C:\Users\Seven\Documents\Moje d

Ekonomia matematyczna 2-2
Funkcja produkcji
Definicja
Efektywnym przekształceniem technologicznym nazywamy odwzorowanie (niekiedy
wielowartościowe), które kazdemu wektorowi nakładów x ∈ R n+ przyporządkowuje zbiór
wektorów wyników y ∈ R n+ , takich, że procesy produkcji x, y są technologicznie ekektywne,
tzn. odwzorowanie
x  y : x, y ∈ Z e 
gdzie Z e oznacza podzbiór przestrzeni p-produkcyjnej Z, składający się z procesów
technologicznie efektyenych.
Jeśli wartości efektywnego przekształcenia technologicznego są zbiorami jednopunktowymi,
to mozna mówić o funkcji produkcji.
Definicja
Wektorową funkcją produkcji nazywamy funkcję f : R n+ → R n+ , która każdemu wektorowi
nakładów x przyporządkowuje jednoznacznie okreslony wektor wyników y = fx, taki, że
proces produkcji x, y jest technologicznie efektywny.
Badanie własności wektorowej funkcji produkcji f : R n+ → R n+ ,
fx = f 1 x, . . . , f n x
sprowadza się do badania własności skalarnych funkcjach produkcji f i : R n+ → R + ,
f i x = f i x 1 , . . . , x n 
Standardowe założenia o skalarnych funkcjach produkcji f : R n+ → R +
∂f
(f1) Funkcja f : R n+ → R + jest ciągła i ma pochodne cząstkowe rzędu II ∂x i ∂x j x dla
x ∈ R n++ = x ∈ R n : x i > 0 dla i = 1, . . . , n.
(f2) f0 = 0 (zerowe nakłady dają zerowy wynik)
∂f
(f3) Funkcja f jest rosnąca w R n++ (jest tak jeśli ∂x i x > 0 dla x ∈ R n++ i kazdego i = 1, . . . , n).
1
(f4) Funkcja f jest wklęsła w R n++ (jest tak jeśli Hx =
∂f
∂x i ∂x j
x
n×n
jest macierzą niedodatnio
n
okresloną dla x ∈ R n++ , tzn. dla dowolnego v = v 1 , . . . , v n  ∈ R n mamy ∑ v i v j
∂f
∂x i ∂x j
x ≤ 0).
i,j=1
(f5) Funkcja f jest dodatnio jednorodna stopnia θ > 0, tzn. fλx = λ θ fx dla λ > 0, x ∈ R n+
Definicja
Krańcowa produktywność i −tego nakładu przy nakładach x
∂f
x
∂x i
Definicja
Elastyczność produkcji względem i −tego nakładu przy nakładach x
 fi
= lim
Δx i →0
Δfx
fx
Δx i
xi
=
∂f
x x i
∂x i
fx
Definicja
Elastyczność produkcji względem skali nakładów przy nakładach x
 fλ
= lim
λ→1
Δfλx
fλx
Δλ
λ
=
∂f
λx λ
∂λ
fλx
Definicja
Krańcowa stopa substytucji i −tego nakładu przez j −ty nakład w produkcji
σ fij
Δx j
= lim
=
Δx i →0 Δx i
Δx j →0
∂f
∂x i
∂f
∂x j
x
x
Definicja
Izokwantą produkcji na poziomie y 0 nazwiemy poziomicę
Gy 0  = x ∈ R n+ : fx = y 0 .
Dla dwuargumentowej skalarnej funkcji produkcji y = fx = fx i , x j , przy nakładach
x 0 = x 0i , x 0j  takich, że fx 0i , x 0j  = y 0 , z twierdzenia o funkcji uwikłanej, wynika, że równanie
fx i , x j  − y 0 = 0 zadaje w pewnym przedziale x 0i − r, x 0i + r funkcję x j = gx i  spełniającą
równanie
fx i , gx i  − y 0 ≡ 0,
tzn. okreslającą zależność j −tego nakładu od i −tego nakładu przy utzrymaniu produkcji na
niezmienionym poziomie y 0 .
Ponieważ
2
∂f 0
∂f 0 dg 0
x  +
x 
x  = 0,
dx i i
∂x i
∂x j
to
dg 0
x  = −
dx i i
∂f
∂x i
∂f
∂x j
x 0 
= −σ fij .
x 
0
Powyższa równość określa jaki wzrost j −tego nakładu odpowiada spadkowi i −tego nakładu
przy utrzymaniu produkcji na tym samym poziomie.
Definicja
Elastyczność substytucji i −tego nakładu przez j −ty nakład w produkcji przy nakładach x
σ fij
=
Δx j
x
lim Δxj
Δx i →0 x i
i
Δx j →0
=
∂f
∂x i
∂f
∂x j
x
x
⋅ xx ij
W ogólnych rozważaniach rozpatruje się dwa nakłady:
k ≥ 0 - kapitał
z > 0 - praca
i dwuargumentowe funkcje produkcji y = fk, z.
Definicja
Krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał
σ fzk
=
∂f
∂z
∂f
∂k
k, z
k, z
Definicja
Stosunek kapitału do pracy w procesie produkcji nazywamy technicznym uzbrojeniem
produkcji
u = kz
W przypadku gdy funkcja produkcji y = fk, z jest dodatnio jednorodna stopnia θ = 1 (czyli
λfk, z = fλk, λz), to od technicznego uzbrojenia pracy można uzaleznić przecietną
y
wydajność pracy z :
y
1
k 1
z = z fk, z = f z , z z = fu, 1 = wu,
3
y
a także przecietną efektywność kapitału k :
y
= 1 fk, z = f 1 k, z  = f1, 1
u  = eu.
k
k k
k
Przykłady funkcji produkcji
1. Liniowa
fk, z = ak + bz
60
40
10
20
z5
0
2
4
k
6
8
10
4
8
6
z
4
2
2
4
k
6
8
10
2. Cobba-Douglasa
y = k 0.25 z 0.75
5
4
2
1 1
2
z
0
1
2 k
3
4
5
5
5
4
3
z
2
1
1
2
k
3
4
5
3. CES (constant elasticity of substitution)
y = 2k 0.5 + 3z 0.5 
0.75
0.5
30
20
4
10
2
z
0
1
2
k
3
4
5
6
5
4
3
z
2
1
1
2
3
4
5
Elementy neoklasycznej teorii produkcji
Zakładamy, że skalarna funkcja produkcji f : R n+ → R + spełniająca założenia (f1) - (f5) opisuje
produkcję przedsiebiorstwa. Załóżmy, że produkt y = fx jest sprzedawany po cenie p,
natomiast nakłady (surowce) x = x 1 , . . . , x n  są dostepne w nieograniczonych ilościach i są
kupowane po cenach v = v 1 , . . . , v n .
Zadanie maksymalizacji zysku przedsiębiorstwa.
Przyjmijmy, że celem przedsiębiorstwa jest maksymalizacja zysku, tzn. wyznaczenie takiej
produkcji (wektora nakładów x), przy której maksimum osiąga funkcja:
n
gx = pfx − 〈x, v〉 = pfx 1 , . . . , x n  − ∑ x i v i
i=1
przy ograniczeniu x ≥ 0.
Przykład (dla funkcji jednoargumentowej funkcji produkcji f : R + → R + 
Maksymalizować
pfx − xv
przy ograniczeniu x ≥ 0.
dpfx − xv
= pf ′ x − v = 0
dx
df
f ′ x =
x = pv
dx
7
a) 0 < θ < 1
fx = x 0.5 , p = 3, v = 2
gx = 3x 0.5 − 2x
8
6
4
2
0
1
x2
3
4
-2
g ′ x =
d 3x 0.5 −2x
dx
g ′′ x =
d −0.5
g ′′  169  = −
= − 0. 5
−3.0+4.0 x
x
dx
0.75
3
9 2
 16
−3.0+4.0 x
= −
x
= 0, Solution is:
x=
9
16
= 0. 562 5
0.75
3
x2
= − 1. 777 777 8 < 0
g 169  = 1. 125
b) fx = x 0.5 , p = 3, v = 0. 2
gx = 3x 0.5 − 0. 2x
Candidate(s) for extrema: 11. 25, at x = 56. 25
8
80
60
40
20
0
100
200
x
300
400
-20
c) fx = x 0.5 , p = 3, v = 20
gx = 3x 0.5 − 20x
2
1.5
1
0.5
0
0.02
0.04
x
0.06
0.08
0.1
-0.5
-1
9
fλx = λ θ fx
fλ = λ θ f1 = aλ θ
fx = ax θ
dlaλ > 0, x ∈ R n+
a’) θ = 1
fx = 2x 1 , p = 3, v = 2
gx = 30. 5x 1  − 2x
8
6
4
2
0
1
x2
3
4
-2
d)
fx = lnx + 1, p = 3, v = 2
gx = 3lnx + 1 − 2x
10
4
3
2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1x
1.2
1.4
1.6
1.8
2
d’)
fx = lnx + 1, p = 3, v = 4
gx = 3lnx + 1 − 4x
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.02
0.04
x
0.06
0.08
0.1
-0.1
a”) θ > 1
fx = 2x 1.5 , p = 3, v = 2
gx = 32x 1.5  − 2x
11
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
x
0.12 0.14 0.16 0.18
0.2
Twierdzenie
Załóżmy, że funkcja produkcji f : R n+ → R + spełnia warunki:
∂f
(f1) jest ciągła i ma pochodne cząstkowe rzędu II ∂x i ∂x j x dla x ∈ R n++ = x ∈ R n : x i > 0
dla i = 1, . . . , n.
(f2) f0 = 0
(f3) Funkcja f jest rosnąca w R n++
(f4) Funkcja f jest wklęsła w R n++
a ponadto dla ceny produktu p oraz cen nakładów v mamy:
∂f
1) p ∂x i x > v i dla i = 1, . . , n oraz dla x ∈ brzegR n+
∂f
2) istnieje M > 0, takie, że dla x ∈ R n+ spełniających warunek ‖x‖ > M mamy p ∂x i x < v i
dla i = 1, . . , n
Wówczas istnieje x̂ takie, że x̂ >> 0 ,‖x̂ ‖ ≤ M oraz
pfx̂  − 〈x̂ , v〉 = max pfx − 〈x, v〉
Takie x̂ spełnia równanie
p∇fx̂  = v
tzn.
∂f
x̂  = v i dla i = 1, . . , n.
∂x i
Jeśli f jest funkcją ściśle wklęsłą, to rozwiązanie x̂ jest jednoznaczne.
p
12
Zadanie minimalizacji kosztów produkcji
Przyjmijmy, że celem przedsiębiorstwa jest minimalizacja kosztów produkcji na zakładanym
poziomie y, tzn. znalezienie wektora nakładów x, przy której minimum osiąga funkcja:
n
kx = 〈x, v〉 =
∑ xivi
i=1
przy ograniczeniach:
fx = y > 0
x ≥ 0.
Uwaga.
Zadanie jest tej samej postaci, co zadanie minimalizacji wydatków konsumenta, przy
zakładanej użyteczności koszyka
Twierdzenie
Załóżmy, że funkcja produkcji f : R n+ → R + spełnia warunki:
∂f
(f1) jest ciągła i ma pochodne cząstkowe rzędu II ∂x i ∂x j x dla x ∈ R n++ = x ∈ R n : x i > 0
dla i = 1, . . . , n.
(f2) f0 = 0
(f3) Funkcja f jest rosnąca w R n++
(f4) Funkcja f jest ściśle wklęsła w R n++
Wówczas x̂ >> 0 jest rozwiązaniem zadania minimalizacji kosztów produkcji wtedy i tyko
wtedy gdy istnieje λ > 0 takie, że ∇fx̂  = λv oraz fx̂  = y, tzn.
∂f
x̂  = λv i dla i = 1, . . , n
∂x i
fx̂  = y.
Przykład
〈x, v〉 = 3x 1 + 5x 2  min
fx 1 , x 2  =
x1x2 = y0
13
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
Definicja
Funkcją kosztów produkcji nazwiemy funkcję c : R n+ × R → R + , określoną wzorem
cv, y = 〈ϕv, y, v〉, gdzie ϕv, y jest rozwiązaniem zadania minimalizacji kosztu produkcji
(przy ustalonym poziomie produkcji y oraz cenach nakładów v).
Twierdzenie
Jeśli funkcja produkcji jest klasy C 2 i jest rosnąca, to funkcja kosztów produkcji ma
następujące własności:
1) cv, 0 = 0
2) c jest funkcją ciągłą,
3) przy ustalonych cenach v, funkcja y → cv, y jest rosnąca
4) przy ustalonych poziomie produkcji y, funkcja v → cv, y jest rosnąca, wypukła i
ctv, y = tcv, y dla t > 0
Zadanie maksymalizacji zysku przy znanych kosztach produkcji produkcji
Celem przedsiębiorstwa jest maksymalizacja zysku, tzn. ustalenie wielkości produkcji y, przy
której maksimum osiąga funkcja:
πy = py − cy
przy ograniczeniu y > 0 i znanej funkcji kosztów produkcji y → cy.
Twierdzenie
Poziom nakładów x̂ jest rozwiązaniem zadania maksymalizacji zysku:
14
gx = pfx − 〈x, v〉 → max
wtedy i tylko wtedy gdy wielkość produkcji ŷ = fx̂  jest rozwiązaniem zadania:
πy = py − cy → max
Przykład
cy = 5 + y 1.2
800
600
400
200
0
50
100
150
y
200
250
300
3y − 5 + y 1.2  Candidate(s) for extrema: 43. 828 125, at y = 97. 656 25
py = 3y
15