Wykład 4 Pierścienie Pierścieniem nazywamy niepusty zbiór

Wykład 4
Pierścienie
Pierścieniem nazywamy niepusty zbiór P wraz z dwoma (binarnymi) działaniami + i · (będziemy często pisać (P, +, ·)) w tym zbiorze, które spełniają
następujące aksjomaty. Dla każdych a, b, c ∈ P :
(1) Jeśli a, b ∈ P wtedy a + b, a · b ∈ P .
(2) a + (b + c) = (a + b) + c.
(3) a + b = b + a.
(4) Istnieje element 0P ∈ P , taki że dla każdego a ∈ P mamy a + 0P =
0P + a = a.
(5) Dla każdego elementu a ∈ P równanie a + x = 0P ma rozwiązanie w P .
(6) a(bc) = (ab)c.
(7) a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc.
Element 0P nazywać będziemy elementem neutralnym dodawania lub w
skrócie zerem pierścienia. Rozwiązanie równania a + x = 0P nazywać będziemy elementem przeciwnym do a i zapisywać będziemy je w postaci −a.
Przykładami pierścieni są struktury (Z, +, ·), (Zn , +n , ·n ).
Będziemy mówić, że pierścień (P, +, ·) jest przemienny jeśli:
(8) ab = ba dla każdych a, b ∈ P .
Będziemy mówić, że pierścień (P, +, ·) jest pierścieniem z jedynką jeśli
istnieje element 1P taki, że:
(9) a · 1P = 1P · a = a dla każdego a ∈ P .
Pierścienie (Z, +, ·) i (Zn , +n , ·n ) są przykładami pierścieni przemiennych
z jedynką. Przykładem pierścienia bez jedynki może być (2Z, +, ·) czyli zbiór
liczb całkowitych parzystych ze zwykłymi działaniami.
Mówimy, że niepusty podzbiór S zbioru P jest podpierścieniem jeśli struktura (S, +, ·)jest pierścieniem, gdzie działania są takie same jak w pierścieniu
P . Inaczej mówiąc dla pierścienia (S, +, ·) muszą być spełnione aksjomaty
(1) − (7). Nietrudno jest zauważy, że S jest podpierścieniem pierścienia P
wtedy i tylko wtedy gdy:
Jeśli a, b ∈ S to a + b, a · b ∈ S.
0P ∈ S.
Jeśli a ∈ S to rozwiązanie równania a + x = 0p też należy do zbioru S.
Przykładami podpierścieni pierścienia (Z, +, ·) są (nZ, +, ·).
Przykład Niech Mn (R) oznacza zbiór macierzy n × n o współczynnikach
rzeczywistych. Wtedy Mn (R) wraz z działaniami + dodawania macierzy i ·
1
mnożenia macierzy jest pierścieniem. Pierścień ten posiada element neutralny
mnożenia I ( a więc jest to przykład pierścienia z jedynką). Jeśli n > 1 to
pierścień ten jest nieprzemienny.
Podobnie można rozpatrywać pierścienie macierzy o współczynnikach całkowitych (Mn (Z)), wymiernych (Mn (Q)), lub o współczynnikach z pierścienia
Zk czyli o pierścieniu Mn (Zk ).
Przykład Niech C oznacza zbiór funkcji ciągłych, które przekształcających
R w R. Wtedy funkcje można dodawać i mnożyć:
(f + g)(x) = f (x) + g(x),
(f g)(x) = f (x)g(x)
Można udowodnić, że suma i iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą,
a więc struktura (C, +, ·) jest pierścieniem. Jest to pierścień przemienny z
jedynką. Pierścień ten jest podpierścieniem pierścienia wszystkich funkcji,
które przekształcają R w R.
Mówimy, że przemienny pierścień z jedynką (P, +, ·) jest dziedziną całkowitości lub pierścieniem bez dzielników zera jeśli 0P 6= 1P i spełniony
następujący aksjomat:
(11) Jeśli dla a, b ∈ P mamy ab = 0P to a = 0P lub b = 0P .
Przykładami pierścieni bez dzielników zera są (Z, +, ·), (R, +, ·) lub pierścień (Zp , +p , ·p ), gdzie p jest liczbą pierwszą. Pierścieniem, który nie jest
dziedziną jest (Z6 , +6 , ·6 ), bo 2 ·6 3 = 0.
Element a ∈ P pierścienia z jedynką (P, +, ·) nazywamy odwracalnym
jeśli
(12) Równanie a · x = x · a = 1P ma rozwiązanie.
Element, który jest rozwiązaniem tego równania nazywamy elementem odwrotnym do a i oznaczamy go przez a−1 .
Mówimy, że pierścień z jedynką (P, +, ·) jest pierścieniem z dzieleniem
jeśli każdy niezerowy element pierścienia P jest odwracalny. Na przykład
(Z, +, ·) nie jest pierścieniem z dzieleniem, a (R, +, ·) jest.
Przemienny pierścień z dzieleniem nazywamy ciałem.
Twierdzenie 1 Pierścień (Zp , +p , ·p ) jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy p
jest liczbą pierwszą.
Zadanie Udowodnić, że podpierścień pierścienia macierzy M2 (R), który składa się z macierzy o postaci:
"
#
a b
−b a
jest ciałem.
2
Zadanie Udowodnić, że podpierścień pierścienia macierzy M2 (C), który składa się z macierzy o postaci:
"
a + bi c + di
−c + di a − bi
#
jest pierścieniem z dzieleniem i nie jest ciałem (to znaczy każdy niezerowy
element jest odwracalny, ale mnożenie jest nieprzemienne).
Pokażemy teraz, że można konstruować iloczyn kartezjański pierścieni:
Twierdzenie 2 Niech (R, +, ·), (S, +, ·) będą dwoma pierścieniami. Wtedy
zbiór R × S wraz z działaniami:
(r, s) + (r0 , s0 ) = (r + r0 , s + s0 )
(r, s) · (r0 , s0 ) = (r · r0 , s · s0 )
jest pierścieniem. Jeśli R i S są pierścieniami przemiennymi to R × S też,
jeśli oba pierścienie posiadają jedynki 1R , 1S to R × S też posiada jedynkę
(1R , 1S ).
Dowód Ćwiczenie.
Zadanie Skonstruować tabelki dodawania i mnożenia w pierścieniu Z2 × Z3 .
Pokażemy teraz kilka ważnych własności pierścieni:
Twierdzenie 3 Jeśli P jest pierścieniem to równanie a + x = 0P ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Dowód Przypuśćmy, że równanie to ma dwa rozwiązanie, nazwijmy je u i v.
Wtedy a + u = u + a = 0P , a + v = v + a = 0P i mamy:
u = u + 0P = u + (a + v) = (u + a) + v = 0P + v = v.
a więc udowodniliśmy, że u równa się v. To oznacza, że równanie ma dokładnie
jedno (istnienie rozwiązania wynika z aksjomatyki pierścieni).
Jak powiedzieliśmy już wcześniej element przeciwny do a (czyli rozwiązanie równania a + x = 0P ) oznaczać będziemy przez −a. Pozwala nam to
na zdefiniowanie odejmowania w pierścieniu w następujący sposób: a − b :=
a + (−b).
Twierdzenie 4 Jeśli w pierścieniu spełniona jest równość a + b = a + c to
b = c.
Dowód Ćwiczenie.
3
Twierdzenie 5 Dla każdych elementow a, b pierścienia P mamy:
(1) a · 0p = 0P · a = 0P .
(2) a(−b) = (−a)b = −(ab).
(3) −(−a) = a.
(4) −(a + b) = (−a) + (−b).
(5) −(a − b) = −a + b.
W dowolnym pierścieniu można zdefiniować potęgowanie elementów ja0
ko an = a
| · a{z· · · a}. Możemy również zdefiniować potęgę a jako 1P (jeśli P
n×
posiada jedynkę). Dokładnie tak samo jak w pierścieniu liczb całkowitych
potęgowanie ma następujące własności:
(1) an+m = an · am .
(2) anm = (an )m .
4