Teza pomocnicza

TEZA:
Przy optymalnej rozgrywce szanse wygranej wynoszą:
P = 178 934 / 260 015 ≈ 68,82%
DOWÓD:
Teza pomocnicza:
Optymalna rozgrywka pozwala wygrać w następujących przypadkach:
1. D pik w ręce z mniejszą liczbą kart czerwonych.
2. D pik singlowa albo czwarta.
3. Podział kart czerwonych gorszy niż 4-9.
4. Podział trefli gorszy niż 2-7.
Dowód tezy pomocniczej w dalszej części. W tym miejscu skupimy się na policzeniu
prawdopodobieństwa. Jak często bywa w przypadku obliczeń prawdopodobieństw okazuje
się, że łatwiej policzyć je dla zdarzenia dopełniającego, czyli w tym przypadku
prawdopodobieństwo przegranej. Przegramy tylko i wyłącznie w przypadku, gdy jedna z rąk
obrońców będzie zawierała:
1. Jedną albo dwie blotki pik.
2. 4, 5 albo sześć kart czerwonych.
3. Dopełniającą do 13 liczbę trefli, ale nie większą niż 7.
Teraz widać, że istnieje 5 przegrywających układów ręki obrońcy:
1♠ 5♥♦ 7♣
1♠ 6♥♦ 6♣
2♠ 4♥♦ 7♣
2♠ 5♥♦ 6♣
2♠ 6♥♦ 5♣
(oczywiście w pikach blotki).
Łatwo policzyć liczbę możliwych rąk dla poszczególnych układów:
⎛ 3 ⎞ ⎛13 ⎞ ⎛ 9 ⎞
N1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = 138 996
⎝1⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 7 ⎠
⎛ 3 ⎞ ⎛13 ⎞ ⎛ 9 ⎞
N2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = 432 432
⎝1⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6⎠
⎛ 3 ⎞ ⎛13 ⎞ ⎛ 9 ⎞
N3 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = 77 220
⎝ 2⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝7⎠
⎛ 3 ⎞ ⎛13 ⎞ ⎛ 9 ⎞
N4 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = 324 324
⎝ 2⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 6⎠
⎛ 3 ⎞ ⎛13 ⎞ ⎛ 9 ⎞
N5 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = 648 648
⎝ 2⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 5⎠
Zatem liczba układów przegrywających wynosi:
N = 2x(N1+N2+N3+N4+N5) = 3 243 240
Liczba wszystkich możliwych układów:
⎛ 26 ⎞
Ω = ⎜⎜ ⎟⎟ = 10 400 600
⎝ 13 ⎠
Liczba układów wygrywających:
W = Ω - N = 7 157 360
Co daje prawdopodobieństwo wygranej jak w tezie.
Dowód tezy pomocniczej:
Jest oczywiste, że rozgrywający powinien przeprowadzić w możliwie maksymalnym stopniu
rozgrywkę wywiadowczą, czyli przed rozegraniem pików ściągnąć forty w bocznych
kolorach: tu 10 lew w kolorach nie pikowych, a następnie podjąć decyzję, co do sposobu
rozegrania pików. Rozgrywka wywiadowcza będzie rozstrzygająca, gdy wykryjemy podział
trefli 0-9 albo 1-8 oraz podział kolorów czerwonych gorszy (bardziej niezrównoważony) niż
4-9 (punkty 3 i 4 tezy pomocniczej), gdyż wtedy dysponujemy pewną rozgrywką pików. Jeśli
obaj obrońcy posiadają po 2+♣, 4+♥♦ oraz żaden z nich nie wyrzucił w pierwszych 10-ciu
lewach pika to optymalne jest rozegranie pików z zamiarem impasu damy u obrońcy, który
pokazał mniejszą liczbę kart czerwonych (punkt 1 tezy pomocniczej). Dowód tej tezy
znajduje się na końcu opracowania, teraz rozważmy ciekawy przypadek, gdy jeden z
obrońców wyrzuci pika. W sposób naturalny pik musi się pojawić w 10-tej lewie (lub
wcześniej, gdyż obrońcy grają w widne) przy podziale pików 4-0. Oczywiście jeśli zrzutki tej
dokona obrońca z mniejszą liczbą kart czerwonych to nie zmienia to sposobu rozgrywki.
Możemy jednak wykorzystać układ z czterema pikami na jednej ręce z czerwoną długością
przy jednoczesnym zabezpieczeniu się przed zrzutką mylącą z innej konfiguracji pików. W
tym celu należy zagrać pika z ręki znajdującej się przed obrońcą z mniejszą liczbą kart
czerwonych i jeśli doda on do koloru to wykonać impas już w pierwszej rundzie pików.
Przewidując ten problem wcześniejszą rozgrywkę należy rozpocząć od ściągnięcia fort
kierowych i karowych, a następnie forty treflowe ściągnąć w taki sposób, aby utrzymać się w
ręce za obrońcą z większą liczbą kart czerwonych. W ten sposób dowiedliśmy punktu 2 tezy
pomocniczej.
Pozostaje do wykazania punkt 1 tezy pomocniczej. Ostateczny moment, w którym
podejmujemy decyzję co do sposobu rozegrania pików to połowa 12-tej lewy, w której (po
ściągnięciu jednej figury pikowej) gramy pika, a lewy obrońca również dokłada pika. Imas,
czy górą, oto jest pytanie? W tym momencie możliwe są dwa układy rąk obrońców:
1. Dxx, C, 10-C
x, 13-C, C-1
2. xx, C, 11-C
Dx, 13-C, C-2
Gdzie C oznacza liczbę kart czerwonych (gramy w „trzy kolory”: piki, czerwone, trefle).
Zakładamy przy tym, że C=4, 5 albo 6, gdyż oczywiście nie ma sensu impasować D pik u
obrońcy z dłuższym fragmentem czerwonych, a przy C<4 rozgrywka jest jasna.
Liczby możliwych kombinacji rąk są następujące:
⎛ 3 ⎞ ⎛13 ⎞ ⎛ 9 ⎞
⎟⎟
R1 = 1 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎝ 2 ⎠ ⎝ C ⎠ ⎝10 − C ⎠
⎛ 3 ⎞ ⎛13 ⎞ ⎛ 9 ⎞
⎟⎟
R2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎝ 2 ⎠ ⎝ C ⎠ ⎝11 − C ⎠
Rozwiązanie nierówności R1≥R2 daje C≤6, cbdo(*).
Do tego samego wniosku można dojść stosując Zasadę Ograniczonego Wyboru. W przypadku
pierwszym obrońcy mogli zrzucać karty na C-1 sposobów w drugim na 11-C sposobów (tu
wybór sprowadza się to decyzji, którego trefla zostawić sobie w końcówce). Tym razem
rozwiązujemy nierówność: 11-C≥C-1, co oczywiście ponownie (ale szybciej!) daje C≤6.
(*)Ciekawy jest przypadek C=6. Czy można zmodyfikować rozgrywkę wprowadzając
strategię mieszaną: tj. z prawdopodobieństwem p impas, z prawdopodobieństwem 1-p gramy
górą? Okazuje się, że nie! Przeciwnicy mogą bowiem wprowadzić arcymistrzowską strategię
polegającą na tym, że obrońca z Dx pik przy siedmiu czerwonych kartach z
prawdopodobieństwem x wyrzuci pika(!), co zmusi nas do nieudanego impasu już w
pierwszej rundzie pików albo do rezygnacji z łapania czwartej damy przy siedmiu
czerwonych kartach (w celu obrony przed tym zagraniem). Można by oczywiście
przeprowadzić szczegółowe obliczenia uwzględniające obie strategie mieszane i wyliczyć
optymalne dla obu stron wartości p i x. Bez jednak takich obliczeń wiemy, że jeśli przyjąć
x=0 to rozgrywający nie zwiększy szans sukcesu, ergo strategia mieszana może tylko
pogorszyć te szanse. Widać też, że jeśli x>0, ale x „odpowiednio” małe to obrona zyskuje
zmniejszając szanse wygranej. „Odpowiednio” oznacza w tym przypadku na tyle rzadko, że
rozgrywającemu nie opłaca się zmieniać strategii łapania czwartej damy, na rzecz drugiej
damy (innymi słowy przy wyrzuceniu pika jest bardziej prawdopodobne, że pochodzi on z
konfiguracji Dxxx niż z Dx).
PS: Bardzo podobny problem pojawił się swego czasu na liście dyskusyjnej pl.rec.gry.brydz:
http://niusy.onet.pl/niusy.html?t=artykul&group=pl.rec.gry.brydz&aid=25516381
Interesujące, że wówczas mimo argumentów i wzorów nie udało mi się nikogo przekonać, że
rozgrywka wywiadowcza może mieć istotny wpływ na sposób rozgrywki nawet wtedy, gdy
nie rozwiązuje problemu jednoznacznie. Wówczas problem sprowadzał się do rozegrania
koloru 11-kartowego, w którym brak nam króla (bokiem same forty).