ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBRA

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR
WYKŠAD I
Maªgorzata Murat
Katedra Matematyki PL, DS 2, I pi¦tro, pok. 105
Informacje organizacyjne
http://elektron.pol.lublin.pl/users/muratm/index.html
[email protected]
LITERATURA:
1.
2.
3.
D. Wrzosek, Matematyka dla biologów, WUW 2008.
D. A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i
in»ynierów, PWN 2005.
M. Bodnar, Zadania z matematyki dla biologów,
WUW 2010.
Analiza matematyczna
dziaª matematyki, zaliczany do tzw. matematyki wy»szej,
obejmuj¡cy rachunek ró»niczkowy i caªkowy, badanie
przebiegów funkcji, szeregi i ci¡gi liczbowe oraz równania
ró»niczkowe. Podstawy analizy matematycznej stworzyli w
XVII wieku Izaak Newton i Gottfried Wilhelm von Leibniz.
Wspóªczesn¡ form¦ analiza matematyczna uzyskaªa w XIX
wieku dzi¦ki Augustin Louis Cauchy.
Funkcja
funkcja
wykresy funkcji elementarnych
ci¡g
punkt skupienia ci¡gu
granica ci¡gu
punkt skupienia zbioru
granica funkcji w punkcie skupienia jej dziedziny
funkcja ci¡gªa
Twierdzenie Weierstrassa
ZAŠO›ENIA:
f : [a, b] → R - ci¡gªa na (a, b) i lewostronnie ci¡gªa w b ,
prawostronnie ci¡gªa w a
TEZA:
f osi¡ga warto±¢ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ w pewnych
punktach przedziaªu [a, b]
Pochodna funkcji
iloraz ró»nicowy
pochodna funkcji w punkcie
funkcja ró»niczkowalna
ró»niczkowalno±¢ a ci¡gªo±¢
funkcja pochodna funkcji
zastosowania pochodnej
Twierdzenie Lagrange'a
ZAŠO›ENIA:
f jest ci¡gªa na [a, b]
f ma pochodn¡ na (a, b)
TEZA:
_
f (b) − f (a)
f 0 (c) =
b−a
c∈(a,b)
WNIOSKI:
f 0 (x) = 0 =⇒ f jest staªa
f 0 (x) > 0 =⇒ f jest rosn¡ca
f 0 (x) < 0 =⇒ f jest malej¡ca
Zasada optymalizacji
Encyklopedia PWN:
"Zasada optymalizacji - ewolucyjna zasada przyjmuj¡ca, »e
dobór naturalny faworyzuje takie dziedziczne sposoby
zachowania si¦ osobnika, które daj¡ najwi¦ksze korzy±ci (zyski)
przy najmniejszych stratach (kosztach)".
Optymalne strategie »erowania
drapie»nik »ywi si¦ du»ymi oarami o warto±ci
energetycznej E i maªymi oarami o warto±ci
energetycznej E (E < E )
drapie»nik napotyka oary z jednakow¡ cz¦stotliwo±ci¡ λ
w czasie T drapie»nik podejmuje nast¦puj¡ce typy
aktywno±ci
(1) poszukiwanie oar (Ts ) 
(2) schwytanie i konsumpcja 
( Tk )

(3) przyswajanie oar
1
2
2
1
Ts i Tk s¡ rozª¡czne i nast¦puj¡ kolejno po sobie oraz
T = Ts + Tk
czas potrzebny na schwytanie, konsumpcj¦ i przyswojenie
jednej oary du»ej wynosi T , a maªej T , gdzie T < T
1
2
2
1
Optymalne strategie »erowania
Który typ oary powinien by¢ chwytany przez drapie»nika?
miara dostosowania P - szybko±¢ przyswajania energii
E
P = , gdzie E - ilo±¢ jednostek energii przyswajanych
T
przez osobnika w czasie T
najlepiej dostosowany osobnik wybiera oar¦ tak, aby P
byªo maksymalne
α parametr okre±laj¡cy strategi¦ drapie»nika w jednostce
czasu: drapie»nik chwyta ±rednio α · λ du»ych oar i
(1 − α) · λ maªych oar