article in PDF format - Zeszyty Naukowe Instytutu Pojazdów

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW
4(95)/2013
Jarosław Mańkowski1, Paweł Ciężkowski2
MODELOWANIE PROCESÓW KRUSZENIA ZA POMOCĄ MES –
PROPOZYCJA METODY IDENTYFIKACJI DANYCH MATERIAŁOWYCH
ORAZ WŁAŚCIWOŚCI ZADANIA KONTAKTOWEGO
1. Wstęp
Ośrodki kruche, jako ośrodki niejednorodne i anizotropowe, mają losowo rozłożone
nieciągłości struktury, tzn. rysy, spękania, pory. Zarówno przy obciążeniu prostym
(jednokierunkowym), jak i złożonym występują na nich spiętrzenia naprężeń, które
powodują dalszy wzrost pęknięć i powstawanie nowych. Procesom tym odpowiadają
nieliniowe charakterystyki naprężeniowe, objętościowe oraz postaciowe [1], [2]. Należy
pamiętać również, że są to procesy dynamiczne. W związku z tym modelowanie tego
typu zagadnień jest bardzo skomplikowane, a mechanika procesów kruszenia, jako
dyscyplina naukowa – jest ciągle rozwijana. W literaturze technicznej przedstawione są
różne przybliżone teorie dotyczące mechaniki procesów urabiania gruntów i skał, oparte
na daleko idących uproszczeniach, dotyczących zarówno statyki jak i kinematyki
procesu. Z punktu widzenia projektowania konstrukcji maszyn istotna jest znajomość
maksymalnych sił działających na narzędzie w trakcie procesu. Metody techniczne
stosowane w praktyce inżynierskiej służą do wyznaczenia maksymalnych sił przy
uwzględnieniu wielu czynników mających na nie wpływ, a mianowicie: parametrów
wytrzymałościowych geomateriałów, kąta tarcia narzędzia o materiał, kształtu narzędzia
(profil, kąty skrawania, liczba zębów skrawających i ich rozmieszczenie, itp.),
konfiguracji ośrodka, prędkości ruchu narzędzia, itp.. Jedną z metod za pomocą której są
rozwiązywane zadania z mechaniki skał jest nośności graniczna w której należy
wyznaczyć wartość obciążenia, dla którego występuje plastyczne płynięcie lub
zniszczenie. Metody nośności granicznej możemy podzielić na dwie grupy. Pierwszą
stanowią metody ścisłe, a wśród nich metoda charakterystyk, która znalazła największe
zastosowanie. Druga, to metody przybliżone, w których nie poszukuje się rozwiązań
ścisłych, a wśród nich wyróżniamy metody oszacowań oraz metody przybliżonego
spełnienia warunków równowagi i warunku stanu granicznego. Zastosowanie metody
elementów skończonych [3], [4], [5] w mechanice procesów rozdrabniania pozwala
wyznaczyć siły i pracę kruszenia. Wraz z rozwijaniem się metod obliczeniowych
powstało również wiele modeli materiałów [6], [7], [8] które pozwalają na analizy
omawianych zjawisk. Obecnie, oprócz prostych modeli ciał sprężystych, wykorzystuje
się coraz bardziej złożone modele sprężysto-plastyczne z warunkiem stanu granicznego
Coulomba-Mohra czy Druckera-Pragera [9], a także z funkcją zniszczenia [10].
Jednym z istotnych problemów, który bardzo często pojawia się podczas analiz, jest
identyfikacja właściwości zarówno danych materiałowych, jak i charakterystyk
oddziaływania narzędzia na ośrodek kruchy. Wytrzymałość skał określana jest w oparciu
o badania prowadzone w specjalistycznych laboratoriach z wykorzystaniem maszyn
wytrzymałościowych. Badania właściwości mechanicznych materiałów najczęściej
1
2
dr inż. Jarosław Mańkowski, Instytut Podstaw Budowy Maszyn Politechniki Warszawskiej
dr inż. Paweł Ciężkowski, Instytut Maszyn Roboczych Ciężkich Politechniki Warszawskiej
125
obejmują określenie wytrzymałości na ściskanie, na rozciąganie, na zginanie oraz na
ścinanie. W niniejszej pracy przedstawiono propozycję metody identyfikacji parametrów
materiałowych oraz propozycję metody modelowania zagadnienia kontaktowego na
przykładzie wapienia "Morawica". Badania i analizy zostały przeprowadzone dla próby
ściskania walca o wymiarach: wysokość 49,68 mm, średnica 22 mm (rys. 1). Symulacje
numeryczne wykonano wykorzystując program Abaqus.
F
22
49,68
Ø
F
Rys. 1 Schemat badanego obiektu
2. Propozycja metody identyfikacji parametrów materiałowych na przykładzie
wapienia "Morawica"
Identyfikację parametrów materiału przeprowadzono wykorzystując modele
osiowo-symetryczne oraz modele bryłowe. Dokonano jej na podstawie wyników badań
laboratoryjnych, w których realizowano osiowe ściskanie walca. W trakcie realizacji
zadania wykonano wiele eksperymentów numerycznych. Ostateczne wyniki
zaprezentowane są na przykładzie dwóch modeli: osiowo-symetryczny Morawica-PSFi22-AxiSym-v2 oraz bryłowy Morawica-PS-Fi22-Solid-v2. We wszystkich analizach
przyjęto gęstość ośrodka kruchego = 2g/cm3.
2.1 Analiza w zakresie sprężystym – identyfikacja modułu Younga
a) Założenia do analiz numerycznych
Główne kryterium przy identyfikacji stanowiła wartość pracy. Stwierdzono, że
praca sił zewnętrznych modelu MES, przy optymalnie dobranym module Younga, musi
być równa uśrednionej pracy sił zewnętrznych z eksperymentu laboratoryjnego.
Wartości przyjęte na podstawie wyników badań:
liczba Poissona
= 0,25,
moduł Younga E =2 2 GPa.
b) Model MES, warunki brzegowe i obciążenia
Identyfikacja modułu Younga została wykonana głównie z zastosowaniem modeli
wykorzystujących symetrię osiową. Model MES (rys. 2-a) został zbudowany na
podstawie uśrednionych wymiarów próbek użytych w badaniach laboratoryjnych
(średnica d = 22,00 mm, oraz wysokość h = 49,68 mm). Do budowy modelu
wykorzystano elementy czterowęzłowe, czworokątne, pierwszego rzędu (CAX4 [9]).
126
W przeprowadzonych analizach rozważono kilka sposobów modelowania
oddziaływania stempla na powierzchnię ściskanej próbki. Uzyskano to, wprowadzając
różne warunki brzegowe dla węzłów leżących w płaszczyźnie styku materiału kruchego
z narzędziem. Przypadki te oznaczono jako: WB1, WB2, WBK.
WB1 – węzły leżące na powierzchniach styku ze stemplem mają zablokowaną
możliwość przemieszczania w kierunku stycznym do tej powierzchni.
WB2 – węzły leżące na powierzchniach styku ze stemplem mogą się swobodnie
przemieszczać w kierunku stycznym do tej powierzchni.
WBK – oznacza zdefiniowane zagadnienie kontaktowe pomiędzy stemplem a górną
powierzchnią próbki. Stempel został zdefiniowany, jako ciało idealnie
sztywne. W tym przypadku modyfikacji uległ również model MES, w
którym oprócz symetrii osiowej wykorzystano pionową symetrię
(płaszczyznę symetrii przechodzącą przez połowę wysokości walca).
Pozwoliło to na zmniejszenie zadania i przyspieszenie obliczeń.
Obciążenie zostało zrealizowane przez przemieszczenie węzłów leżących na górnej
powierzchni próbki (WB1, WB2) lub stempla (WBK) o 0,36 mm w dół.
W początkowej fazie, analizy były prowadzone również z wykorzystaniem modeli
trójwymiarowych (rys. 2-b). Użyte zostały elementy sześcienne, pierwszego rzędu, ze
zredukowaną liczbą punktów całkowania (C3D8R [5]). Stwierdzono bardzo dobrą
zbieżność wyników uzyskanych zarówno za pomocą modeli osiowo-symetrycznych oraz
bryłowych, jednak czas obliczeń symulacji trójwymiarowych był dużo dłuższy.
W związku z tym, w kolejnych etapach pracy ograniczono się tylko do analiz
wykorzystujących symetrię osiową.
a)
b)
Rys. 2. Modele MES: a) z wykorzystaniem symetrii osiowej (wymiary geometryczne
oraz siatka); b) bryłowy (geometria, warunki brzegowe, siatka)
127
Rys. 3. Naprężenia ściskające (S22) [MPa] zależne od zastosowanych warunków
brzegowych: WB1, WB2, WBK
c) Wyniki analiz
Uzyskane wyniki naprężeń potwierdzają zbieżność modelu MES z wynikami
z badań. Średnie naprężenia ściskające (S22) wynoszą: 163 MPa dla modelu z WB1, 160
MPa dla modelu z WB2 oraz 158 MPa dla modelu z WBK (rys. 3).
d) Identyfikacja modułu Younga
Po przeprowadzeniu szeregu analiz (Morawica-PS-Fi22-AxiSym-v2-M1-SPR-WB1,
-SPR-WB2, -SPR2-WB1 oraz -SPR22WBK) przyjęto moduł Younga E = 21,563 GPa –
mniejszy od wyliczonego na podstawie badań laboratoryjnych o 1,98%. Dzięki temu
uzyskano pracę sił zewnętrznych równą pracy rzeczywistej (tabela 1).
Prawidłowość identyfikacji modułu Younga można również sprawdzić, porównując
przebieg reakcji uzyskanych z obliczeń MES z siłami uzyskanymi w trakcie
eksperymentów na obiektach rzeczywistych (rys. 4). Do porównania wyniki badań
zostały uśrednione oraz zlinearyzowane.
Tabela 1. Wyznaczone wartości modułu Younga i odpowiadające im wartości pracy
zależne od modelu MES
Charakterystyka
sprężysta na
model sprężysty
podstawie badań
WB1
Wyniki z MES
model
model sprężysty model sprężysty 2
sprężysty 22
WB2
WB1
z kontaktem
model
SPR-B
MES-AS-SPRWB1
MES-AS-SPRWB2
E [GPa]
22,00
22,00
22,00
21,34
21,56
praca [J]
10,80
11,13
10,96
10,80
10,80
128
MES-AS-SPR2- MES-ASWB2
SPR22WBK
Rys. 4. Wykres siły F N w funkcji przemieszczenia U mm; wyniki z prób
laboratoryjnych - linia SPR-B, wyniki z MES - linie: MES-AS-SPR-WB1, MES-ASSPR-WB2, MES-AS-SPR2-WB2, MES-AS-SPR22WBK
2.2. Analiza w zakresie sprężysto–plastycznym –identyfikacja pozostałych
parametrów modelu niezbędnych do wyznaczenia warunku granicznego
Na podstawie wyników z przeprowadzonych eksperymentów laboratoryjnych,
wstępnie przyjęto podstawowe dane materiałowe niezbędne do wyznaczenia warunków
granicznych:
kąt tarcia wewnętrznego
= 62o,
kohezja (spójność)
c = 20 MPa.
Przyjęte dane należało poddać weryfikacji. W opisanych dalej eksperymentach
numerycznych wykorzystano, zaimplementowany w systemie Abaqus, liniowy model
Drukera-Pragera z niekołowym warunkiem plastyczności. Zanim zdecydowano się na
ten model, wykonano wiele analiz, rozważając min. wpływ kołowego (klasyczny model
Drukera-Pragera) i niekołowego (zmodyfikowany model Drukera-Pragera) warunku
plastyczności na identyfikację współczynnika określającego kohezję. W metodzie
zaimplementowanej w programie Abaqus kohezja, dla modelu Drucker-Prager
oznaczana symbolem d (z indeksem c -wartość współczynnika wyznaczana na podstawie
wytrzymałości na ściskanie; lub r -wartość współczynnika wyznaczana na podstawie
wytrzymałości na rozciąganie), wyliczana jest na podstawie danych materiałowych: kąta
tarcia wewnętrznego oraz wytrzymałości na ściskanie lub rozciąganie.
Pierwszy problem, z którym należało się uporać, to identyfikacja parametrów
modelu. Pamiętając, że współczynnik K określa stosunek granicy plastyczności
129
występującej w trzyosiowym stanie rozciągania do granicy plastyczności występującej
w trzyosiowym stanie ściskania, rozważono dwa przypadki dla K1 = 0,8 oraz K2 = 1.
Jako pierwszy rozważono przypadek, w którym przyjęto dane wapienia "Morawica"
na podstawie literatury [9]:
kąt tarcia wewnętrznego:
= 54o,
wytrzymałość na ściskanie:
c = 95 MPa,
wytrzymałość na rozciąganie:
r = 10 MPa.
W związku z tym, kohezja obliczona na podstawie jednoosiowego ściskania wynosi:
.
Następnie został rozważony przypadek, w którym uwzględniono wyniki uzyskane
z prób laboratoryjnych, wykonanych w trakcie realizacji niniejszego projektu:
kąt tarcia wewnętrznego:
= 62o,
wytrzymałość na ściskanie:
c = 158 MPa.
W związku z tym, kohezja obliczona na podstawie jednoosiowego ściskania wynosi:
.
W celu uzyskania takich samych wyników, bazując na wytrzymałości na
rozciąganie –wytrzymałość na rozciąganie powinna wynosić 31,407 MPa –wtedy
kohezja wynosi 58.948 MPa i wyniki analiz są zbieżne z wynikami uzyskanymi na
podstawie wytrzymałości na ściskanie. W tym przypadku:
kąt tarcia wewnętrznego:
= 62o,
wytrzymałość na rozciąganie:
r = 31,407 MPa.
2.3. Oddziaływanie stempla na ośrodek kruchy –modelowanie zagadnienie
kontaktowego
Analizując zagadnienie ściskania ośrodków kruchych, stwierdzono, że oprócz
współczynników określających właściwości materiałowe, istotny wpływ na uzyskiwane
wyniki ma sposób modelowania współpracy pomiędzy stemplem a ściskanym
materiałem kruchym. W szczególności sposób narastania ciśnienia pomiędzy
współpracującymi powierzchniami. W testach numerycznych sprawdzono trzy formuły
oddziaływania na siebie stykających się powierzchni.
WBK –oznacza, tzw. „hard contact”, w którym zakłada się, że ciśnienie pomiędzy
powierzchniami oddziałującymi na siebie narasta od wartości zero do wartości
maksymalnej od razu, tzn. od momentu przekroczenia h max (rys. 5).
130
Rys. 5 WBK -sposób narastania ciśnienia pomiędzy współpracującymi powierzchniami
określany mianem „hard contact”
WBK2 –oznacza, że zostało zdefiniowane zadanie, w którym zakłada się, że
ciśnienie pomiędzy powierzchniami oddziałującymi na siebie narasta wykładniczo
(rys. 6).
Rys. 6 WBK2 - sposób narastania ciśnienia pomiędzy współpracującymi
powierzchniami, w których ciśnienie narasta wykładniczo
WBK3 – oznacza, że zostało zdefiniowane zadanie, w którym zakłada się, że
ciśnienie pomiędzy powierzchniami oddziałującymi na siebie narasta w sposób
zdefiniowany przez użytkownika z wykorzystaniem charakterystyki wieloliniowej,
złożonej z odcinków prostych (rys. 7).
131
Rys. 7. WBK3 - sposób narastania ciśnienia pomiędzy współpracującymi
powierzchniami, w których ciśnienie narasta zgodnie z charakterystyką zdefiniowaną
przez użytkownika
3. Omówienie uzyskanych wyników
W trakcie prac przeprowadzono wiele eksperymentów numerycznych, w których
testowano różne modele materiału z uwzględnieniem charakterystyki sprężystej
(oznaczenie SPR22), plastycznej (oznaczenie CM oraz DP i DP2), i różnych sposobów
definiowania zagadnienia kontaktowego (WBK, WBK1, WBK2, WBK3). Przykładowe
oznaczenia analizowanych modeli to: Morawica-PS-Fi22-AS-v2-M2-SPR22WBK,
…-SPR22WBK2, …-SPR22WBK3, …-SPR22CMWBK, …-SPR22CMWBK2,
…-SPR22DPWBK, …-SPR22DPWBK2, …-SPR22DP1WBK, …-SPR22DP2WBK2,
…-SPR22DP2WBK3.
Modele różniły się między innymi danymi użytymi do opisu cech sprężystoplastycznych materiałów (jak już wspomniano, skupiono się głównie na modelu
zaproponowanym przez Drukera-Pragera – oznaczenie DP, ale przeprowadzono
weryfikację wyników korzystając z modelu Coulomba–Mohra –oznaczenie CM).
Drugą ważną różnicę stanowił sposób opisu zjawiska kontaktu. W analizach
przetestowano „hard-contact” (WBK), kontakt z wykładniczą charakterystyką narastania
ciśnienia pomiędzy współpracującymi powierzchniami oraz z wieloliniową –
zdefiniowaną na podstawie wyników badań. Po wykonaniu wielu symulacji, najlepiej
dopasowana krzywa wykładnicza (WBK2) przechodzi przez punkty: (0,08, 0), (0, 130).
Jednak najlepsze wyniki uzyskano dla krzywej wieloliniowej (WBK3), przechodzącej
przez punkty (tabela 2).
Tabela 2. Punkty charakterystyki narastania ciśnienia pomiędzy stemplem a próbką
Prześwit [mm]
-0,08
-0,07
-0,05
-0,03
-0,01
-0,001
0,01
132
Ciśnienie [MPa]
0,0
0,2
2,0
5,0
14,0
30,0
1000,0
Rys. 8. Przykładowe wyniki symulacji numerycznych ściskania walca, zależne od
sposobu modelowania zjawiska kontaktu oraz modelu materiału (szczegółowy opis
oznaczeń w tekście)
Rys. 9. Porównanie przykładowych wyników badań laboratoryjnych z próby ściskania
walca (wapień "Morawica" – wykresy: X001, X003, X004, X005, X006), z ostatecznym
wynikiem analiz wykonanych z wykorzystaniem MES (MES-AS-SPR22-DP2-WBK3)
Dobór parametrów kontaktu przeprowadzono wykorzystując uśrednione
i zlinearyzowane wyniki badań laboratoryjnych, które pozwoliły na stworzenie
uproszczonej charakterystyki sprężystej SPR-B. Bazując na tej charakterystyce,
zdefiniowano cechy sprężyste modelu materiału SPR22. Następnie przeprowadzono
133
szereg eksperymentów numerycznych mających na celu dobór sposobu modelowania
kontaktu pomiędzy powierzchniami stempla i próbki oraz niezbędnych współczynników.
Ostatecznie przeprowadzono weryfikację dla modelu sprężysto–plastycznego (DP2).
Wyniki przedstawiono na rys. 8.
Jak widać (rys. 9), ostatecznie uzyskano bardzo dobrą zbieżność wyników symulacji
numerycznych z wynikami badań obiektów rzeczywistych. Dotyczy to zarówno modelu
sprężystego, a w szczególności modelu sprężysto–plastycznego z uwzględnieniem
zjawiska kontaktu.
Literatura:
[1]
Zawada J., Buczyński A., Chochoł K., Rzeszot J.: Wprowadzenie do mechaniki
maszynowych procesów kruszenia (na przykładzie kruszarek szczękowych),
Wydawnictwo Instytutu Technologii Eksploatacji, Warszawa, 2005.
[2]
Supel, J. Zawada, J.: Metoda elementów kontaktowych w zastosowaniu do
modelowania procesów kruszarek, Zeszyty Naukowe. Górnictwo/Politechnika
Śląska, 2002, s. 585-600.
[3]
Zienkiewicz O.: Metoda elementów skończonych, Arkady, Warszawa, 1972.
[4]
Jaworski A.: Metoda elementów skończonych w wytrzymałości konstrukcji,
Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1981.
[5]
Kleiber M.: Metoda elementów skończonych w nieliniowej mechanice
kontinuum, PWN, Warszawa, 1985.
[6]
Drucker D.C., Prager W. Soil mechanics and plastic analysis on limit design. Q.
J. Appl. Math., Vol. 10, No. 2, 157-165, 1952.
[7]
Matsuoka H., Nakai T. Stress deformation and strength characteristics of soil
under three different principal stresses. Proceedings of ISCE, No. 232, 59-74,
1974.
[8]
Izbicki R., Mróz Z. Metody Nośności Granicznej W Mechanice Gruntów I Skał.
Polska Akademia Nauk. Instytut, 1975.
[9]
Dassault Systemes Simulia Corp., Abaqus Analysis User's Manual, Dassault
Systemes, United States of America, 2008.
[10] Mańkowski J., Ciężkowski P.: Modelowanie osłabienia materiału na przykładzie
symulacji próby brazylijskiej, Zeszyty Naukowe Instytutu Pojazdów, Nr
3(89)/2012, Politechnika Warszawska, Warszawa, 2012, s. 101-108.
Streszczenie
Ośrodki kruche należą do grupy materiałów o bardzo złożonej strukturze. Jako
ośrodki niejednorodne i anizotropowe, mają losowo rozłożone nieciągłości struktury,
tzn. rysy, spękania, pory. Jednym z istotnych problemów, który bardzo często pojawia
się podczas analiz, jest identyfikacja właściwości zarówno danych materiałowych, jak
i charakterystyk oddziaływania narzędzia na ośrodek kruchy. W niniejszej pracy
przedstawiono propozycję metody identyfikacji parametrów materiałowych oraz
propozycję metody modelowania zagadnienia kontaktowego na przykładzie wapienia
"Morawica". Badania i analizy zostały przeprowadzone dla próby ściskania walca.
Uzyskano bardzo dobrą zbieżność wyników analiz z wynikami z eksperymentu
wykonanego na obiekcie rzeczywistym.
Słowa kluczowe: MES, dane materiałowe, kontakt, próba ściskania walca, wapień
Morawica
134
BREAKING PROCESS MODELING USING FEM – PROPOSITION OF
A METHOD FOR IDENTIFICATION OF MATERIAL AND FOR
IDENTIFICATION FEATURES JOB CONTACT
Abstract
Brittle materials belong to the group of brittle materials with a very complex
structure. As heterogeneous and anisotropic materials, are randomly distributed
discontinuity structures such as scratches, cracks, pores. One of the problems, which
often occurs during the analysis is to identify the properties of materials data and identify
the characteristics of the impact of the tool on a brittle material. This paper presents
a method of identification of material parameters and a method of modeling the contact
problems for limestone “Morawica”. Tests and analyzes were performed for a roller
compression test. Very good convergence of the results of analysis and of the results of
an experiment performed on a real object was obtained.
Keywords: FEM, material data, contact, roller compression test, limestone Morawica
135