Wektory

Wektory
Wielkość wektorowa jest scharakteryzowana przez 3 cechy:
- wartość,
- kierunek,
- zwrot.
Wektor nie zmienia się, jeżeli jest przemieszczany translacyjnie (gdy każdy jego punkt przemieszczany jest
tak samo). Dlatego punkt przyłożenia wektora nie jest cechą wektora, ale w określonych przypadkach
podanie punktu przyłożenia może być konieczne.
Przykłady: położenie, prędkość, siła, przesunięcie, pęd, przyspieszenie
Wielkość skalarna jest określona tylko przez wartość.
Przykłady: masa, gęstość, energia (praca, ciepło), czas, powierzchnia, objętość
Iloczyn skalarny wektorów: wynikiem jest liczba (skalar):
· || · · Wynik mnożenia skalarnego to iloczyn wartości wektorów pomnożony przez cosinus kata pomiędzy nimi.
Wynik mnożenia graficznego jest wielkością skalarną, a w odniesieniu do interpretacji graficznej jest to
wartość równa iloczynowi długości jednego wektora mnożonego przez długość rzutu drugiego wektora na
kierunek wyznaczony przez pierwszy wektor.
Iloczyn wektorowy: wynikiem jest wektor o wartości:
|| · · skierowany prostopadle do płaszczyzny wyznaczonej przez mnożone wektory i o zwrocie zgodnym z regułą
śruby prawoskrętnej. Wartość iloczynu wektorowego jest równa polu powierzchni tworzą wymnażane
wektory a wysokość – wektor wynikowy.
Samodzielnie powtórzyć:
- Graficzne sumowanie wektorów (metoda równoległoboku lub trójkąta). Przed graficznym sumowaniem
wektorów przemieszczamy je tak, żeby ich początki znalazły się w tym samym punkcie. Uwaga:
Odejmowanie wektora to dodawanie wektora o przeciwnym zwrocie (znaku).
- Rozkład wektora na składowe.
- Proste operacje matematyczne na wektorach (dodawanie i odejmowanie analityczne, mnożenie przez
skalar).
- Definicje funkcji trygonometrycznych i ich wartości dla podstawowych kątów.
1
Wersory osi
WERSOR – wektor jednostkowy w kierunku dodatnim danej osi układu współrzędnych
|| || 1
1,0,0
0,1,0
0,0,1
· 1
· 0
0
Wektor w układzie współrzędnych
Współrzędne wektora:
a = ax i + a y j + az k
b = bx i + b y j + bz k
Suma i różnica wektorów:
a + b = (a x + bx )i + (a y + b y ) j + (a z + bz )k
a − b = (a x − b x )i + (a y − b y ) j + (a z − b z )k
Mnożenie wektora przez skalar:
c ⋅ a = ca x i + ca y j + ca z k
Iloczyn skalarny i wektorowy:
a o i = ax
a o b = a x b x + a y b y + a z bz
i
j
k
a × b = ax
ay
a z = (a y bz − a z b y )i + (a z bx − a x bz ) j + (a x b y − a y bx )k
bx
by
bz
Iloczyn mieszany (wynik jest liczbą równą objętości równoległościanu utworzonego przez wektory):
(a × b) o c = (b × c) o a = (c × a) o b
(a × b) o c = a o (b × c)
Gdy iloczyn mieszany = 0, to wektory leżą w jednej płaszczyźnie.
2
Długość wektora:
a = a o a = ax + ay + az
2
2
2
Własności iloczynu skalarnego:
• przemienność:
aob = boa
• rozdzielność względem dodawania:
a o (b + c) = a o b + a o c
• interpretacja geometryczna: długość wektora b razy rzut wektora a na kierunek wektora b .
• iloczyn podwójny:
a o (b o c) = wektor o wartości równej objętości równoległościanu opartego na
wektorach a, b, c.
Własności iloczynu wektorowego:
• nieprzemienny!
a × b = −b × a
• rozdzielność względem dodawania:
a × (b + c) = a × b + a × c
• a×a = 0
• interpretacja geometryczna wartości: pole równoległoboku zakreślonego przez wektory.
• iloczyn podwójny (wynik jest wektorem leżącym w płaszczyźnie bc):
( ) ( )
a × (b × c) = b a o c − c a o b
3