Materiały pomocnicze do zad. 6 (Manipulator 2D) 1 Wyznaczanie

Materiały pomocnicze do zad. 6 (Manipulator 2D)
1
Wyznaczanie współrz˛ednych przegubów – metoda ogólna
Wyznaczanie współrz˛ednych przegubów można zrealizować łacz
˛ ac
˛ z każdym z przegubów i
efektorem lokalny układ współrz˛ednych. Przeguby znajduja˛ si˛e w poczatku
˛
takich układów
Rysunek 1: Lokalne układy współrz˛ednych zwiazane
˛
z każdym z przegubów.
współrz˛ednych, zaś ich oś OX jest współliniowa z wcześniejszym ogniwem (patrz rys. ??)
Dzi˛eki temu i-ty przegub (oznaczony jako punkt Pi ) w swoim lokalnym układzie współrz˛ednych
Xi OYi ma współrz˛edne Pii = (0, 0). Zastosowane oznaczenie Pii odzwierciedla fakt, że sa˛ to
współrz˛edne punktu Pi w układzie współrz˛ednych i-tego przegubu. To samo dotyczy efektora.
Naszym zadaniem jest wyliczenie współrz˛ednych poszczególnych punktów w układzie globalnym XO OYO . W przedstawionym przykładzie można to zrealizować dokonujac
˛ nast˛epuja˛
cych transformacji:
P00 = [0 0]T ,
P10 = R(q0 ) · (P11 + T1 ),
P20 = R(q0 ) · R(q1 ) · (P22 + T2 ) + T1 ,
P30 = R(q0 ) · R(q1 ) · R(q2 ) · (P33 + T3 ) + T2 + T1 .
(1)
Współrz˛edne punktu we wzorze przedstawionym powyżej reprezentowane sa˛ jako macierz jednokolumnowa. Natomiast Ti to wektory translacji reprezentowane przez macierz jednokolumnowa˛ [li 0]T , gdzie li jest długościa˛ i-tego ogniwa. R(qi ) jest macierza˛ rotacji w współczynnikach postaci:
cos qi − sin qi
R(qi ) =
(2)
sin qi cos qi
Należy zauważyć, że wyliczanie współrz˛ednych przegubu np. P2 jest ciagiem
˛
transformacji
do układów współrz˛ednych kolejnych przegubów reprezentowanych przez punkty P1 i P0 . Podobnie dla P3 jest to ciag
˛ transformacji do układów współrz˛ednych zwiazanych
˛
z przegubami
1
reprezentowanych przez punkty P2 , P1 oraz P0 . Tak wi˛ec wyliczenie współrz˛ednych przegubu
P3 można byłoby rozpisać nast˛epujaco:
˛
P32 = R(q2 ) · (P33 + T3 ),
P31 = R(q1 ) · (P32 + T2 ),
P30 = R(q0 ) · (P31 + T1 ).
gdzie P33 = [0 0]T
(3)
To spostrzeżenie można wykorzystać przy implementacji rozwiazania
˛
zadania. Przedstawiona
metoda reprezentuje ogólne podejście, które dobrze sprawdza si˛e w złożonych przestrzennych
konfiguracjach manipulatora. Dla przypadku planarnego (takiego z jakim mamy do czynienia
w tym zadaniu) możliwe jest stworzenie prostszej metody.
2