materialy_-_laboratorium_02a

Optymalizacja liniowa z wykorzystaniem „Optimization Toolbox For Matlab”
Składnia funkcji:
[x, fval]=linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)
Definicja problemu:
Dobór asortymentu produkcyjnego
Przykład 1.
Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: W1 i W2. W procesie produkcji tych wyrobów zużywa się
wiele środków, spośród których dwa są limitowane. Limity te wynoszą: środek I – 96000 jedn.,
natomiast środek II – 80000 jedn. Nakłady limitowanych środków na jednostkę wyrobów W1 i W2
podano w tabeli 1.
Tabela 1.
Jednostkowe nakłady
W1
W2
I
16
24
II
16
10
Wiadomo także, że zdolności produkcyjne jednego z wydziałów, stanowiącego wąskie gardło procesu
produkcyjnego, nie pozwalają produkować więcej niż 3000 szt. wyrobów W1 oraz 4000 szt. wyrobów
W2. Ponadto, działająca w ramach przedsiębiorstwa komórka analizy rynku ustaliła optymalne
proporcje produkcji wyrobów, które kształtują się odpowiednio 3:2. Cena sprzedaży (w zł) jednostki
wyrobu W1 wynosi 30, a wyrobu W2 – 40. Ustalić rozmiary produkcji przy założeniu, że uzyskany
przychód ze sprzedaży będzie maksymalny. Po znalezieniu rozwiązania wykonać ilustrację graficzną
i potwierdzić, iż znaleziony punkt jest optimum globalnym.
Środki produkcji
Przykład 2.
Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: W1 i W2. Do ich produkcji zużywa się m.in. dwa limitowane
surowce: S1 i S2. Zużycie tych surowców na jednostkę każdego z wyrobów, dopuszczalne limity zużycia
surowców oraz zyski jednostkowe ze sprzedaży wyrobów podano w tabeli 2.
Tabela 2.
Wyroby
W1
W2
Limit zużycia
surowca
Zużycie na jednostkę wyrobu surowca
S1
S2
12
8
4
8
480
640
Zysk jednostkowy
(w zł)
50
10
Ile należy produkować wyrobu W1, a ile wyrobu W2, aby nie przekraczając limitów zużycia surowców
zmaksymalizować zysk ze sprzedaży wyrobów? Ponadto należy uwzględnić warunek, że wyrobu W 1
powinno się produkować nie więcej niż wyrobu W2. Wykonać ilustrację graficzną.
Przykład 3. – nieskończona liczba rozwiązań
Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: K i L. Spośród wielu środków produkcji dwa są limitowane,
przy czym limity te wynoszą odpowiednio: środek I – 96 000 jedn., a środek II – 56 000 jedn. W tabeli
3. podano jednostkowe normy zużycia środka I i środka II przy produkcji wyrobów K i L.
Tabela 3.
Normy zużycia środków przy
produkcji wyrobu
Środki
K
L
I
8
16
II
7
4
Ponadto wiadomo, że zdolność produkcyjna jednej z maszyn będącej wąskim gardłem procesu
produkcyjnego nie pozwala przekroczyć 5 000 szt. wyrobu K i 4 000 szt. wyrobu L. Zysk na jednostce
produktu K wynosi 2 zł, a na jednostce produktu L – 4 zł. Podać maksymalny możliwy do osiągnięcia
zysk ze sprzedaży. Wykonać ilustrację graficzną.
Przykład 4. – nieograniczona funkcja celu
Zadanie polega na zminimalizowaniu funkcji celu danej wzorem:
Przy następujących warunkach ograniczających:
Wykonać ilustrację graficzną.
Przykład 5. – sprzeczny układ warunków
Zadanie polega na zmaksymalizowaniu wartości funkcji określonej następującym wzorem:
przy uwzględnieniu następujących ograniczeń:
Wykonać ilustrację graficzną.
Zagadnienie transportowe
Przykład 6.
Trzy magazyny: M1, M2 i M3 zaopatrują w mąkę cztery piekarnie: P1, P2, P3 i P4. Jednostkowe koszty
transportu (w zł za tonę), oferowane miesięczne wielkości dostaw Ai (w tonach) oraz miesięczne
zapotrzebowanie piekarń Bj (w tonach) podaje tabela 4.
Tabela 4.
Piekarnie
Ai
P1
P2
P3
P4
50
40
50
20
70
40
80
70
30
50
60
40
70
80
80
40
60
50
50
200
z magazynów do piekarń, minimalizujący całkowite koszty
Magazyn
M1
M2
M3
Bj
Opracować plan przewozu mąki
transportu.
Przykład 7.
Trzy duże gospodarstwa rolne mają odstawić do trzech punktów pszenicę w następujących ilościach:
gospodarstwo 1 – 100 t, gospodarstwo 2 – 250 t, gospodarstwo 3 – 50 t. Punkty skupu mogą przyjąć
pszenicę w następujących ilościach: A – 150 t, B – 100 t, C – 150 t. Jednostkowe koszty transportu
(w PLN) za jedną tonę pszenicy z gospodarstw do punktów skupu podano w tabeli 5.
Tabela 5.
Punkty skupu
A
B
C
100
1
50
100
2
150
200
50
3
20
100
20
Zadanie polega na wyznaczeniu wielkości dostaw z poszczególnych gospodarstw do punktów skupu
tak, aby łączny koszt transportu był minimalny. Podać wielkość minimalnego kosztu oraz ilości towaru
przewożone między poszczególnymi punktami.
Gospodarstwa
Modelowanie sieciowe
Przykład 8.
Zadanie polega na wyznaczeniu przepływu dopuszczalnego o minimalnym koszcie i największego
przepływu dopuszczalnego. Powiązania między węzłami przedstawiono na rysunku 1. Liczby
widniejące nad poszczególnymi łukami określają koszty przepływu między poszczególnymi węzłami.
Dodatkowo założono, że przepływ na łuku (1,3) powinien być nie mniejszy niż 30 i nie większy niż 50,
a na łuku (1,6) – nie większy od 150. Na pozostałych łukach przepływy mogą być dowolne.
8
4
4
2
6
b1=120
b2=250
4
2
5
a2=300
6
5
2
1
1
a1=250
3
3
Rysunek 1.
5
b3=100