Zestaw drugi: iloczyn skalarny i wektorowy

Zadania z geometrii B
Zestaw 1: iloczyn skalarny i wektorowy
W zadaniach należy/można skorzystać z właśności iloczynu skalarnego oraz/lub iloczynu wektorowego.
~ = [3, −6, 6]. Znaleźć wektor unormowany
1. W przestrzeni euklidesowej R3 dane są wektory ~v = [1, 2, 2], w
~u, który dzieli kąt ∠(~v, w
~ ) na połowy.
~ o długościach równych odpowiednio 5, 8 i takie, że
2. W przestrzeni euklidesowej V dane są wektory ~v, w
~ } |=
| ∠{~v, w
π
3.
~ , (b) ~v − w
~ , (c) 2~v − 3~
Znajdź długość wektora (a) ~v + w
w.
~ = [2, −3, 1], ~u = [−3, 1, 2]. Znaleźć współ3. W przestrzeni euklidesowej R3 dane są wektory ~v = [1, 2, 3], w
~)×w
~ , (b) ~v × (~
rzędne wektora (a) (2~v + w
w × ~u).
~ = [2, 1, 1]. Obliczyć sin(∠{~v, w
~ }), oraz
4. W przestrzeni euklidesowej R3 dane są wektory ~v = [0, 1, −1], w
~ }).
tg(∠{~v, w
~ takie, że | ∠{~v, w
~ } |= π3 . Obliczyć
5. W przestrzeni euklidesowej V dane są wektory unormowane ~v, w
(a) |(2~v + 3~
w) × (~
w − ~v)|,
~ |2 + 2 ~v ◦ w
~.
(b) |~v × w
6. Obliczyć następujące iloczyny wektorowe: ~e1 × ~e3 , ~e3 × ~e2 , ~e1 × ~e3 , [1, 0, 1] × [2, 3, 1], ([1, 1, 1] ×
[2, 1, 1]) × [1, 1, 0].
~ , ~u będą dowolnymi wektorami przestrzeni euklidesowej R3 . Wykaż, że:
7. Niech ~v, w
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
(g)
~ |2 + ~v ◦ w
~ > = |~v|2 + |~
|~v × w
w|2 ,
~ + ~u = ~0, to ~v × w
~ =w
~ × ~u = ~u × ~v,
jeśli ~v + w
~ ) ◦ ~u = ~v ◦ (~
(~v × w
w × ~v),
~ ) ◦ ((~
(~v + w
w + ~u) × (~u × ~v)) = 2~v ◦ (~
w × ~u),
~ ) × ~u = w
~ × (~v × ~u) − ~u × (~v × w
~ ),
(~v × w
~ ) × ~u + w
~ × (~u × ~v) + ~u × (~v × w
~ ) = ~0.
(~v × w
~ | = |~v| · |~
~ }).
|~v × w
w| · sin(∠{~v, w
~ będą liniowo niezależnymi wektorami trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Sprawdź, że
8. Niech ~v, w
~ , ~v × (~v × w
~ ) jest bazą prostopadłą tej przestrzeni.
układ wektorów ~v, ~v × w
9. Niech a, b będą długościami boków równoległoboku, zaś p i q długościami jego przekątnych. Udowodnij
(na dwa sposoby: elementarnie i z użyciem wektorów), że p2 + q 2 = 2a2 + 2b2 .
10. Udowodnij, że jeśli ABCD jest prostokątem, to dla dowolnego punktu M mamy M A2 + M C 2 = M B 2 +
M D2 .
11. Dany jest trapez o prostopadłych przekątnych. Długości jego podstaw wynoszą 4 i 3. Znajdź długość boku,
który tworzy z dłuższą podstawą kąt
π
3.
12. Dany jest trójkąt ABC o bokach AC = 4, BC = 3 i kącie ∠ABC =
2π
3 .
Znaleźć odległość wierzchołka C
od punktu M , który dzieli podstawę AB stosunku 1 : 3.
13. Udowodnić, że jeśli dwie środkowe trójkąta są do siebie prostopadłe, to suma ich kwadratów jest równa
kwadratowi trzeciej środkowej.
14. Na podstawie AB trójkąta ostrokątnego ABC dany jest punkt P . Udowodnij że P C 2 = AC 2 − AP · BP .
Jak zmieni się wzór jeśli punkt P będzie leżał na przedłużeniu podstawy AB ale nie wewnątrz boku AB.
15.
16.
17.
18.
Obliczyć sumę kwadratów długości środkowych trójkąta o bokach a,b,c.
Udowodnić (wektorowo), że wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Dane są kąty ∠A, ∠B, ∠C trójkąta ABC. Oblicz kąd ϕ = ∠BAM , gdzie M jest środkiem boku BC.
Dane są kąty ∠A, ∠B, ∠C trójkąta ABC. Oblicz kąt ϕ = ∠DCM , gdzie M jest środkiem podstawy AB,
zaś D punktem przecięcia środkowej kąta ∠C z podstawą AB.
19. Dane są kąty ∠A, ∠B, ∠C trójkąta ABC. Niech M będzie środkiem boku BC; N punktem przecięcia
20.
wysokości poprowadzonej z wierzchołka ∠C z podstawą AB; O punktem przecięcia AM z CN . Oblicz
ϕ = ∠AOC.
−−→
−→
−−→
Dane są wektory ~a = CB,~b = CA. Znaleźć wektor ~e = CO, gdzie O jest środkiem okręgu opisanego na
trójkącie ABC.
21. Dane są kąty płaskie kąta trójściennego. Obliczyć jego kąty dwuścienne.
22. Dane są kąty dwuścienne kąta trójściennego. Obliczyć jego kąty płaskie.
1
−→
−−→
−−→
Znajdź wektor CP .
−→
−−→
−−→
Dane są wektory OA = ~a, OB = ~b, OC = ~c. Wektory ~b i ~c są liniowo niezależne. Niech H będzie rzutem
−−→
−−→
(prostopadłym) punktu A na płaszczyznę OBC. Znajdź wektor OH = ~h oraz AH.
23. Dane są wektory CA =, CB = ~a = ~0. Niech P będzie rzutem (prostopadłym) punktu A na prostą BC.
24.
25. Dane są długości boków a = OA, b = OB, c = OC równoległościanu i kąty płaskie ∠BOC = α, ∠COA =
β, ∠AOB = γ przy wierzchołki O.
(a) Oblicz długość przekątnej d = OD tego równoległościanu;
(b) Oblicz kąty jakie przekątna OD tworzy z krawędziami OA,OB,OC.
Jak zmienią się wzory jeśli równoległościan będzie prostopadłościanem?
26. Dane są kąty płaskie α, β ,γ kąta trójściennego o wierzchołku O. Z wierzchołka tego wychodzi prosta l
która tworzy ten sam kąt ϕ z krawędziami kąta trójściennego. Obliczyć ϕ.
2