Wstep do astrofizyki I

Wst˛ep do astrofizyki I
Wykład 4
Tomasz Kwiatkowski
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
Wydział Fizyki
Instytut Obserwatorium Astronomiczne
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 4
1/14
Plan wykładu
Dualizm korpuskularno-falowy
Fale materii
Interferencja elektronu
Fale elektronu w atomie
Interpretacja fali elektronu
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Mechanika kwantowa
Model Schrödingera
Efekt Zeemana
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 4
2/14
Problemy modelu atomy Bohra
Model Bohra był półklasyczny: L było skwantowane, jednak
elektron nadal kra˛żył po klasycznej, kołowej orbicie wokół
protonu
Trudno było wyjaśnić z czego wynikaja˛ postulaty Bohra
Wartości momentu p˛edu L różniły si˛e troch˛e od obserwowanych
Konieczny było ostatni krok do pełnej kwantyzacji mechaniki
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 4
3/14
Fale materii
1924 Francuski ksia˛ż˛e Luis de Broglie pyta: czy jeśli światło,
które uważano za fal˛e, może zachowywać si˛e jak czastka,
˛
czastki
˛
materii nie moga˛ zachowywać si˛e jak fale?
Fotony maja˛ energi˛e E i p˛ed p, zwiazane
˛
z nimi fale świetlne
maja˛ cz˛estotliwość ν i długość λ wynikajace
˛ ze wzorów:
ν=
E
h
,λ =
h
p
De Broglie zaproponował, by z każda˛ czastk
˛ a˛ materialna˛ o
energii E i p˛edzie p zwiazać
˛ fal˛e materii o cz˛estości ν i długości
λ
Prowadziło to do dualizmu korpuskularno-falowego
Potwierdzeniem tej hipotezy jest np. interferecja elektronu
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 4
4/14
Interferencja elektronu
Elektrony wypuszczane sa˛ pojedyńczo w kierunku 2 szczelin
W przypadku czastek
˛
obraz powinien zawierać dwa paski
Pra˛żki interferencyjne pokazuja,˛ że pojedynczy elektron jest
fala˛
(lewy) http://www.blacklightpower.com/theory/DoubleSlit/Fig_37-1_Two_Slit_Particles.jpg
(prawy) http://www.hitachi.com/rd/image/fig2.gif
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 4
5/14
Przykład: fale materii elektronu i człowieka
Swobodny elektron o masie me = 9.1 × 10−31 kg i pr˛edkości
ve = 3 × 106 m s−1 ma długość fali
λe =
h
h
=
= 2.4 × 10−10 m
p
me v
porównywalna˛ z rozmiarami atomu
λe < niż długość światła widzialnego (ok. 5 × 10−7 m )
Długość fali biegnacego
˛
człowieka (mcz = 70 kg, vcz = 3 m s−1 )
wynosi
h
h
λcz = =
= 3.2 × 10−36 m
p
mcz v
Nie znamy obiektów o rozmiarach porównywalnych z λcz , na
których mogłoby dojść do interferencji biegnacego
˛
człowieka
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 4
6/14
Fale stojace
˛ elektronu w atomie wodoru
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 4
7/14
Fale prawdopodobieństwa
W czasie interferencji fala elektronu przechodziła jednocześnie
przez obie szczeliny
Fala nie wskazuje, gdzie jest elektron, tylko jakie jest
prawdopodobieństwo jego znalezienia w danym miejscu
Jeśli amplituda fali Ψ, to prawdopodobieństwo Ψ2
W obrazie interferencyjnym w ciemnych miejscach amplituda
wypadkowa była zerowa (ψwyp = 0), zatem
2 ) też było zerowe
prawodpodobieństwo (ψwyp
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 4
8/14
Nieoznaczoność p˛edu/położenia elektronu
Rys. a) Fala prawodpodobieństwa Ψ o dług. λ ma p˛ed p = h/λ
Ψ2 ma równoodległe maksima w zakresie x = ±∞ wi˛ec
położenie czastki
˛
x jest całkowicie nieokreślone
Znajac
˛ dokładnie p˛ed, nie można określić położenia!
Rys. b) Wyznaczajac
˛ w przybliżeniu położenie x czastki
˛
odpowiadajace tej fali pokazujemy, gdzie jest jej pakiet falowy
Pakiet ten składa si˛e z superpozycji wielu sinusoid o różnych λ,
które zeruja˛ si˛e wsz˛edzie poza obszarem tuż koło x
Różne λ to różne p˛edy
Znajac
˛ dokładnie położenie, nie można określić p˛edu!
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 4
9/14
Żródło: http://wps.aw.com/aw_carroll_ostlie_astro_2e/48/12319/3153834.cw/index.html
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Werner Heisenberg:
∆x ∆p ≥
~
2
(1)
~
2
(2)
Podobnie dla energii i czasu:
∆E ∆t ≥
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 4
10/14
Atom wodoru w uj˛eciu kwantowym
Jak zasada nieoznaczoności wpływa na obraz atomu wodoru
Bohra?
Elektron nie porusza si˛e po ścisłej orbicie, jeśli jego p˛ed jest
okreslony, wówczas położenie jest rozmyte
Orbity zamieniaja˛ si˛e w chmury prawdopodobieństwa
Żródło: http://wps.aw.com/aw_carroll_ostlie_astro_2e/48/12319/3153834.cw/index.html
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 4
11/14
Mechanika kwantowa
Edwin Schrödinger zapisał ogólne równanie falowe dla
elektronów i podał jego rozwiazanie
˛
w postaci fal stojacych
˛
w
atomie wodoru
Otrzymał te same orbity jak w modelu Bohra, jednak na każdym
poziomie energetycznym możliwe były podpoziomy (o tych
samych energiach)
Warunek Bohra: L = n~ zostaje zastapiony
˛
przez:
p
L = l(l + 1)~,
(3)
gdzie n = 1, 2, . . . – główna liczba kwantowa, a
l = 0, 1, 2, . . . , (n − 1) – orbitalna liczba kwantowa, numerujace
˛
podpoziomy
UWAGA: u Bohra L > 0, a u Schrodingera L może być równe
zeru (przy l = 0)
Jest też trzecia, magnetyczna liczba kwantowa
ml = 0, ±1, ±2, . . . , ±l, która ujawnia si˛e, gdy atom znajdzie si˛e
w polu magnetycznym
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 4
12/14
Rozszczepienie podpoziomów dla n = 2
B 6= 0
B=0
n
l
ml
2
0
0
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
1
0
n
l
ml
2
0
0
-1
1
0
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 4
+1
13/14
Efekt Zeemana
W zewn˛etrznym polu magnetycznym niektóre linie widmowe
ulegaja˛ rozszczepieniu na kilka składowych
Odległość mi˛edzy tymi liniami zależy od nat˛eżenia pola
magnetycznego
Po lewej: plama słoneczna i pionowa szczelina spektrografu. Po
prawej: widmo z rozszczepiona˛ na 3 składowe linia,˛ wskazujace
˛ na
wystepowanie wewnatrz
˛ plamy silnego pola magnetycznego.
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 4
14/14