CZĘŚĆ III - drapieżnik i ofiara

Teoria chaosu deterministycznego
Cz¦±¢ trzecia.
Oara i drapie»ca
Gdy kota nie ma, myszy harcuj¡.
przysªowie ludowe
Gªównym celem zaj¦¢ b¦dzie analiza rozwi¡za« równa« ró»niczkowych zwyczajnych, czy raczej potoków przez nie generowanych. W szczególno±ci zajmiemy si¦ poszukiwaniem trajektorii w przestrzeni fazowej, wyznaczaniem
stabilnych i niestabilnych rozmaito±ci dla tzw. modelu Lotki-Volterry.
Sugerowane jest, aby przed zaj¦ciami przypomnie¢/przyswoi¢ sobie nast¦puj¡ce zagadnienia:
• Denicje orbity, stabilno±ci, asymptotycznej stabilno±ci, rozmaito±ci
stabilnych i niestabilnych z wykªadu.
B¦dziemy zajmowa¢ si¦ modelem konkuruj¡cych ze sob¡ populacji. Zaªó»my, »e opisany jest on poni»szym ukªadem równa«
(
ẋ = x (K − x − ay) ,
ẏ = y (L − y − bx) ,
gdzie K, L, a, b ∈ R+ , a x i y oznaczaj¡ odpowiednio liczno±ci ka»dej
z dwóch populacji.
Zadanie 1. (izokliny)
Przy pomocy funkcji RegionPlot[] i Manipulate[] zbadaj jak zachowuj¡
si¦ izokliny dla tego ukªadu równa« ró»niczkowych, zauwa» przypadki generyczne i niegeneryczne. Odczytaj z wykresu punkty staªe.
1
Zadanie 2. (punkty staªe)
Przy pomocy funkcji Solve[] oraz funkcji Or[], And[] znajd¹ punkty staªe.
Policz zlinearyzowan¡ praw¡ stron¦ wyj±ciowego równania, wyznacz jej warto±ci wªasne (funkcja Eigenvalues[]) i na tej podstawie okre± stabilno±¢
wyznaczonych punktów oraz podaj warunki stabilno±ci.
Zadanie 3. (pola wektorowe)
Sprawdzi¢ poprzednie zadania poprzez narysowanie pola wektorowego zwi¡zanego z analizowanym równaniem. Umie±¢ pole wektorowe, izokliny i punkty
staªe na jednym wykresie.
Zadanie 4. (szeregi czasowe)
Wygeneruj szeregi czasowe (funkcja NDSolve[]). Sprawd¹ jak zmiany parametrów wpªywaj¡ na wynik.
Zadanie 5. (podsumowanie konkurencji)
Zbierz wcze±niejsze wyniki i zwizualizuj je w jednym bloku Manipulate[],
tak, »eby zaprezentowa¢ jak zmiany parametrów mog¡ by¢ widoczne z ró»nych punktów widzenia. Pomocna mo»e okaza¢ si¦ funkcja GraphicsGrid[].
Rysunek 1: Populacja drapie»cy i oary w funkcji czasu.
2
Zadanie 6. (drapie»nik i oara)
Jak nale»y zmieni¢ rozwa»any równanie, aby zamiast opisywa¢ dwa konkuruj¡ce ze sob¡ gatunki staªo si¦ modelem relacji drapie»nik-oara? Sprawd¹
zmiany na wykresach w stylu zadania 5. Wygeneruj wykres podobny (w sensie jako±ciowym, a nie dokªadnej kopii, ze znacznikami wª¡cznie) do przedstawionego na rysunku 1.
Zadanie 7.
Zaobserwuj ró»nice w dynamice pomi¦dzy modelem konkuruj¡cych populacji, a modelem drapie»nik-oara. Zilustruj je na analogicznych wykresach z
zadania 7. i 5..
Zadanie 8. (podsumowanie)
Zbierz otrzymane wyniki i w estetyczny sposób przedstawi¢ je w notatniku.
Warto skorzysta¢ z menu Format. Przykªad formatowania arkusza Mathematiki dost¦pny na mojej stronie.
3