Eksponenta macierzy

Eksponenta macierzy
1
Poniżej podane są tylko podstawowe własności eksponenty macierzy (bez dowodów). Hiperłącza do plików z dowodami można znaleźć w zakładce „Notatki do wykładów, i użyteczne linki”, w części: „Wstęp do Teorii Równań
Różniczkowych” (w szczególności, wykład nr 8).
Eksponenta macierzy
1.1
Definicja i podstawowe własności
Oznaczmy przez Cn×n [Rn×n ] zbiór macierzy kwadratowych stopnia n o elementach zespolonych [rzeczywistych].
Dla A ∈ Cn×n i t ∈ R definiujemy
etA :=
∞
X
tA t2 A2 t3 A3
(tA)k
=I+
+
+
+ ...,
1!
2!
3!
k=0 k!
gdzie I oznacza macierz jednostkową wymiaru n.
Niekiedy piszemy etA = exp (tA). Gdy t = 1 piszemy eA = exp A.
Należy wyjaśnić, co rozumiemy przez sumę szeregu macierzy. Dla l = 0, 1, 2, . . .
weźmy sumę częściową powyższego szeregu,
l
X
tA t2 A2 t3 A3
tl Al
(tA)k
=I+
+
+
+ ··· +
.
1!
2!
3!
l!
k=0 k!
Rzecz jasna, dla każdego l taka suma jest macierzą kwadratową stopnia n.
Dla ustalonego t ∈ R, ciąg takich sum częściowych dąży przy l → ∞ do
granicy, i właśnie ta granica to etA .
Twierdzenie 1.1.
(a) Dla każdej macierzy A ∈ Cn×n zachodzi e0·A = I.
(b) Dla każdej macierzy A ∈ Cn×n i dowolnych s, t ∈ R zachodzi e(s+t)A =
esA etA .
(c) Dla każdej macierzy A ∈ Cn×n i dowolnego t ∈ R zachodzi e(−t)A =
(etA )−1 (co zapisujemy zwykle jako e−tA ).
W szczególności, z Twierdzenia 1.1(c) wynika, że etA jest macierzą nieosobliwą.
Przypomnijmy sobie, że funkcja (rzeczywista) eat jest rozwiązaniem równania
różniczkowego liniowego jednorodnego o stałych współczynnikach
y 0 = ay.
2
Skompilował Janusz Mierczyński
Teraz zastanowimy się, jaki jest związek między funkcją etA a rozwiązaniem
układu równań różniczkowych liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach
y0 = Ay.
Zróżniczkujmy formalnie, wyraz po wyrazie, szereg
I+
tA t2 A2 t3 A3
+
+
+ ...,
1!
2!
3!
otrzymując
d
tA t2 A2 t3 A3
I+
+
+
+ ...
dt
1!
2!
3!
!
=A+
2tA2 3t2 A3
+
+ ...,
2!
3!
czyli
!
tA t2 A2 t3 A3
+
+
+ ... .
A I+
1!
2!
3!
Powyższe rozumowanie wymaga sprawdzenia, czy wolno nam różniczkować
taki szereg wyraz po wyrazie. Okazuje się, że wszystkie te operacje są uprawnione, i zachodzi następujący wynik:
Fakt 1.2. Dla dowolnej macierzy A ∈ Cn×n funkcja macierzowa etA jest
różniczkowalna, i zachodzi
d tA
e = AetA = etA A,
dt
dla każdego t ∈ R.
Dalej, zachodzi
Fakt 1.3. Niech A ∈ Rn×n , t0 ∈ R, y0 ∈ Rn . Funkcja wektorowa
e(t−t0 )A y0
jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego

y 0
= Ay
y(t0 ) = y0 .
Wynika stąd w szczególności, że j-ta kolumna macierzy etA jest rozwiązaniem
zagadnienia początkowego

y0 = Ay
y(0) = ej ,
gdzie ej jest j-tym wektorem z bazy standardowej przestrzeni Rn (tzn. wektorem mającym 1 na j-tym miejscu i 0 na pozostałych miejscach).
Eksponenta macierzy
1.2
3
Dalsze własności eksponenty macierzy
Fakt 1.4. Niech A ∈ Cn×n . Wówczas dla każdego t ∈ R zachodzi
det(exp(tA)) = exp(tr(A)t).
W powyższym, tr(A) oznacza ślad macierzy A (sumę elementów na głównej
przekątnej).
Twierdzenie 1.5. Niech A, B ∈ Cn×n . Załóżmy, że macierze A i B komutują (tzn. AB = BA). Wówczas dla każdego t ∈ R zachodzi
et(A+B) = etA etB .
Jeśli macierze A i B nie komutują, to może zachodzić eA+B 6= eA eB . Jako
przykład mogą posłużyć
"
#
"
1 0
A=
,
0 2
#
0 1
B=
.
0 0
Fakt 1.6 (Eksponenta macierzy diagonalnej).
exp t diag(a1 , a2 , . . . , an ) = diag(ea1 t , ea2 t , . . . , ean t ).
W szczególności, etI = et I.
Poniższy wynik pozwala na sprowadzenie wyliczania eksponenty macierzy
do rozwiązywania równania różniczkowego liniowego n-tego rzędu o stałych
współczynnikach (chociaż nie zawsze jest to najszybszy sposób liczenia etA !).
Twierdzenie 1.7. Niech λn + d1 λn−1 + · · · + dn−1 λ + dn będzie wielomianem
charakterystycznym macierzy A ∈ Rn×n . Oznaczmy przez yj , j = 0, 1, . . . , n−
1, rozwiązanie równania różniczkowego
y (n) + d1 y (n−1) + · · · + dn−1 y 0 + dn y = 0
spełniające warunki początkowe
(j)
yj (0) = 1,
(l)
yj (0) = 0 dla l ∈ {0, . . . , n − 1} \ {j}.
Wówczas
etA = yn−1 (t)An−1 + yn−2 (t)An−2 + · · · + y1 (t)A + y0 (t)I.
4
1.3
Skompilował Janusz Mierczyński
Zastosowanie do rozwiązywania układów równań
różniczkowych liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach
Twierdzenie 1.8 (Wzór na uzmiennianie stałych). Niech A ∈ Rn×n . Załóżmy ponadto, że funkcja wektorowa h : (a, b) → Rn , gdzie −∞ ¬ a < b < ∞,
jest ciągła. Wówczas dla każdego t0 ∈ (a, b) i każdego y0 ∈ Rn rozwiązanie
zagadnienia początkowego

y0
= Ay + h(t)
y(t0 ) = y0
wyraża się wzorem
(t−t0 )A
e
y0 +
Zt
t0
e(t−s)A h(s) ds,
t ∈ (a, b).