Stan odkształcenia

A. Zaborski, Stan odkształcenia
Stan odkształcenia
Współrz dne materialne i przestrzenne
Wprowadzamy globalny układ odniesienia w postaci
konfiguracja
kartezja skiego układu współrz dnych i wyró niamy
pocz tkowa konfiguracja
2 stany: konfiguracj pierwotn ξ (pocz tkow ,
(ξ i ) aktualna
nieobci
on ) oraz konfiguracj ciała aktualn x
u (x )
ξ
i
(ko cow , odkształcon ). Deformacja o rodka pod
z
x
wzgl dem geometrycznym zostanie okre lona przez
znajomo zale no ci:
y
u i = xi − ξ i ,
x
gdzie ui = ui (u, v, w) jest wektorem przemieszczenia
z konfiguracji pierwotnej do aktualnej. Przemieszczenie jest to ró nica (geometryczna)
wektorów wodz cych punktu w konfiguracji ko cowej i pocz tkowej.
Odkształceniem nazywamy zmian kształtu o rodka pod wpływem obci e . Deformacja
ciała jest poj ciem szerszym, obejmuj cym obok odkształcenia tak e ruch sztywny o rodka.
Jako konfiguracj odniesienia mo emy przyj zarówno konfiguracj pierwotn jak i aktualn
(ale tak e i pewn dowoln konfiguracj po redni ). Opis mo emy prowadzi dwojako:
− traktuj c współrz dne ξα jako niezale ne identyfikujemy w przestrzeni poło enie cz stek
materialnych, interesuje nas ruch okre lonego punktu ciała - s to tzw. współrz dne
Lagrange’a albo inaczej materialne,
− traktuj c współrz dne xi jako niezale ne identyfikujemy w przestrzeni poło enie punktów
przestrzennych, interesuje nas co dzieje si w okre lonym punkcie przestrzeni - s to tzw.
współrz dne Eulera albo inaczej przestrzenne.
W mechanice ciała stałego u ywane s najcz ciej współrz dne materialne (okre la si
poło enie wybranego punktu materialnego), w hydrodynamice - przestrzenne (dla ustalonego
punktu przestrzeni okre la si pr dko przepływu, ci nienie itp.).
Tensory odkształce sko czonych
Pochodne wzgl dem współrz dnych materialnych i przestrzennych wyra
∂ xi
= xi ,α = u i ,α + δ iα , ξ α ,i = δ αi − uα ,i ,
∂ξ α
si odpowiednio:
ich ró niczki zupełne odpowiednio:
dx i = x i ,α dξ α , dξ α = ξ α ,i dx i ,
gdzie wielko ci xi ,α ,ξα ,i s tzw. gradientami deformacji, stanowi cymi podstawow miar
deformacji ciała.
Kwadraty długo ci elementarnego odcinka w konfiguracji pierwotnej i aktualnej zapiszemy w
obu układach współrz dnych jako:
ds 02 = dξ α dξ α = dξ α dξ β δ αβ = ξ α ,i dx i ξ β , j dx j δ αβ , ds 2 = dx i dx i = = x i ,α dξ α x j , β dξ β δ ij .
Ich ró nica, a wi c kwadrat zmiany długo ci elementarnego odcinka, wynosi:
ds 2 − ds02 = dxi dxi − dξα dξα =
(xi,α x j,β δ ij − δ αβ )dξα dξ β
(δ i j − ξα ,iξ β , jδ αβ )dxi dx j
Zdefiniujmy odpowiednio tensor odkształcenia lagran owski Eαβ i eulerowski eij , jako:
Eαβ :=
(
)
1
xi ,α x j , β δ ij − δ αβ ,
2
ei j :=
(
)
1
δ i j − ξα ,i ξ β , j δ αβ .
2
Wyra aj c zmienne niezale ne w powy szych definicjach poprzez współrz dne
przemieszczenia, otrzymujemy:
A. Zaborski, Stan odkształcenia
[
(
]
)
(
)
1
(u i,α + δ iα ) u j ,β + δ jβ δ ij − δ αβ = = 12 uα ,β + u β ,α + u k ,α u k ,β ,
2
1
1
ei j = δ i j − (δ αi − uα ,i ) δ βj − u β , j δ αβ = = u i , j + u j ,i − uα ,i uα , j .
2
2
Eαβ =
[
) ]
(
(
)
Zało enie o małych pochodnych przemieszcze
Typowe warto ci pochodnych w konstrukcjach budowlanych to 10-6÷10-4. Przyjmujemy
zatem zało enie o małych pochodnych przemieszcze :
∂ ui
∂ uα
,
<< 1 .
∂ xj
∂ξβ
W wyniku tego zało enia, znikaj ostatnie człony tensorów odkształce , zawieraj ce
nieliniowo . Ponadto, dla małych przemieszcze zanika ró nica mi dzy konfiguracj
pierwotn i odkształcon .
Dla naszych potrzeb nie jest potrzebne rozró nienie konfiguracji ciała, je li tylko b dziemy
zdawali sobie spraw z uproszczonego sposobu rozumowania, w którym uto samiamy
wszystkie wirtualne konfiguracje ciała (pocz tkow , po redni i ko cow .)
Tensor Cauchy’ego
Uto samiaj c współrz dne materialne i przestrzenne dochodzimy do definicji tensora
infinitezymalnych odkształce Cauchy’ego:
ε i j := 12 (u i , j + u j ,i ) .
W zapisie in ynierskim powy sze zwi zki, zwane równaniami Cauchy’ego, maj posta :
ε xx =
∂u
∂v
∂w
,ε y y =
,ε z z =
,ε x y =
∂x
∂y
∂z
1
2
∂u ∂v
+
,ε x z =
∂y ∂x
∂u ∂w
+
,ε y z =
∂z ∂x
1
2
1
2
∂v ∂w
+
∂z ∂y
Interpretacja składowych tensora odkształcenia
Rozpatrzmy 3 szczególne przypadki stanu odkształcenia:
y
u
u+
∂u
dx
∂x
y
∂u
∂y
∂u
∂y
y
∂v
∂x
∂v
∂x
x
x
dx
x
1. Wydłu enie wzgl dne. Dla pierwszego przypadku obliczmy wydłu enie wzgl dne jako
stosunek wydłu enia do długo ci całkowitej w kierunku osi x. Otrzymujemy:
∂u dx ∂u
=
= εx .
∂x dx ∂x
Odkształcenia na przek tnej głównej przedstawiaj wzgl dn zmian długo ci (wydłu enie
b d skrócenie wzgl dne) odcinka równoległego do osi układu współrz dnych.
2. Zmiana postaci elementarnej powierzchni. Obliczmy połow zmiany k ta prostego, jak
wida bezpo rednio z rysunku:
1
2
∂u ∂v
+
= ε xy
∂y ∂x
Tzw. odkształcenie postaciowe przedstawia połow zmiany k ta prostego.
3. Sztywny obrót. Mamy:
∂u
∂v
=−
∂y
∂x
ε xy ≡ 0
ε i j ≡ 0.
A. Zaborski, Stan odkształcenia
Znikanie tensora odkształcenia jest WKW ruchu ciała sztywnego.
Na podstawie powy szych rozwa a mo emy powiedzie , e współrz dne tensora
odkształcenia na przek tnej głównej przedstawiaj wydłu enia wzgl dne odcinków
równoległych do odpowiednich osi układu współrz dnych, a współrz dne poza przek tn —
odkształcenia postaciowe, czyli połowy zmiany k tów o jakie zmieniaj si k ty proste
mi dzy odcinkami równoległymi do odpowiednich osi układu współrz dnych. Odkształcenia
s bezwymiarowe.