4-$% 9& – 4-$( |& = 8315 lub 4-$% 9' – 4-$( |' = 8315 6
6
)*+⋅
)*+⋅
6
6
J
6
Ciepło właściwe roztworu gazów
Kilogramowe ciepło właściwe roztworu gazów:
#
$ : ;< · $< ,
<=!
J
kg · K
gdzie:
BC – udziały masowe składników roztworu.
DC – kilogramowe ciepło właściwe składnika roztworu
Kilomolowe ciepło właściwe roztworu gazów:
#
-$ : E< · -$< ,
<=!
J
kmol · K
gdzie:
IC – udziały molowe składników roztworu.
JDC – kilomolowe ciepło właściwe składnika roztworu
4
PIERWSZA ZASADA TERMODYNAMIKI
Energia wewnętrzna
U = m ⋅ u, J,
gdzie:
m – masa, kg,
u – energia wewnętrzna właściwa, J/kg
Analogicznie:
U = n ⋅ (Mu)
Dla gazów doskonałych moŜna zapisać zaleŜności:
u = cv ⋅ T,
(Mu) = (Mcv) ⋅ T
Stąd:
U = m ⋅ cv ⋅ T = n⋅ (Mcv) ⋅ T
Dla gazów półdoskonałych – analogicznie:
u = 4$( |&6 ⋅ t lub u = 4$( |'6 ⋅ T
(Mu) =4-$( |&6 ⋅ t lub (Mu) =4-$( |'6 ⋅ T
U = m ⋅ 4$( |&6 ⋅ t = n⋅ 4-$( |&6 ⋅ t lub U = m ⋅ 4$( |'6 ⋅ T = n⋅ 4-$( |'6 ⋅ T
Pierwsza zasada termodynamiki DLA SYSTEMÓW ZAMKNIĘTYCH – pierwsza
postać równania pierwszej zasady termodynamiki:
Q = ∆U + L1-2, J
gdzie ∆U- przyrost energii wewnętrznej, ∆U=U2-U1
Entalpia – suma energii wewnętrznej i energii przetłaczania (pracy przetłaczania)
I = U + p ⋅ V,
J
Entalpia właściwa (entalpia 1 kg czynnika): i = u + p ⋅ v, J/kg
Entalpia gazów doskonałych
i = cp ⋅ T,
poniewaŜ cv + R = cp,
i = (cv + R) ⋅ T
(Mi) = (Mcp) ⋅ T.
I = m ⋅ cp ⋅ T = n ⋅ (Mcp) ⋅ T, J
5
Entalpia gazów półdoskonałych
i = 4$% 9 ⋅ t lub i = 4$% 9 ⋅ T
6
6
i = 4$( |&6 K⋅ t, lub i = 4$( |'6 K⋅ T,
&
'
(Mi) = 4-$% 9 ⋅ t lub (Mi) = 4-$% 9 ⋅ T
&
'
6
6
&
&
'
'
I = m ⋅ 4$% 9 ⋅ t = n ⋅ 4-$% 9 ⋅ t lub I = m ⋅ 4$% 9 ⋅ T = n ⋅ 4-$% 9 ⋅ T, J
6
6
6
6
Energia dopływająca do układu lub odpływająca z układu wraz ze strumieniem czynnika
(np. rurociągiem) jest sumą entalpii, energii potencjalnej, kinetycznej i chemicznej czynnika.
Jeśli prędkość czynnika w<40 m/s oraz wysokość h<100 m i nie zachodzi reakcja chemiczna,
to moŜna zapisać:
Ed = I = m i = n ⋅ (Mi)
Pierwsza zasada termodynamiki dla SYSTEMÓW OTWARTYCH – druga postać
równania pierwszej zasady termodynamiki – bilans maszyny przepływowej:
Q = ∆I + Lt 1-2
gdzie ∆I- przyrost entalpii, ∆I=I2-I1
PRZEMIANY ODWRACALNE GAZÓW DOSKONAŁYCH
DL DP M
JDL N
NM
N
Q
RS
RT
ORS
JDP OM
N
NOM
N
ORT
Przemiana izobaryczna, p = const.
Z prawa Gay-Lussaca:
Praca bezwzględna:
Praca techniczna:
U U
⋅ , J
0
Ciepło przemiany izobarycznej (dla gazów doskonałych - o stałej pojemności cieplnej)
wynosi:
V W · DP · U U X · JDP · U U , J
V ∆Z ,
J
6
Przemiana izochoryczna, V = const.
U
U
Prawo Charlesa:
Praca bezwzględna:
0
Praca techniczna:
· , J
Ciepło przemiany izochorycznej (dla gazów doskonałych o stałej pojemności cieplnej)
wynosi:
V Δ\ , J
V W · DL · U U X · JDL · U U ,
J
Przemiana izotermiczna, t = const.
Z prawa Boyle’a i Mariotte’a:
Praca bezwzględna:
· · · · ]X
Praca techniczna:
· · ]X
Ciepło przemiany izotermicznej (dla gazów doskonałych o stałej pojemności cieplnej)
wynosi:
V Δ\ , J,
gdzie Δ\ 0, bo Δ^ 0.
Przemiana adiabatyczna, (przemiana izentropowa), Q1-2 = 0.
Przemiana izentropowa jest przemianą adiabatyczną, gdyŜ jej zewnętrzne ciepło przemiany
jest takŜe równe zeru (Q=0). Dodatkowo w przypadku izentropy entropia przemiany jest
niezmienna Δ` 0. Nie oznacza to, Ŝe kaŜda adiabata jest izentropą!
Równanie Poissona:
gdzie Q to wykładnik adiabaty.
· N DaX`^,
Dla adiabaty słuszne są następujące zaleŜności:
N
b c ,
U·
N
DaX`^
d
N U
b c
,
U
7
N
N
U
Praca bezwzględna:
DaX`^
b c
d
N
N
· · g1 b c
Q1
Praca techniczna:
Z Z ,
Q · Przemiana politropowa
· i DaX`^,
gdzie: j - wykładnik politropy.
Dla politropy słuszne są następujące zaleŜności:
i
b c ,
U·
i
DaX`^
U
.
U
d
i
i
b c
h
i U
b c
,
U
U
.
U
1
· · · j1
· U
· b1 c
j1
U
· i
· e1 b c f
j1
Praca techniczna:
\ \
W · DL · U U 1
· · · Q1
· U
· b1 c
Q1
U
· N
· e1 b c f
Q1
Praca bezwzględna:
N
N
· · g1 b c
j1
i
i
h
j · .
8
Ciepło przemiany politropowej wynosi:
V W · D · U U X · JD · U U .
PoniewaŜ podczas przemiany politropowej zmienia się najczęściej objętość i ciśnienie
czynnika, symbole c i (Mc) oznaczają ciepło właściwe politropy, obliczane według
następujących zaleŜności:
k
jQ
D DL DL ·
,
j1
j1
jQ
JD JDL ·
.
j1
PARA WODNA
Parametry pary nasyconej mokrej
Stopień suchości pary nasyconej mokrej:
#′′
#′′
l
′ ′′ , gdzie
#
# m#
m’’- ilość pary nasyconej suchej, kg
m’- ilość cieczy (w punkcie pęcherzyków), kg
m – ilość pary nasyconej mokrej, kg
Objętość właściwa pary nasyconej mokrej o stopniu suchości x:
vx = v’ + x⋅(v” – v’), m3/kg.
Entalpia właściwa pary nasyconej mokrej o stopniu suchości x:
ix = i’ + x⋅(i” – i’), kJ/kg
Dla wody o temp<150°C moŜna przyjąć, Ŝe <n o p, !q · &.
Entropia właściwa pary nasyconej mokrej o stopniu suchości x:
sx = s’ + x⋅(s” – s’), kJ/(kg K)
Energia wewnętrzna właściwa pary nasyconej mokrej o stopniu suchości x:
ux = u’ + x⋅(u” – u’)
ux = ix – p⋅vx., kJ/kg
9
PRZEMIANY CHARAKTERYSTYCZNE PARY WODNEJ
Przemiana izobaryczna, p=const.
Praca absolutna przemiany
Praca techniczna przemiany
Ciepło przemiany
gdzie:
∆Z Z Z s s W
∆\ \ \ t t W
∆` ` `
Przemiana izochoryczna, v=const.
Praca absolutna przemiany
Praca techniczna przemiany
Ciepło przemiany
Przemiana izotermiczna, t=const.
Ciepło przemiany
r r W,
0,
V ∆Z ,
V ∆\ ,
V U∆` · W,
J
J
J
J
J
aktualne równieŜ
dla przemian poniŜej
=0,
r W,
V ∆Z ,
V ∆\ ,
V ∆Z ,
V ∆\ ,
V U∆` · W,
J
J
J
J
J
J
J
Przemiana adiabatyczna odwracalna = przemiana izentropowa, Q1-2=0, s=const.
\ \u ,
Praca absolutna przemiany
Praca techniczna przemiany
Z Zu ,
J
J
Przemiana adiabatyczna nieodwracalna, Q1-2=0.
Praca absolutna przemiany
\ \ ,
Z Z ,
Praca techniczna przemiany
J
J
Sprawność wewnętrzna maszyny przepływowej
v
Cw Cx
Cw Cxy
.
10