Pierścienie noetherowskie. Twierdzenie Hilberta o bazie.

Pierścienie noetherowskie.
Twierdzenie Hilberta o bazie.
Jakub Skiepko
Założenie globalne: każdy z pierścini, o których mowa, jest pierścieniem
przemiennym z jedynką.
Definicja 1 Pierścieniem noetherowskim nazywmy pierścień w którym każdy ideał jest skończenie generowany
Fakt 2 Dowolne ciało jest pierścieniem noetherowskim
Fakt 3 Podpierścień pierścienia noetherowskiego nie musi być noetherowski.
Stwierdzenie 4 R jest pierścieniem noetherowskim i f : R → S epimorfizm
pierścieni wtedy S też jest noetherowski
Twierdzenie Cohena
Twierdzenie 5 Pierścień A jest noetherowski wtedi i tylko wtedy gdy każdy
ideał pierwszy jest skończenie generowany
Definicja 6 Wstępujący ciąg ideałów I1 ⊂ I2 ⊂ · · · stabilizuje się jeżeli
∃k Ik = Ik+1 = · · ·
Twierdzenie 7 Następujące warunki są równoważne:
1. Każda rodzina ideałów głównych ma element maksymalny
2. Każdy wstępujący ciąg ideałów stabilizuje się
3. Każdy ideał jest skończenie generowany
Lemat 8 Niech A i B pierścienie. Każdy ideał I A×B jest postaci I1 ×I2
gdzie I1 A, I2 B
Stwierdzenie 9 Niech A i B pierścienie noetherowskie, wtedy A × B też
jest noetherowski.
1
Definicja 10 Element a pierścienia R nazywamy nilpotentnym jeżeli an = 0
Definicja 11 Nilradykałem pierścienia R nazywamy zbiór jego elementów
nilporentnych
Fakt 12 Nilradykał jest ideałem
Stwierdzenie 13 Niech R będzie nilradykałem pierścienia noetherowskiego
wtedy
∃n Rn = (0)
Stwierdzenie 14 Niech R będzie pierścieniem noetherowskim a f : R → R
epimorfizmem, wtedy f jest automorfizmem
Stwierdzenie 15 Jeżeli R jest pierścieniem i R[x] jest pierścieniem noetherowskim, to R też jest noetherowski
Twierdzenie Hilberta o bazie:
Twierdzenie 16 Jeżeli pierścień R jest noetherowski, to R[x] też jest noetherowski
Wniosek 17 dla dowolnego ciała k, k[x1 , x2 , . . . , xn ] jest pierścieniem noetherowskim
Definicja 18 Pierścień R nazywamy artinowskim, jeżeli dla każdego ciągu
zstępującego ideałów I1 ⊃ I2 ⊃ · · · zachodzi ∃k Ik = Ik + 1 = · · ·
Lemat 19 Niech p1 , p2 , . . . właściwe ideały pierwsze pieścienia R, a A nilradykał, wtedy A = p1 ∩ p2 ∩ · · ·
Lemat 20 Ideał pierwszy pierścienia arthinowskiego jest ideałem maksymalnym i istnieje skończenie wiele ideałów maksymalnych
Twierdzenie 21 Pierścień artinowski jest pierścieniem noetherowskim.
Definicja 22 Niech A dziedzina i S ⊂ A podgrupa multiplikatywna. Określmy relację ∼ na A × S: (a, s) ∼ (b, t) ⇔ at = bs. Lokalizacją pierścienia
S −1 A nazywamy pierścień klasy abtrakcji S × A/ ∼ z mnożeniem as . bt = ab
st
i dodawaniem as + bt = at+bs
st
Stwierdzenie 23 Niech R dziedzina noetherowska, S ⊂ R podgrupa multiplikatywna, wtedy S −1 R noetherowski
2