Liczby zespolone w geometrii 1. Mając dane współrzędne z1, z2, w

Liczby zespolone w geometrii
1. Mając dane współrzędne z1 , z2 , w punktów A, B, O, wyznaczyć współrzędne wierzchołków C, D równoległoboku ABCD o środku O.
2. Mając dane współrzędne z, w punktów A, B wyznaczyć:
a) współrzędną wierzchołka C trójkąta równobocznego ABC,
b) współrzędne wierzchołków C, D kwadratu ABCD.
3. Wierzchołki A, B sześciokąta foremnego ABCDEF mają współrzędne
2+3i, 4−i, odpowiednio. Wyznaczyć współrzędne pozostałych wierzchołków.
4. Punkty M i N są środkami przekątnych AC i BD czworokąta ABCD.
Dowieść, że
|AB|2 + |BC|2 + |CD|2 + |DA|2 = |AC|2 + |BD|2 + 4|M N |2 .
5. Dowieść, że jeżeli dla pewnego punktu M leżącego w płaszczyźnie równoległoboku ABCD zachodzi równość
|M A|2 + |M C|2 = |M B|2 + |M D|2 ,
to ABCD jest prostokątem.
Wskazówka. Możemy przyjąć, że środek równoległoboku jest w punkcie 0.
6. Dowieść, że suma kwadratów środkowych trójkąta jest równa
kwadratów jego boków.
3
4
sumy
7. Na bokach dowolnego czworokąta wypukłego zbudowano (na zewnątrz)
kwadraty. Dowieść, że odcinki łączące środki przeciwległych kwadratów są
równe i prostopadłe.
8. Na bokach trójkąta ABC zbudowano (na zewnątrz) kwadraty o środkach
P , Q, R. Na bokach trójkąta P QR zbudowano do wewnątrz kwadraty. Dowieść, że środki tych kwadratów są środkami boków trójkąta ABC.
9. Na bokach dowolnego trójkąta zbudowano (na zewnątrz) trójkąty równoboczne. Dowieść, że ich środki są wierzchołkami trójkąta równobocznego.
10. Na bokach trójkąta ABC zbudowano na zewnątrz trójkąty równoboczne
A0 BC i B 0 AC, a do wewnątrz trójkąt równoboczny C 0 AB. Niech M będzie
środkiem trójkąta równobocznego C 0 AB. Dowieść, że trójkąt A0 B 0 M jest
równoramienny, przy czym |∠A0 M B 0 | = 120◦ .
11. Dowieść, że odległość wierzchołka C trójkąta ABC od punktu D symetrycznego do środka okręgu opisanego względem prostej AB jest równa
|CD|2 = R2 + |AC|2 + |BC|2 − |AB|2 ,
gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie.