Wektory, Skalary - wprowadzenie

Wektory, Skalary - wprowadzenie
W fizyce mamy najczęściej do czynienia z dwoma rodzajami wielkości fizycznych:
wielkościami skalarnymi (zwykłymi liczbami)
wielkościami wektorowymi (opisywanymi albo przez kilka lub więcej liczb, albo rysowanymi jako
strzałki)
Wektory są używane do opisu wielkości mających kierunek - np. siła działa w jakimś kierunku,
prędkość też wyróżnia określony kierunek ruchu itp.
Skalary stosowane są do opisu wielkości bezkierunkowych - np. czas, temperatura itp...
Jak poznać, czy symbol literowy wielkości oznacza wielkość wektorową,
czy skalarną?
Wektory
Skalary
Wektory zapisuje się w podręcznikach najczęściej
na dwa sposoby:
Skalary w tekście, to po prostu zwykłe litery,
jako literę oznaczającą wielkość
fizyczną ze strzałką.
- drukiem pogrubionym (często też
pochyłym). - np. F (wektor siły F).
drukowane zazwyczaj czcionką pochyłą - np. m,
t, q - czyli masa, czas, ładunek.
Typowa szkolna definicja wektora
Typowa szkolna definicja wektora mówi nam, że:
Wektor jest to wielkość posiadająca:
kierunek
zwrot
punkt przyłożenia (nie zawsze się nim zajmujemy)
wartość
W sumie powyższa definicja jest prawdziwa, choć matematycznie
zaawansowana i w sumie poprawniejsza metodologicznie definicja
wektora jest nieco inna. Ale tym się na razie nie przejmujmy, bo
powyższa definicja też jest dla nas dobra.
Rzeczywiście jeśli przyjrzymy się typowemu przedstawieniu wielkości wektorowej, to da się dla niej
wyróżnić wspomniane wyżej własności.
Kierunek wektora
Kierunek wektora stanowi prosta poprowadzona przez początek i koniec wektora.
Uwaga:
W języku polskim słowo „kierunek” oznacza właściwie nie tyle samą prostą, co tzw. prostą
„zorientowaną”, czyli określającą również w którą stronę jest skierowana nasza prosta. Inaczej
mówiąc praktyka językowa jest taka, że często słowem „kierunek” określa się także własność,
którą dalej nazwiemy „zwrotem” - mówimy o "kierunku w lewo", lub "kierunku do góry".
Niestety, różne znaczenia – bardziej potoczne, i te wymyślone przez twórców terminologii
fizycznej – niekiedy się nakładają. I dlatego trzeba czujnie podchodzić do określeń „kierunek” i
„zwrot”, gdyż mogą być one używane zamiennie.
Zwrot wektora
Jak napisano w rozdziale poświęconym kierunkowi, wektorom przypisujemy zwrot.
Zwrot określa nam, które zakończenie odcinka symbolizującego nasz wektor jest
początkiem, a które końcem wektora.
Początek wektora jest rysowany zwykle (choć nie jest to ścisła reguła) w punkcie
przyłożenia wektora.
Punkt przyłożenia wektora
Punkt przyłożenia wektora, to nic innego tylko obiekt, do którego odnosi się nasz wektor. Np.
Jeśli siła działa w środku belki, to mówimy, że jest ona przyłożona w środku tej belki.
Podobnie wektor prędkości jest „przyłożony” do ciała, które ma daną prędkość.
Jeśli rozpatrujemy pole wektorowe (czyli obszar, w którego każdym punkcie określamy jakiś wektor
konkretnej wielkości), to punkt przyłożenia informuje nas o jakim punkcie przestrzeni jest mowa.
Na powyższym rysunku narysowano wektory przyłożone w dwóch różnych punktach pola
wektorowego.
Punkt przyłożenia wektora rysowany jest zwykle w początku wektora (patrz rozdział o
zwrocie).
Wartość wektora
Wartość wektora symbolizuje intensywność wielkości, którą określa wektor. Np. duża wartość
wektora prędkości mówi nam, że ciało się szybko porusza; duża wartość wektora siły ukazuje fakt, że
siła jest duża itd.
Wartość wektora
Wartość wektora w przypadku zwykłych wektorów przesunięcia od punktu A do punktu B jest po
prostu długością tego wektora. Dla wektorów innych wielkości (np. prędkości, wektora natężenia
pola) jest to liczba symbolizująca tę "długość" jednak w odpowiedniej przestrzeni - np. w przestrzeni
prędkości, przestrzeni natężeń pól itp.
Operację pobierania z wektora jego wartości (tzw. modułu wektora) zapisuje się symbolicznie za
pomocą kresek otaczających symbol wektora.
Wektor
wartość wektora (skalar)
wartość siły, czyli liczba wyrażona w Newtonach np.: | F | = 40 N
siła:
wartość prędkości, czyli liczba wyrażona w m/s
np. | v | = 10 m/s.
prędkość
Wartość jest szczególnym typem skalara, gdyż:
wartość wektora NIE może być liczbą ujemną!
Wartość wektora graficznie
Patrząc na wektor graficznie, wartość wektora to liczba mówiąca nam ile wektorów jednostkowych
mieści się w naszym wektorze.
Na powyższym rysunku wektor jednostkowy jest oznaczony na niebiesko.
Wartość wektora analitycznie
W przypadku gdy znamy współrzędne wektora, wtedy jego wartość obliczamy z twierdzenia
Pitagorasa:
na płaszczyźnie
w przestrzeni
:
Czyli:
podnosimy wszystkie współrzędne do kwadratu
sumujemy uzyskane kwadraty współrzędnych
wyciągamy pierwiastek kwadratowy z sumy.
i już mamy długość (wartość) wektora
.
Z powyższej recepty na obliczanie długości wektora wynika stąd w sposób oczywisty, że wektor
będzie miał wartość (długość) równą zero tylko wtedy, gdy wszystkie jego składowe będą równe
zero.
Uwaga na często popełniany błąd!
Pamiętajcie, aby nie "wyciągać" pierwiastka bezpośrednio spod sumy kwadratów (sporo uczniów robi
ten błąd).
Wektory - ujęcie graficzne i ujęcie analityczne
Wektory przedstawia się zazwyczaj na dwa sposoby:
ujęcie graficzne:
uzyskujemy przez narysowanie strzałki na
płaszczyźnie lub w przestrzeni.
ujęcie analityczne:
układ dwóch liczb - współrzędnych (na
płaszczyźnie), lub trzech liczb (w przestrzeni)
związek między dwoma ujęciami wektora - strzałką
wektora (ujęcie graficzne) i liczbami opisującymi
położenie początku i końca strzałki.
Współrzędne wektora otrzymujemy
odejmując od współrzędnych końca wektora,
współrzędne początku tego wektora.
współrzędna x - owa wektora na rysunku ma
wartość 7 (znajdujemy różnicę współrzędnych końca
i początku wektora: 8 - 1 = 7).
współrzędna y - owa w naszym wypadku ma
wartość 4
(bo 6 - 2 = 4).
Ostatecznie więc na powyższym rysunku mamy wektor
(7,4).
Oba ujęcia - graficzne i analityczne - są równoważne, tzn. dają zgodne ze sobą wyniki. Zaletą ujęcia
graficznego jest lepsze działanie na wyobraźnię; zaletą ujęcia analitycznego jest łatwość obliczeń
matematycznych oraz możliwość tworzenia wektorów o więcej niż trzech wymiarach (znacznie
trudniej byłoby wyobrazić sobie np. sześciowymiarowe wektory jako strzałki).
Równość wektorów
Przyjrzyjmy się jeszcze raz przykładowi z rozdziału o ujęciach wektora:
Otrzymaliśmy tu wektor o współrzędnych (7,4). Pojawia się jednak pytanie:
Ile takich wektorów jest na płaszczyźnie?
Oczywiste jest, że różnica (7,4) mogła powstać nie tylko jako odejmowanie 8 - 1 i 6 - 2. Mogłoby być
przecież 10 - 3 i 155 - 151, -5 - (-12) i 2,5 - (-1,5) itp....
Wektorów (7,4) jest na całej płaszczyźnie wykresu nieskończenie wiele, ponieważ mogą być one
zaczepione w różnych punktach (a punktów na płaszczyźnie jest nieskończenie wiele).
Wszystkie te wektory są sobie równe.
Dwa wektory są sobie równe wtedy, gdy mają równe wszystkie swoje współrzędne.
Wszystkie równe wektory mają takie samo:
nachylenie do osi X (albo Y - co na jedno wychodzi)
długość (wartość).
Mogą różnić się jednak punktem przyłożenia (zaczepienia).
Działania na wektorach
W poniższej tabeli zgromadzono (opisywane także w innych rozdziałach) operacje na wektorach.
rodzaj
działania
zapis i typ wielkości wynikowej
Żeby dodać dwa wektory, gdy znamy
ich współrzędne, należy dodać
odpowiednie współrzędne - x-owe do
x-owych, a y-owe do y-owych (ew.
z-owe do z-owych).
Dodawanie
wektorów
Na płaszczyźnie
(wx, wy) + (ux, uy) =
(wx+ux, wy+uy)
W przestrzeni
(wx, wy, wz ) + (ux, uy, uz) =
(wx+ux, wy+uy, wz + uz)
opis wielkości wynikowej
W odróżnieniu od dodawania
liczb całkowitych
wektor-suma wcale nie musi
być dłuższy od któregoś z
wektorów wyjściowych, a
często bywa krótszy.
Suma dwóch wektorów może
być też wektorem zerowym
(mimo, że wektory
wyjściowe miały długości
różne od zera)
Zachodzi to w dwóch
przypadkach:
- oba sumowane wektory są
zerowe
- dodawane wektory są
przeciwne - tzn. mają ten
sam kierunek i wartość, ale
przeciwne zwroty.
Patrz także: Dodawanie
graficzne wektorów oraz
Dodawanie algebraiczne
wektorów, Siła.
Wektor-różnica wcale nie
musi być krótszy od
pierwszego z wektorów
wyjściowych. Może być
Żeby odjąć dwa wektory, gdy znamy dłuższy.
ich współrzędne, należy odjąć
odpowiednie współrzędne - x-owe od Różnica dwóch wektorów
x-owych, a y-owe od y-owych (ew. jest równa zero (jest
wektorem zerowym) w
z-owe od z-owych).
dwóch przypadkach:
Na płaszczyźnie
Odejmowanie
1. oba odejmowane
(w
x, wy) - (ux, uy) =
wektorów
wektory są zerowe
(wx - ux, wy - uy)
W przestrzeni
(wx, wy, wz ) - (ux, uy, uz) =
(wx - ux, wy - uy, wz - uz)
mnożenie
wektora
przez liczbę
Tak samo
dzielenie przez
liczbę.
otrzymujemy nowy wektor
Aby wektor podzielić przez liczbę,
mnożymy go przez odwrotność tej
liczby
2. odejmowane wektory
są równe - tzn. mają
ten sam kierunek,
zwrot i wartość.
Patrz też: Dodawanie
graficzne wektorów oraz
Dodawanie algebraiczne
wektorów.
powstaje wektor a razy
dłuższy od wektora
wyjściowego.
Zwrot wektora wynikowego
jest:
- taki sam jak wyjściowy, gdy
a jest dodatnie
- przeciwny do wyjściowego,
gdy a jest ujemne
Wynik może być równy zero
(będzie tzw. wektorem
zerowym) gdy:
- wektor wyjściowy jest
równy zero, lub
- liczba a jest równa zero
Powstaje liczba (skalar) o
wartości równej iloczynowi
wartości obu wektorów razy
kosinus kąta między nimi
zawartego.
mnożenie
skalarne
wektorów
otrzymujemy skalar
Lub inaczej:
Iloczyn skalarny jest równy
iloczynowi długości jednego
wektora mnożonego przez
długość rzutu drugiego
wektora na kierunek
wyznaczony przez pierwszy
wektor (skomplikowane jest
to zdanie, ale prościej chyba
się nie da...). Dokładniej
wyjaśnione jest to w dziale
Energia przy omawianiu
pracy.
Iloczyn skalarny stanie się
równy Zero, gdy
którykolwiek z wektorów
wyjściowych jest zerowy, lub
wektory są do siebie
prostopadłe.
Patrz także: Mnożenie
skalarne wektorów.
mnożenie
wektorowe
wektorów
(stosuje się
wyłącznie do
wektorów w trzech
wymiarach)
otrzymujemy nowy wektor
prostopadły do obu wektorów
wyjściowych.
Długość (wartość) tego wektora
- wartość wektora
wynikowego jest równa
iloczynowi wartości obu
wektorów wyjściowych razy
sinus kąta między nimi
zawartego (ma to sens tylko
w trzech wymiarach);
- kierunek wektora
wynikowego jest prostopadły
do płaszczyzny wyznaczonej
przez wektory wyjściowe;
- zwrot ustalamy w oparciu o
regułę śruby prawoskrętnej
Interpretacja iloczynu
wektorowego 2:
Wartość iloczynu
wynosi:
wektorowego jest równa
Uwaga:
iloczynowi długości
tak naprawdę efektem mnożenia
pierwszego wektora przez
wektorowego wektorów jest tensor... długość rzutu drugiego
Ale w uproszczeniu możemy go
wektora na kierunek
traktować jako wektor a właściwie prostopadły do pierwszego
tzw. "pseudowektor".
wektora.
Wektor zerowy otrzymamy,
gdy jeden z wektorów
wyjściowych jest zerowy, lub
gdy wyjściowe wektory są
równoległe.
znajdowanie
wartości
(długości)
wektora gdy
znamy jego
współrzędne
Długość wektora na płaszczyźnie
obliczamy stosując twierdzenie
Pitagorasa.
Długość wektora jest równa
zero tylko wtedy, gdy
wszystkie współrzędne
wektora są równe zero (ew.
patrz wektor zerowy).
Jeśli wektor podany jest w
postaci rysunkowej, to trzeba
Żeby obliczyć wartość wektora
trójwymiarowego trzeba zastosować
to twierdzenie dwa razy.
zmierzyć długość strzałki
tego wektora, a następnie
pomnożyć przez skalę w
jakiej został narysowany np. jeśli centymetr oznacza 3
m/s, to wektor 5
centymetrowy oznacza
prędkość o wartości 15 m/s.
Dodawanie algebraiczne wektorów
Dodawanie wektorów zapisanych w postaci liczbowej (algebraicznej) polega na zwykłym dodawaniu
ich odpowiednich współrzędnych. Czyli:
(wx, wy) + (ux, uy) = (wx+ux, wy+uy)
Przykłady
Np. gdy mamy wektory:
a = [2 , 3]
b = [5 , 1]
To ich sumę obliczamy następująco:
a + b = [2 , 3] + [ 5 , 1] = [2 + 5 , 3 + 1] = [7 , 4]
Gdyby wektorów było więcej, to musielibyśmy dodać współrzędne wszystkich wektorów:
a = [2 , 3]
b = [5 , 1]
c = [3 , -9]
Teraz sumę obliczamy tak:
a + b + c = [2 , 3] + [ 5 , 1] + [3 , -9] = [2 + 5 + 3, 3 + 1 - 9]=[10 , -5]
Przykłady działań na wektorach w postaci analitycznej
Dane odnoszące się do przykładów poniżej:
Wektory wyjściowe:
Liczba:
a=3
Fizyka jest odlotowa
Rodzaj
działania
Dodawanie
wektorów
Wektor wynikowy:
liczba wynikowa: c
zapis
Przykład i komentarz
(2 + 3, 5 + (-7)) = (5, -2)
Dodajemy odpowiednie współrzędne.
Z = (5, -2)
(2 - 3, 5 - (-7)) = (-1, 5 + 7) = (-1, 12)
Odejmowanie
wektorów
Odejmujemy odpowiednie współrzędne.
Z = (-1, 12)
3 ∙ (2,5) = (6,15)
mnożenie
wektora
przez liczbę
mnożymy przez liczbę, każdą ze
współrzędnych wektora.
Z = (6,15)
Mnożenie
skalarne
wektorów
(2,5) ∙ (3,-7) = 6+(-35)=-29
c = wx ∙ v x + wy ∙ v y
mnożymy przez siebie współrzędne obu
wektorów, a otrzymane iloczyny
dodajemy
Wartość iloczynu wektorowego wektorów
(2,5) i (3,-7)
mnożenie
wektorowe
wektorów
|(2,5) x (3,-7)| = |-14 -15|=|-29|=29
Wartość wektora Z można obliczyć ze
wzoru:
Aby otrzymać wartość iloczynu
wektorowego, mnożymy współrzędne "na
krzyż", otrzymane iloczyny odejmujemy i
wyciągamy wartość bezwzględną z
wyniku.
na płaszczyźnie:
w
znajdowanie
wartości
wektora
przestrzeni:
Podnosimy współrzędne do kwadratu,
wyniki dodajemy, a otrzymaną sumę
pierwiastkujemy.
otrzymujemy skalar
To jest obrazek dla urozmaicenia wyglądu podręcznika
Istnieje oczywiście wzór na wszystkie
składowe iloczynu wektorowego, ale
posługuje się on najczęściej
zaawansowanym matematycznie
pojęciem tensora (patrz krótkie
wyjaśnienie) i w licealnym (i tym bardziej
gimnazjalnym) programie fizyki nie jest
on ani uwzględniony, ani wykorzystany.
Pełną tabelę, łącznie ze wspomnianym
wzorem, zamieszczę w ostatecznej CD romowej wersji Podręcznika
Graficzne dodawanie wektorów
Spis treści
Wstęp
W celu graficznego dodania wektorów (czyli wektorów narysowanych
jako strzałki), powinniśmy zastosować jedną z dwóch metod (można wybrać tę, która wygodniejsza
w danej sytuacji):
reguła równoległoboku
reguła trójkąta
Reguła równoległoboku dodawania wektorów
Załóżmy, że początkowo mamy dwa różne wektory
- niebieski i czerwony:
Za chwilę dodamy je graficznie omawiając kolejne etapy postępowania:
Etap 1: wektory zaczepiamy we wspólnym początku (kierunek, zwrot i długość obu wektorów
nie mogą ulec zmianie). Trzeba przenieść (zachowując jego kierunek i zwrot) jeden z wektorów do
początku drugiego
Etap 2: przez koniec pierwszego wektora prowadzimy prostą równoległą do drugiego wektora, a
następnie przez koniec drugiego wektora prowadzimy równoległą do pierwszego wektora.
Etap 3 (kończący dzieło): wspólny początek wektorów (początek wektora-sumy) łączymy z punktem
przecięcia prostych z utworzonych na etapie poprzednim (będzie to koniec wektora-sumy)
Reguła trójkąta dodawania wektorów
Załóżmy znowu, że, jak poprzednio, początkowo mamy dwa wektory:
Aby dodać je metodą trójkąta posłużymy się następującą metodą:
Etap 1: początek jednego wektora zaczepiamy w końcu drugiego wektora. Musimy po prostu
przenieść jeden wektor zachowując jego kierunek, zwrot i długość.
Etap 2: początek pierwszego wektora (będzie to początek wektora-sumy) łączymy z końcem drugiego
wektora (będzie to koniec wektora-sumy).
Gotowe! – wektor zielony jest sumą wektorów – niebieskiego i czerwonego
Dodawanie graficzne wektorów - przykłady:
Dodawanie wektorów mających ten sam kierunek
W przypadku gdy oba wektory leżą na jednej prostej nie da się wykreślić równoległoboku ani
(rozsądnie wyglądającego) trójkąta. Wtedy posługujemy się metodą zbliżoną zasadami do metody
trójkąta, jednak nieco inaczej się prezentującą:
1. Sytuacja początkowa – mamy dwa wektory o takim samym kierunku
2. Przenosimy jeden wektor zaczepiając jego początek w końcu drugiego wektora (tak jak w
regule trójkąta).
3. Wektor suma (na rysunku zielony) – ma początek w początku pierwszego, a koniec w końcu
drugiego wektora:
Przypadek wektorów o przeciwnych zwrotach
Trochę inaczej wygląda dodawanie wektorów różniących się zwrotami.
Wtedy po przeniesieniu początku jednego wektora do końca drugiego, uzyskamy częściowe
pokrywanie się strzałek obu tych wektorów.
Co nie zmienia sytuacji, że wektor – suma będzie miał początek w początku pierwszego, a koniec w
końcu drugiego wektora:
Graficzne odejmowanie wektorów
Graficzne odejmowanie wektorów jest podobne do operacji ich dodawania. Różnica zawiera się w
tym, że:
Odejmowanie wektora polega na dodaniu wektora przeciwnego.
Przykład:
Mamy początkowo dwa wektory – czerwony i niebieski:
Aby od wektora czerwonego odjąć wektor niebieski, należy:
1. odwrócić wektor niebieski, czyli znaleźć wektor do niego przeciwny.
Na powyższym rysunku wektor narysowany linią przerywaną jest wektorem wyjściowym, a wektor
przeciwny został narysowany linią ciągłą.
2. Dodać ten odwrócony wektor do wektora czerwonego (dowolną prawidłową metodą).
Na powyższym rysunku efektem odejmowania wektora niebieskiego od wektora czerwonego jest
wektor zielony.
Wektor początkowy jest on tym zaznaczony na niebiesko (linia ciągła) i pogrubiony (znajduje się w
pozycji wyjściowej).
Odejmowanie wektorów metodą trójkąta
W przypadku, gdy oba wektory, które mamy odjąć są początkowo zaczepione w tym samym punkcie,
wtedy odejmowanie jest bardzo proste i szybkie.
Bo wtedy różnica tych wektorów powstanie po prostu po połączeniu końców ich strzałek. Początek
wektora – różnicy jest w końcu wektora odejmowanego, a koniec w końcu wektora od którego
następuje odejmowanie.
Na powyższym rysunku wektor zielony jest różnicą wektorów czerwonego i niebieskiego.
Szczególny przypadek - wektor jednowymiarowy (sprawa ważna,
niełatwa, a w książkach nie omawiana)
Szczególnym przypadkiem wielkości, która jest czymś pośrednim między
wektorem, a skalarem, jest wektor jednowymiarowy (który można by
też uznać za skalar). Co prawda, jak to wyżej napisano skalary są
najczęściej wielkościami nieujemnymi, jednak nie jest to ściśle
przestrzegana reguła.
W każdym razie można tu przyjąć, że wektor jednowymiarowy, to liczba
ze znakiem (może więc być dodatnia, lub ujemna).
Wektor jednowymiarowy, jest to wielkość w fizyce bardzo ważna, bo będąc formalnie
wektorem (a przynajmniej wywodząc się ściśle od wektorów), nie posiada wad formalizmu
wektorowego (kłopotliwości rachunkowych, wielu wymiarów do przekształcania). Dlatego
wektory te są często wykorzystywane.
W przypadku wektora jednowymiarowego rolę zwrotu przejmuje znak liczby. Kierunek nie
jest w tym przypadku istotny, bo i tak wszystko dzieje się w jednym wymiarze, więc jest on z
góry określony.
Za pomocą wektorów jednowymiarowych opisuje się takie wielkości jak:
prędkość w ruchu prostoliniowym (lub w ruchu po ściśle określonym torze)
przyspieszenie w ruchu prostoliniowym (lub w ruchu po ściśle określonym torze)
siła w ruchu prostoliniowym (lub w ruchu po ściśle określonym torze)
i inne...
Najważniejszą różnicą między wektorem jednowymiarowym, a wartością wektora jest to, że
wartość może być tylko dodatnia, a wektor jednowymiarowy może być zarówno dodatni, jak i
ujemny. Mówiąc inaczej wektor wymiarowy ma swoją jedyną współrzędną równą albo plus,
albo minus wartości (długości).
To jaki jest znak wektora jednowymiarowego zależy od Umowy Znaku Osi.
Umowa znaku osi
Umowa ta polega na tym, że najpierw wyróżniamy jeden zwrot (np. w prawo lub w lewo, w
górę, lub w dół itp.) uznajemy jako dodatni. Jest to tzw. zwrot osi.
Od tej pory wszystkie wektory mające zwrot zgodny ze zwrotem osi będziemy traktować jako
dodatnie.
Wektory przeciwne względem zwrotu osi będą miały wartości ujemne.
Przykład:
W przykładzie poniżej zwrot osi ustalamy "w prawo". Wtedy wektory narysowane na
czerwono będą miały wartości jak to widać z prawej strony:
V1 jest
V2 jest
V3 jest
V4 jest
dodatnie np. V1= 4
ujemne V2= -7
ujemne V3= - 4
dodatnie V4= 8
Wektory jednowymiarowe można traktować jak zwykłe liczby - można je
mnożyć jak liczby, dzielić; a nawet dzielić przez taki "wektor" (napisałem
w cudzysłowie, bo jeszcze komuś przyjdzie do głowy dzielić przez inne
"prawdziwe" wektory, a to jest karalne! art. 123 par. 456, coś tam 789).
Jednym słowem z tym tworem matematycznym można robić z nim wszystk
co ze zwykłymi liczbami - nawet potęgować, pierwiastkować, znajdować
sinusy itp.
Dzięki takiemu przedstawieniu wielkości wszystkie wzory opisujące np. ruc
przyspieszony i opóźniony mają jedną wygodną postać (a nie kilka różnych
plusami i minusami do ustalenia), podobnie jednolicie można opisywać siły
elektrostatyczne i wiele innych.
Wartość wektora jednowymiarowego otrzymujemy biorąc po prostu
wartość bezwzględną z liczby opisującej ten wektor.
Podsumujmy zalety wektorów jednowymiarowych:
dodawanie i odejmowanie odbywa się jak zwykłe dodawanie liczb.
mnożenie skalarne to zwykłe mnożenie liczb.
wielkość ta może być umieszczana w mianowniku wzorów (można przez
nią dzielić).
Większość problemów fizycznych o charakterze rachunkowym
(zadań) rozwiązuje się poprzez sprowadzenie wektorów do
przypadków jednowymiarowych i tam wykonywanie już rachunkó
w prostszej postaci - tylko na jednej współrzędnej na raz.
Dla ekspertów i ciekawskich, czyli trochę o tensorach
Fizycy używają jeszcze jednego, bardziej zaawansowanego typu wielkości fizycznych: tensora.
Tensory są rozszerzeniem pojęcia wektora. Używa się ich do opisu odkształceń w ośrodkach,
zachowania się bryły sztywnej, podczas obrotów w trzech wymiarach, w teorii pola (np. w ogólnej
teorii względności Ensteina) i w wielu innych sytuacjach.
W pewnym uproszczeniu tensor możemy sobie wyobrażać jako operator działający na wektor i
produkujący z niego nowy wektor o innym zwrocie, kierunku i wartości.
tensor - działający na - wektor => nowy_wektor
Operacja działania tensorem na wektor to coś więcej niż mnożenie wektora przez liczbę (taka
operacja nie zmienia kierunku wektora), więcej niż mnożenie wektorowe wektorów (bo wtedy
otrzymujemy zawsze wektor prostopadły do płaszyczyzny wyznaczonej przez wektory wyjściowe) i
coś zupełnie innego niż mnożenie skalarne wektorów, czy znajdowanie wartości wektora (bo z tych
ostatnich operacji w wyniku otrzymujemy skalar).
Matematycznie tensor przedstawia się w postaci macierzy - czyli specjalnej tablicy składowych. Np.
tensor działający na wektorach 3 wymiarowych ma postać tablicy 3 x 3 - ma 9 składowych, z których
każda ma jakiś wpływ na postać wektora wynikowego.
Przykład działania tensora na wektor 2 wymiarowy:
A oto przykład sytuacji, do opisu której niezbędny jest tensor: wyobraźmy sobie, że chcemy opisywać
siłę jaka działa zwrotnie (reakcja) po zadziałaniu naszą siłą na jakąś powierzchnię. My możemy
działać jakąś siłą w kierunku A, ale ponieważ powierzchnia może być ustawiona pod kątem, może
sprężynować, może być mniej lub bardziej śliska, więc reakcja tej powierzchni może być pod niemal
dowolnym kątem w stosunku do kierunku siły pierwotnej, może powodować poślizg, czy skręcenie.
Przykładem operacji tensorowej jest znane także w liceum mnożenie wektorowe wektorów. W
rzeczywistości ten rodzaj działania jest prostszym przykładem operacji na tensorach (tylko pod nieco
"zakamuflowaną" postacią).
Mnożenie skalarne wektorów
Mnożenie skalarne wektorów jest działaniem na dwóch wektorach będących pod pewnym kątem do
siebie.
Mnożenie skalarne zapisujemy po prostu kropką mnożenia między symbolami wektorów.
Wynikiem mnożenia skalarnego jest liczba (skalar) o wartości równej iloczynowi wartości obu
wektorów razy kosinus kąta między nimi zawartego.
Interpretacja mnożenia skalarnego
Iloczyn skalarny można zinterpretować także jako wartość iloczynu wartości wektorów przypadającą
na ten sam kierunek. Inaczej mówiąc mnożąc przez siebie skalarnie wektory siły i długości dowiemy
się pośrednio jak bardzo siła działa w kierunku wektora długości.
Jeszcze inaczej iloczyn skalarny można zinterpretować, jako wartość równą iloczynowi długości
jednego wektora mnożonego przez długość rzutu drugiego wektora na kierunek wyznaczony przez
pierwszy wektor (skomplikowane jest to zdanie, ale prościej chyba się nie da...). Zapiszmy to może
wzorem opisowym:
iloczyn skalarny
= długość_wektora_1 x długość_rzutu_wektora_2_na_kierunek_wektora_1
Przykład zastosowanie iloczynu skalarnego wektorów jest podany w dziale Energia przy omawianiu
pracy.
Mnożenie skalarne wektorów - przypadki szczególne
Iloczyn skalarny stanie się równy zero, gdy zachodzi przynajmniej jeden z przypadków
którykolwiek z wektorów wyjściowych jest zerowy,
wektory są do siebie prostopadłe.
Jeżeli wektory wyjściowe są równoległe, to iloczyn skalarny jest równy po prostu iloczynowi ich
długości.
Dowolny wektor pomnożony skalarnie przez samego siebie da w wyniku kwadrat swojej wartości: