Metodyka nauczania geometrii Ćwiczenia 2 Waldemar Pompe 1

Metodyka nauczania geometrii
Ćwiczenia 2
Waldemar Pompe
1. Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej AB. Punkt D jest spodkiem
wysokości opuszczonej z wierzchołka C. Wiedząc, że AD = a oraz DB = b, obliczyć długość
odcinka CD.
) ACB = 36◦ . Dwusieczna kąta
2. Dany jest trójkąt ABC, w którym AC = BC = 1 oraz <
BAC przecina bok BC w punkcie D. Obliczyć długość odcinka BD.
3. Dany jest trójkąt ABC, w którym AB = 2 oraz BC = CA = 3. Punkt K jest środkiem odcinka BC, a punkt L leży na boku AC, przy czym KL = 1. Wyznaczyć długość
odcinka AL.
4. Okrąg o środku I jest wpisany w trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD.
Wiedząc, że BI = a oraz CI = b obliczyć pole trapezu ABCD.
5. Dany jest trójkąt ABC. Przy pomocy cyrkla i linijki skonstruować takie punkty D, E,
F leżące odpowiednio na bokach BC, CA, AB, aby trójkąt DEF był równoboczny oraz
AB ⊥ DF .
6. Trójkąt ABC ma pole 1. Punkty D, E leżą na boku BC, punkty F , G leżą na boku
CA, a punkty H, I leżą na boku AB, przy czym BD = DE = EC, CF = F G = GA oraz
AH = HI = IB. Obliczyć pole sześciokąta DEF GHI.
7. Punkt D leży na boku AC trójkąta ABC. Prosta przechodząca przez punkt D i równoległa do prostej AB rozcina trójkąt ABC na dwie figury o równych polach. Obliczyć iloraz
AD/DC.
8. Odcinek łączący środki ramion trapezu dzieli go na dwa czworokąty o polach 4 i 6.
Obliczyć pola trójkątów, na jakie dzieli ten trapez jego przekątna.
9. Wykazać, że środki boków czworokąta wypukłego są wierzchołkami równoległoboku
o polu równym połowie pola wyjściowego czworokąta.
10. Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej AB. Punkt D jest spodkiem
wysokości opuszczonej z wierzchołka C. Obwody trójkątów ACD i BCD wynoszą odpowiednio p i q. Obliczyć obwód trójkąta ABC.
) ACB = 90◦ . Punkt D jest rzutem prostokątnym
11. Dany jest trójkąt ABC, w którym <
punktu C na prostą AB. Wiedząc, że obwody trójkątów ACD i BCD wynoszą odpowiednio
p i q, obliczyć iloraz AD/DB.
12. Okręgi o1 i o2 przecinają się w punktach A i B. Punkt P leży na prostej AB, poza
odcinkiem AB. Prosta a, różna od prostej AB, przechodzi przez punkt P i przecina okrąg
o1 w punktach C i D. Prosta b, różna od prostych a i AB, przechodzi przez punkt P
i przecina okrąg o2 w punktach E i F . Wykazać, że punkty C, D, E, F leżą na jednym
okręgu.
13. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. Prosta przechodząca przez punkt A i prostopadła
do prostej BC przecina okrąg o średnicy BC w punktach D i E. Prosta przechodząca
przez punkt B i prostopadła do prostej AC przecina okrąg o średnicy AC w punktach F
i G. Wykazać, że punkty D, E, F , G leżą na jednym okręgu.
14. Z punktu P leżącego na zewnątrz okręgu o poprowadzono styczne do tego okręgu
w punktach C i D. Przez punkt P poprowadzono również prostą, która przecina okrąg o
w punktach A i B. Wykazać, że
AC · BD = BC · DA .
15. Z punktu P leżącego na zewnątrz okręgu o poprowadzono styczną do tego okręgu
w punkcie C. Przez punkt P poprowadzono również prostą, która przecina okrąg o w punktach A i B, przy czym P A > P B. Obwody trójkątów ACP i BCP wynoszą odpowiednio
p, q. Obliczyć iloraz AB/BP .