rozwiązanie

31OF_II_T1
KO OF Szczecin: www.of.szc.pl
XXXI OLIMPIADA FIZYCZNA (1981/1982). Stopień II, zad. teoretyczne – T1.
Źródło:
Komitet Główny Olimpiady Fizycznej;
Andrzej Nadolny, Krystyna Pniewska: Olimpiady Fizyczne XXIX – XXXI.
WSiP, Warszawa 1982.
Nazwa zadania:
Prędkość kątowa krążka leżącego na obracającej się tarczy.
Działy:
Dynamika
Słowa kluczowe:
przyspieszenie kątowe, współczynnik, tarcie dynamiczne, ruch po
okręgu, moment siły, bezwładności.
Zadanie teoretyczne − T1, zawody II stopnia, XXXI OF.
Pozioma, płaska tarcza obraca się wokół pionowej osi ze stałym przyspieszeniem kątowym A. W chwili, gdy prędkość kątowa tarczy wynosiła ω0 położono na niej jednorodny, płaski krążek tak, że jego środek znajduje się na osi obrotu tarczy (i pozostaje w tej pozycji przez
cały czas). Masa krążka wynosi m, jego promień − R (mniejszy od promienia tarczy). Współczynnik tarcia dynamicznego między krążkiem a tarczą jest równy f. Początkowa prędkość
kątowa krążka ω0 jest równa zeru. Wyznacz i przedyskutuj zależność prędkości kątowej
krążka od czasu ω (t ) .
Rozwiązanie
Ruch krążka odbywa się pod wpływem sił tarcia występujących na powierzchni styku
krążka z tarczą. Wartość tych sił zależy od jednostkowego nacisku krążka na tarczę, który
wynosi m g / π R 2 , gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim. (Założyliśmy tu jednorodność siły
nacisku jednostkowego w przypadku dwóch płaskich stykających się powierzchni, co zachodzi dzięki sprężystości stykających się ciał.) Siła tarcia działająca ze strony tarczy na dolną
powierzchnię krążka jest w każdym punkcie P tej powierzchni prostopadła do promienia wodzącego OP względem środka podstawy krążka O (rys. 1). Punkt O leży na osi krążka, która
pokrywa się z osią obrotu tarczy. Rozpatrzmy teraz część podstawy krążka w postaci wąskiego pierścienia o promieniu r i szerokości dr. Podzielimy ten pierścień na dużą liczbę N jednakowych elementów.
Oprac. PDFiA US, 2009
- 1/4 -
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl
31OF_II_T1
KO OF Szczecin: www.of.szc.pl
Rys. 1.
Powierzchnia takiego elementu jest równa
2πr
dr
N
więc przypadająca nań siła nacisku wynosi
mg 2 π r
2m g
dr =
rdr .
2
πR N
N R2
Wartość siły TN działającej na omawiany element jest równa iloczynowi siły nacisku
i współczynnika tarcia, a więc
2 f mg
TN =
r dr .
N R2
Odpowiednio moment siły TN względem punktu O jest równy
TN r =
2 f mg 2
r dr .
N R2
Mnożąc to wyrażenie przez liczbę elementów N otrzymamy wyrażenie na siły działający na
cały pierścień:
2 f mg 2
r dr .
R2
Całkowity moment M sił tarcia działających na krążek obliczamy stosując całkowanie
po r :
R
2 f mg 2
2 f m g R3 2
M =
d
r
r
=
= f mg R.
3
3
R 2 ∫0
R2
Moment bezwładności krążka stanowiącego walec (względem jego osi) wynosi
Oprac. PDFiA US, 2009
- 2/4 -
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl
31OF_II_T1
KO OF Szczecin: www.of.szc.pl
I=
1
m R2.
2
Zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego krążek będzie, więc obracał się
z przyspieszeniem kątowym
M 4 f g
ε= =
.
3 R
I
Przedyskutujemy teraz dwa możliwe przypadki ruchu krążka:
1. ε ≤ A , co zachodzi dla
3 RA
f ≤
.
4 g
Prędkość kątowa ω krążka będzie zwiększała się w funkcji czasu t zgodnie ze wzorem
ω (t ) = ε t =
4 f g
t
3 R
(1)
nigdy jednak nie dorówna prędkości kątowej Ω (t ) tarczy, a więc krążek nigdy „nie dogoni"
tarczy w jej ruchu obrotowym i cały czas będzie występował poślizg. Obie zależności ω (t )
i Ω (t ) dla tego przypadku są przedstawione na wykresie (rys. 2a).
Rys. 2.
2. ε > A , co zachodzi przy
f >
4 RA
.
3 g
Prędkość kątowa krążka ω (t ) , opisywana początkowo wzorem (1), zrówna się po czasie t0
z prędkością kątową Ω (t ) tarczy i będzie dalej opisywana zależnością
ω (t ) = Ω 0 + A t .
Oprac. PDFiA US, 2009
- 3/4 -
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl
31OF_II_T1
KO OF Szczecin: www.of.szc.pl
Przypadek ten ilustruje wykres (rys. 2b). Tarcie dynamiczne (związane z poślizgiem) zostanie
w tej sytuacji zastąpione tarciem statycznym. Wartość t0 obliczamy z przyrównania prędkości
kątowych krążka i tarczy.
ε t0 = Ω + A t0 .
Wynika stąd
t0 =
Ω0
.
4 f g
−A
3 R
Uwagi
W zadaniu tym największą trudność sprawiało zawodnikom obliczenie momentu sił
tarcia działających na krążek. Natomiast samo całkowanie nie stwarzało na ogół problemów.
Część zawodników usiłowała rozwiązać zadanie w układzie nieinercjalnym związanym
z obracającą się tarczą, tylko nielicznym udało się dojść tą znacznie trudniejszą drogą do poprawnego wyniku. Nie najmocniejszą stroną rozwiązań była także dyskusja.
Oprac. PDFiA US, 2009
- 4/4 -
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl