fizyka - laboratorium niepewnością

FIZYKA - LABORATORIUM
dr hab. inż. Michał K. Urbański,
Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej,
pok 127B Gmach Fizyki, [email protected]
www.if.pw.edu.pl/ ∼murba
konsultacje czwartek 17-18 GF
strona Wydziału Fizyki
www.fizyka.pw.edu.pl
System pomiarowy
x̃ wartość zmierzona (odczytana z przyrządu)
∆x – błąd.
x̃ = x0 + ∆x
(2)
ALE
Nie znamy ani wartości prawdziwej ani błędu,
mamy tylko odczyt z przyrządu.
Możemy tylko oszacować błędy, takie oszacowane nazywamy:
NIEPEWNOŚCIĄ
Źródła błędów Żródłem błędów są:
1. Model obiektu, założenia dotyczące języka opisu
obiektów.
2. Doprowadzenie wielkości mierzonej do przyrządu,
zakłócenia sygnałów.
Oddziaływania na obiekt i układ pomiarowy
Rodzaje pomiarów, dwa typy pomiarów:
3. Wpływ przyrządu na obiekt mierzony.
1. pomiar bezpośredni,
wartość mierzonej wielkości pokazuje przyrząd,
przykłady
masa (ciężar) mierzona wagą szalkową, długośc
mierzona linijką, czas mierzony zegarkiem, napięcie mierzone woltomierzem
4. Wzorce – odniesienia, względem których mierzone
są wartości wielkości
Wzorcowanie – przenoszenie wartości wzorcowej
na przyrząd.
2. pomiar pośredni:
6. Błędy odczytu.
5. Działanie przyrządu pomiarowego, histereza, nieliniowości, błąd przetwarzania.
• wyznaczenia wartości mierzonej wielkości poprzez wyliczenie ze wzoru opisującego zjawisko:
z = f (x, y)
(1)
7. Błędy interpretacji
Metody szacowania niepewności – publikacje
i organizacje
Metody szacowania niepewności ujęte są zasadami
gdzie: x i y wielkości mierzone bezpośrednio. ISO (International Organization for Standardization
np: R = U/I, gdzie: U –napięcie zmierzone www.iso.org).
woltomierzem,
Podstawowy dokument
I–natężenie prądu mierzone amperomierzem. GUIDE TO THE EXPRESSION OF UNCERTAINTY
• metoda najmnieszych kwadratów, metoda IN MEASUREMENT, ISO/GIMP
statystyczna analizy zależności zmierzonych
w skrócie „Przewodnik”
empirycznie.
BIMP – Bureau International des Poids et Mesures
Dokument ten został ratyfikowany przez
Błąd i niepewność
Główny Urząd Miar Rrzeczypospolitej Polskiej
Błąd różnica pomiędzy wartością zmierzona a poKlasyfikacja błędów i niepewności
prawną („prawdziwą”):
x0 – wartość poprawna („prawdziwa”)
x̃ = x0 + ∆x
(3)
1
x0 – wartość poprawna („prawdziwa”), x̃ wartość zmierzona (odczytana z przyrządu), ∆x – błąd.
∆x = ∆xs + ∆xr
Metoda statystyczna oceny niepewności
N
{xi }i=1 seria N danych pomiarowych wykonanych
jednym przyrządem w warunkach powtarzalności dla
tego samego obiektu.
Estymator wartości zmierzonej – średnia z próby:
(4)
∆xs –składowa systematyczna błędu,
∆xr – składowa przypadkowa błędu,
zakładamy, że ∆xr jest zmienną losową.
Błąd systematyczny, błąd graniczny Załóżmy,
że pomiar jest jednokrotny lub też składowa przypadkowa jest bardzo mała.
x̃ = x0 + ∆x
xsr = x̄ =
(12)
Niepewność standardowa = estymator odchylenia
standardowego wartości średniej:
Niepewność rozszerzona dla poziomu ufności p:
N
U (x) = Kp s {xi }i=1
(13)
(5)
jeśli ∆x ∈ [−∆xmax , ∆xmax ]
to: x0 ∈ [x̃ − ∆xmax , x̃ + ∆xmax ] co zapiszemy:
x0 = x̃ ± ∆max x
N
1 X
xi
N i=1
Gdzie współczynnik Kp wynika z rozkładu prawdodpodobieństwa. Dla rozkładu normalnego Kp ≈ 2
Estymacja niepewności
s estymator odchylenia standardowego:
v
N
u
u 1 X
2
N
(xi − x̄)
(14)
s {xi }i=1 = t
N − 1 i=1
(6)
inaczej: wynik pomiary reprezentowany jest przedziałem:
[x̃ − ∆xmax , x̃ + ∆xmax ]
(7)
Jeśli wielkośc mierzona jest sumą dwóch wielkości:
z = x + y to wynik reprezentowany jest przedziałem:
standardowe średniej:
[x̃ − ∆xmax , x̃ + ∆xmax ] + [ỹ − ∆ymax , ỹ + ∆ymax ] = Odchylenie
(8) √1 s {xi }N
i=1
N
= [x̃ + ỹ − (∆xmax + ∆ymax ), x̃ + ỹ + ∆xmax + ∆ymax ] Niepewność rozszerzona U (x):
(9)
v
gdzie ∆x i ∆y są błędami granicznymi wielkości x i
u
u
N
y, a x̃ i ỹ, wynikami pomiarów, tak więc:
U (xsr ) = Kp s {xi }i=1 = Kp t
∆zmax = ∆xmax + ∆ymax oraz:
s(xsr )
=
N
X
1
2
(xi − x̄)
(N − 1)N i=1
(10)
(15)
(11) gdzie Kp – współczynnik zależny od poziomu ufności
p.
wzór powyższy opisuje propagację błędu granicznego.
z̃ = x̃ + ỹ
Dla p = 0, 95 przyjmiemy: K0,95 ≈ 2
Niestatystyczne metody szacowania niepewności
Błąd systematyczny – nie zmienia się przy kolejnych pomiarach.
Metody wyznaczania niepewności – dwa alNie znamy błędu i szacujemy niepewność na podstagorytmy GUM wyróżnie dwie metody wyznaczania wie analizy działania przyrządu i metod pomiarowych.
niepewności:
Zazwyczaj przyjmujemy, że niepewnością jest błąd
graniczny
– maksymalna wartość błędu jaka wynika
A. metoda A oparta o metody statystyczne serii daz
analizy
przyrządu
nych
(oznaczamy ∆max x lub w skrócie ∆x).
Przedział [x̃ − ∆max x, x̃ + ∆max x] interpretujemy
B. metoda B wykorzystująca inne niż statystycze mejako przedział, w którym na pewno znajduje się wartody
tość prawdziwa (poprawna).
Metoda statystyczna polega na analizie statystycznej
zazwyczaj będziemy pomijać oznaczenie max i przeserii pomiarów
Metoda niestatystyczna – polega na ustalenie roz- dział będziemy oznaczać:[x̃ − ∆x, x̃ + ∆x]. Jeżeli szukładu prawdopdobieństwa a priori opisujące możliw kana wielkość x0 :
rodzaje błędów na podstawie:
x0 ∈ [x̃ − ∆x, x̃ + ∆x] ⇔ x0 = x̃ ± ∆x
(16)
analiza systemu pomiarowego i oceny składowych systematycznych (nielosowych) i przypadkowych wynikagdzie x̃– wartość zmierzona.
jących z:
Przykład mierzymy długość miarka z podziałka mibudowy przyrządu, dokładności wzorcowania, oddziaływań środowiska (zakłóceń), doprowadzenia mierzo- limetrową,
zazwyczaj przyjmujemy niepewność 1mm.
nej wielkości do przyrządu, wływu przyrządu na obiekt,
Niepewność rozszerzona złożona
modelu obiektu mierzonego.
ALE
„Przewodnik” zaleca, aby w każdy przypadku
stosować
model probabilistyczny.
2
Niepewność złożona (całkowita) rozrzerzona dla
prawdopodobieństwa p:
r
1
2
2
(17)
Up (X) = Kp (s(x̄)) + (∆x)
3
N
X
1
b=
N
yi − a
i=1
N
X
!
= ȳ − ax̄
xi
(22)
i=1
Wzory na a i b można zapisać następująco:
gdzie K0,95 = 2.0, (p = 0, 95).
∆x składowa systematyczna (aparaturowa) niepewności przyrządu.
s(x̄) – estymator odchylenia standardowego wartości
średniej z danych pomiarowych.
N
P
(xi − x̄) yi
i=1
N
P
a=
(23)
2
(xi − x̄)
i=1
oraz:
b = ȳ − ax̄
METODA NAJMNIEJSZYCH
KWADRATÓW
gdzie:
Badane zjawisko (obiekt) opisane jest równaniem
y = f (x)
(24)
x̄ =
(18)
N
1 X
xi ,
N i=1
ȳ =
N
1 X
yi
N i=1
(25)
odchylenie standadowe zmiennej a:
2
N
W wyniku pomiarów mamy serię danych
P
Zadaniem jest znaleźć funkcję najlepiej pasująca do
(xi − x̄) σ 2 (Y )
σ 2 (Y )
danych doświadczalnych.
= N
σ 2 (a) = i=1
(26)
2
N
P
P
2
Mamy dwa zagadnienia:
2
(x
−
x̄)
i
(xi − x̄)
i=1
i=1
1. dobór rodziny funkcji,
N
Model pomiaru, mamy dane pomiarowe {xi , yi }i=1 ,
2. określenie kryterium dopasowania.
każdy pomiar zmiennej Y obarczony jest błędem przypadkowym ε:
Kryteria dopasowania
N
{xi , yi }i=1
Y = f (X) + ε = aX + b + ε
(27)
Kryterium dopasowania jest minimalizacja miary I
różnicy pomiędzy danymi doświadczalnymi a funkcją ε - zmienna losowa opisująca błąd wyznaczenia wartoopisana wzorem.
ści y.
Odchylenie standadowe σ(Y ) = σ(ε)
Celem jest taki dobór parametrów opisujących funkZmienna ε w każdym doświadczeniu ma realizację εi :
cję, dla których miara różnicy pomiędzy danymi doświadczalnymi a równaniem funkcji jest jak najmniejsza.
yi = axi + b + εi
estymator wariancji s(y):
Przykładem miary najczęściej stosowanej jest suma
różnic kwadratów:
I(a, b, c, · · · ) =
N
X
n
n
1 X
1 X 2
2
εi =
(yi − axi − b)
N − 2 i=1
N − 2 i=1
(29)
estymatory ochylenia standadowego:
s2 (y) =
2
(yi − fa,b,c (x))
(19)
i=1
Szukamy takich parametrów a, b, c dla których ta zależność jest minimalna.
Używa się też sumy kwadratów ale z wagami zależnymi
od niepewności pomiarów.
r
sa = σy
N 1
oraz sb = sa
N −2∆
2
gdzie: ∆ = N Sxx − (Sx ) , Sxx =
przykład, dopasowanie parametrów prostej
N
f (x) = ax + b do danych {xi , yi }i=1
I(a) =
2
(yi − (axi + b))
Syy =
a=
xi yi −
i=1
N
P
n
i=1
x2i
N
P
xi
i=1
N
P
−(
N
P
i=1
xi
N
P
yi2 , Sy =
N
P
yi
i=1
σy2 =
(20)
N
X
2
(yi − axi − by)
i=1
wzory na a i b mają postać:
1 2
a=
N Sxx − (Sx )
∆
yi
(21) i
b=
)2
i=1
3
Sxx
N
x2i , Sx =
oraz suma kwadratów błędów:
otrzymujemy:
N
P
N
P
i=1
i=1
n
r
i=1
gdy niepewności pomiarowe wszyskich punktów są takie same szukamy minimum:
N
X
(28)
1
(Sy Sxx − Sx Sxy )
∆
(30)
N
P
i=1
xi ,
OBLICZENIA DLA KAŻDEJ SERII (3 serie)
Ćwiczenie 1–Metody pomiarowe i opracowywanie
danych doświadczalnych.
1. wyznaczyć nachylenie metodą najmniejszych kwadratów i z tego wyliczyć rezystancję
Ćwiczenie ma następujące częsci:
1. Pomiar rezystancji i sprawdzanie prawa Ohma,
metoda najmniejszych kwadratów.
2. okreslić niepewność nachylenia na podstawie estymatora odchylenia standardowego sa dla współczynnika nachylenia. Niepewność U (a) = kp sa
2. Pomiar średnicy pręta. Wyznaczanie niepewności
całkowitej. Histogram.
3. Wyznaczyć rezystancję z danych o najwyższym
prądzie i wyznaczyc niepewnośc różniczka zupełną.
3. Pomiar czasu spadania małego ciała i badanie rozkładu (test hipotezy i matoda chikwadrat)
Wykonać N = 30 pomiarów średnicy pręta w różnych miejscach.
4. określić błąd spowodowany rezystancją woltomie2
rza. ∆R = RRV , gdzie R- zmnierona rezystancja,
RV rezystancja woltomierza.
Histogram
Wykonujemy eksperyment N razy
Histogram - rozkład częstości występowania zjawiska:
jest to wykres: n(xk )
Porównać wszystkie uzyskane nachylenia i ich niepewności.
We wnioskach opisać przyczyny różnic niepewności i
wartości rezystancji.
Wyznaczyć rezystancję z jednego punktu pomiarowego dla nawiększych wartości napięcia i natężenia
prądu:
U
R=
I
Niepewność rozszerzona składowej systematyczne
pochodzącej od przyrządu:
s
U (R) = ∆R =
Prawdopodobieństwo empiryczne:
dR
dI
2
∆2 I +
dR
dU
2
∆2 U
(32)
gdzie: ∆U i ∆I wyznacza się z danych przyrządu.
Całkowitą niepewność wynika ze wzoru na składanie
(31)
pk,exp
niepewności:
r
U
2 1
Prawo Ohma: liniowy związek I = .
2
R
Up (R) = Kp
s(R̄) + (∆R)
(33)
3
napięcie elekryczne U – bodziec wymuszający
gdzie K0,95 = 2.0, ∆x składowa systematyczna (apaprzepływ prądu I.
raturowa) niepewności przyrządu. R̄ wartość średnia
Natężenie prądu elektrycznego– przepływ wymuszony
serii pomiarowej. s(R̄) odchylenie standardowe wyznanapięciem elektrycznym.
czone metodą najmniejszych kwadratów.
n(xk )
= P (xk ) =
N
Należy szukać ogólnej postaci równania I = aU + I0
lub
U = aI + U0
POMIARY
Dwa rodzaje serii pomiarowych:
1. amperomierz cyfrowy, woltmierz cyfrowy
2. amperomierz cyfrowy, woltomier cyfrowy.
Dla każdego układu przyrządów wykonać serie pomiarów dla:
dwóch zakresów woltomieraz cyfrowego 2.0V, 20.0V,
oraz czterech zakresów woltomierza analogowego.
1V, 3V, 10V, 30V.
Otrzymamy dwie grupy danych trzy serie woltomierza cyfrowegi (małe, średnie i dla napięcia dla dwóch
mierników napięcia) i cztery analogowego
Cały czas kontrolować czy prąd nie jest za duży i czy
wskazania nie skaczą.
4