Rozwiązanie T4

XLV OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP I
Zadania teoretyczne
ZADANIE T4
Nazwa zadania: „Sprawność
silnika cieplnego”.
Oblicz sprawność silnika cieplnego pracującego w cyklu przedstawionym na rycinie
5. Ciałem roboczym jest dwuatomowy gaz doskonały.
V
2VO
VO
TO
2TO
3TO
T
Ryc.5
ROZWIĄZANIE ZADANIA T4
Przedstawmy wykres cyklu w zmiennych p-V (ryc.1). Załóżmy, że cyklicznym
przemianom poddano n moli gazu. Z równania stanu gazu doskonałego pV = nRT,
gdzie p, V i T oznaczają odpowiednio ciśnienie, objętość i temperaturę gazu, zaś R
oznacza stałą gazową, otrzymujemy dla charakterystycznych punktów cyklu
następujące związki (przyjmujemy nRT0 = p 0V0 ) :
nRT1 = p 0V0 ,
nRT2 = 3 p 0V0 ,
nRT3 = ( 3 / 2) p 0 2V0 ,
nRT4 = ( 3 / 2 ) p 0 3V0 ,
nRT5 = p 0 3V0 , gdzie T1 = T0 , T2 = T3 = T5 = 3T0 , T4 = ( 9 / 2 )T0 .
p
2
3pO
2pO
pO
3
4
pO
5
1
VO
2VO
3VO
V
Ryc.6
Sprawność cyklu jest równa stosunkowi (efektywnej) pracy L wykonanej przez silnik
do ciepła pobranego Q pobr
η=L / Q pobr .
Praca jest równa polu figury 1-2-3-4-5-1 na diagramie p-V, Mamy więc
L=
2 V0
∫
pdV − p 0V0 + ( 1 / 2) p0 V0 = nRT2
V0
2 V0
∫ (1/ V ) dV − (1/ 2) p V
0
0
= nRT2 ln 2 − ( 1 / 2 ) p 0V0 .
V0
Ciepło pobierane na izochorze 1-2 jest równe
Q12 = nCV ( T2 − T1 ) ,
gdzie CV jest molowym ciepłem gazu w stałej objętości, zaś ciepło pobierane na
izobarze 3-4 wynosi
Q34 = nC p ( T4 − T3 ) ,
gdzie C p jest molowym ciepłem gazu pod stałym ciśnieniem. Ciepło Q23 pobierane
2V0
na izotermie jest równe pracy
∫ pdV , co wynika z tego, że energia wewnętrzna jest
V0
stała dla T= const.
Q23 = nRT2 ln 2,
Ciepło pobrane w rozważanym procesie cyklicznym wynosi
Q pobr = Q12 + Q23 + Q34 = ( CV / R ) nR ( T2 − T1 ) + nRT2 ln 2 + ( C p / R ) nR ( T4 − T3 ).
Podstawiając CV = ( 5 / 2) R i C p = ( 7 / 2 ) R (gaz dwuatomowy) i wyrażając nRT1 we
wzorach na pracę L i ciepło Q pobr przez odpowiednie wielokrotności p 0V0 obliczamy
sprawność cyklu:
[
]
η = L / Q pobr = [ 3 p0 V0 ln 2 − p 0V0 / 2 ] / ( CV / R) 2 p 0V0 + 3 p 0V0 ln 2 + ( C p / R) ( 3 / 2 ) p0 V0 =
= ( 3 ln 2 − 1 / 2 ) / ( 3 ln 2 + 41 / 4) = 0,128 .
Sprawność silnika pracującego w rozważanym cyklu jest znacznie mniejsza od
sprawności silnika Carnota pracującego pomiędzy chłodnicą o temperaturze T1 = T0
i grzejnikiem o temperaturze T4 = 4,5T0 , dla którego η = (T4 − T1 ) / T1 = 7 / 9.
Źródło:
Zadanie pochodzi z czasopisma „Fizyka w Szkole” maj-czerwiec 96r.
Komitet Okregowy Olimpiady Fizycznej w Szczecinie
www.of.szc.pl