metody dyskretyzacji

1
Sformułowanie zagadnienia

Zagadnienie

Numeryczne
metody
dyskretyzacji

Historia

MRS

MES
Rozwiązanie większości problemów z
mechaniki polega na wyznaczaniu pól
różnych wielkości:
u – przemieszczenia,
Ϭ – naprężenia,
temperatura, itd.
W ciele stałym ale też, w cieczy gazie
tworzących kontinuum. Pole to jest
określone przez nieskończoną ilość
parametrów, bo jest funkcją każdego z
nieskończonej liczby punktów tego
kontinuum.
2
Jak uzyskujemy
matematyczny opis pola?
Zagadnienie

Numeryczne
metody
dyskretyzacji

Historia

MRS
Badamy nieskończenie mały fragment
ośrodka ciągłego.
wynik

Równania różniczkowe cząstkowe.
Warunki początkowo-brzegowe.

MES
Sformułowanie mocne.
3
Dlaczego MES?

Zagadnienie

Numeryczne
metody
dyskretyzacji

Historia

MRS

MES
Niewiele problemów da się rozwiązać
analitycznie.
Dlaczego?
Skomplikowana geometria, warunki
brzegowe, złożone właściwości (materiał).
Poszukiwanie rozwiązań przybliżonych.
METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
jest metodą przybliżonego
rozwiązywania równań różniczkowych!!!
4
Metody dyskretyzacji

Zagadnienie

Numeryczne
metody
dyskretyzacji

Historia

MRS

MES
Numeryczne
Dyskretyzacja
matematyczna
Dyskretyzacja
fizyczna
inne
MRS
MCN
MES MEB
5
MES jako powszechnie akceptowany
standard obliczeń inżynierskich.

Zagadnienie

Numeryczne
metody
dyskretyzacji

Historia

MRS

MES
XX w.
Boris Galerkin - Metoda Galerkina (1915)
Iwan Bubnow (1913):
Metody polegające na minimalizacji residuum
(błędu).
Richard Courant (1943):
Jako pierwszy wprowadził podział obszaru na
części (elementy) w celu rozwiązania
równania różniczkowego.
6
MES jako powszechnie akceptowany
standard obliczeń inżynierskich.

Zagadnienie

Numeryczne
metody
dyskretyzacji

Historia

MRS

MES
od 1950 – zastosowanie w mechanice
od 1960 – zastosowania inżynierskie
NASTRAN (1963). NASA Structural Analysis
(komercyjny!)
od 1970 – podstawy matematyczne, dowody
poprawności, zagadnienia nieliniowości, itd.
(Olgierd Zienkiewicz)
od 1980 – rozwój mikrokomputerów…
7
METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH

Zagadnienie

Numeryczne
metody
dyskretyzacji

Historia

MRS

MES
MRS – metoda polegająca na dyskretyzacji równań
różniczkowych.
Zastąpienie operatorów różniczkowych (pochodnych)
przez operatory różnicowe (ilorazy różnicowe).
Ustalamy skończoną liczbę punktów podziału w
odstępach ∆x i przypisujemy im parametry (E, J, w, q).
8
METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH
Model dyskretny

Zagadnienie

Numeryczne
metody
dyskretyzacji

Historia

MRS

MES
Ilorazy wyrażone są przez wartości w ustalonych
punktach.
9
METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH
Równanie belki

Zagadnienie

Numeryczne
metody
dyskretyzacji

Historia

MRS

MES
podstawiamy do równania różniczkowego i układamy
takie równanie dla każdego punktu.
Zapisujemy macierzowo, wprowadzamy warunki
brzegowe: w1=0, wn=0, itd.
Wady – rozwiązania w punktach,
problem z warunkami brzegowymi,
niedokładne rozwiązanie.
10
DYSKRETYZACJA FIZYCZNA
Dyskretyzacja fizyczna jest drugim sposobem dojścia
do modelu dyskretnego:

Zagadnienie

Numeryczne
metody
dyskretyzacji
1)

Historia
2)

MRS

podział rozpatrywanego kontinuum na skończoną
liczbę elementów o podobnym kształcie,
założenie sposobu połączenia elementów w
węzłach,
3)
przyjęcie parametrów węzłowych,
4)
przyjęcie funkcji interpolacyjnych.
MES
11
DYSKRETYZACJA FIZYCZNA

Zagadnienie

Numeryczne
metody
dyskretyzacji

Historia

MRS

MES
1)
2)
Każdy element ma charakterystyki geometryczne
E1, J1…
Mamy zbiór węzłów, w których elementy są
połączone.
12
DYSKRETYZACJA FIZYCZNA

Zagadnienie

Numeryczne
metody
dyskretyzacji

Historia

MRS

MES
3)
Belka
parametry
statyczne
(M,T)
geometryczne
(w, φ)
4)
?
Sprawą kluczową jest właściwy dobór funkcji
interpolacyjnych (funkcji kształtu).
Sam dobry podział na elementy
nie wystarcza!!!
13