TEORIA GIER – 9 Gry w postaci ekstensywnej W drzewach gry, dla

TEORIA GIER – 9
Gry w postaci ekstensywnej
W drzewach gry, dla wie֒ kszej czytelności rysunku, pomijam niekiedy etykiety krawe֒ dzi lub nazwy zbiorów
informacyjnych.
ZD1. Rozważmy gre֒ prawie taka֒ jak w przykladzie 1 z pocza֒tku wykladu, jedyna֒ zmiana֒ jest zasta֒pienie
reguly ,,Gracz 1 pokazuje kulke֒ graczowi 2” inna֒ regula֒ (mówia֒ca֒, jakie otrzymuje gracz 2 informacje od
gracza 1). Niestety nikt nam nie powiedzial, jaka֒. Odczytaj te֒ nowa֒ regule֒ , wiedza֒c, że drzewo gry wygla֒da
jak na rysunku poniżej.
(a)
(b)
(c)
(d)
ZD2. Dla podanej gry w postaci ekstensywnej wyznacz dla każdego z
graczy zbiory jego strategi czystych, behawioralnych i mieszanych.
I
L
P
II
a
II
b
b
a
(2,1) (1,−1) (1,1)
L
I
P
II
L
(2,3)
II
P
(1,2)
L
P
(−2,3) (3,3)
ZD3. Dwoje graczy wyklada na środek stolu po 1 zl. Owe 2zl stanowi pocza֒tkowa֒ pule֒ gry. Gracz I dostaje
z talii karte֒ , przy czym z prawdopodobieństwem 1/4 jest to pik, a z prawdopodobieństwem 3/4 inny kolor.
Karte֒ te֒ widzi tylko gracz I. Teraz gracz I może karte֒ ujawnić lub podbić stawke֒ . Jeżeli ujawni karte֒ i jest to
pik, zgarnia cala֒ pule֒ (2zl), jeżeli zaś karta nie jest pikiem, to pule֒ zgarnia gracz II; naste֒ puje koniec gry. W
drugim przypadku, gdy gracz I zdecyduje sie֒ na podbicie stawki, doklada 2zl do puli i kolejny ruch wykonuje
gracz II. Gracz II ma dwie możliwości: spasować lub sprawdzić. Jeżeli spasuje, to gracz I zabiera cala֒ pule֒ ,
niezależnie od karty jaka֒ posiada. Jeśli natomiast gracz II sprawdza, to doklada 2zl do puli, po czym gracz I
musi ujawnić swoja֒ karte֒ . Gdy jest to pik, gracz I zabiera cala֒ pule֒ , w przeciwnym wypadku pule֒ zgarnia II.
(a) Narysuj drzewo tej gry.
(b) Wyznacz dla każdego z graczy zbiory jego strategi czystych.
ZD4. Pomyslowy Dobromir i Lisek Chytrusek postanowili urozmaicić grudniowy wieczór gra֒ towarzyska֒. Na
pocza֒tku mistrz gry losuje (z jednakowym prawdopodobieństwem) jedna֒ z czterech kart: 2pik, 3kier, 4pik,
5karo. Zalóżmy, że karta ta ma wartość x. Jeżeli mistrz wylosowal pika, zdradza kolor (ale nie wartość) karty
tylko Liskowi (w tajemnicy przed Dobromirem), a jeżeli wylosowal kiera, mówi o kolorze tylko Dobromirowi
(w tajemnicy przed Liskiem). W pozostalych przypadkach nic nie mówi. Naste֒ pnie Lisek wybiera ,,pas”
lub ,,sprawdzam”. Gdy sprawdza, wtedy gra sie֒ kończy: jeśli x jest parzyste, to Dobromir placi Liskowi x
zl, jeżeli zaś x jest nieparzyste, Lisek placi x zl Dobromirowi. Gdy Lisek spasuje, wtedy decyzje֒ ,,pas” lub
,,sprawdzam” podejmuje Dobromir. Jeżeli powiedzial ,,pas”, a x jest parzyste, placi 2zl Liskowi, nastomiast
przy nieparzystym x dostaje 2zl od Liska. W przypadku ,,sprawdzam” karta jest pokazywana graczom: jeżeli
x jest parzyste, to Lisek placi Dobromirowi x zl, w przeciwnym zaś przypadku x zl Lisek od Dobromira
dostaje.
(a) Przedstaw te֒ gre֒ w postaci ekstensywnej.
(b) Wyznacz zbiory strategii czystych obu graczy.
ZD5. W podanych grach zaznacz wszystkie liście, do jakich moga֒ dotrzeć gracze, jeżeli I stosuje strategie֒
czysta֒ s1 , , natomiast II stosuje strategie֒ czysta֒ s2 . Zakladamy, że zbiory informacyjne sa֒ uporza֒dkowane
tak, jak sugeruja֒ ich nazwy.
1
2
(a) s2 = (x, a), s1 = (L, P )
(b) s1 = (L, P ), s2 = (b)
(c) s1 = (y, y), s2 = (a, a)
Los
[1/3]
I
[2/3]
I
P
L
P
(1,−1)
II
a
A1
L
(1,1)
II
a
b
b
I
(−2,3)
(2,1)
(2,3)
L
P
(1,2)
A2
I
L
(−2,3)
P
(3,3)
ZD6. Dla podanej gry w postaci ekstensywnej
(a) Wyznacz wszystkie liście, do jakich z dodatnim prawdopodobieństwem dotra֒ gracze,
jeśli gracz I używa strategii mieszanej σI =
1
3
4 (1) + 4 (2), natomiast II – strategii behawioralej bII = (( 12 , 12 ), ( 13 , 23 )). Wyznacz to
prawdopodobieństwo dla każdego liścia.
(b) Wyznacz wszystkie liście, do jakich z dodatnim prawdopodobieństwem dotra֒ gracze, jeśli gracze
używaja֒ strategii mieszanych σI = 14 (1) + 34 (2) i σII = 12 (1, 1) + 13 (1, 2) + 16 (2, 2). Wyznacz to
prawdopodobieństwo dla każdego liścia.
(c) Oblicz wyplaty obu graczy dla strategii mieszanych σI = (1) i σII = 12 (1, 1) + 13 (1, 2) + 16 (2, 2).
(d) Oblicz wyplaty graczy dla strategii mieszanych σI = 14 (1) + 34 (2) i σII = 12 (1, 1) + 13 (1, 2) + 16 (2, 2).
ZD7.
(a) W podanej grze wyznacz wyplaty obu graczy i
prawdopodobieństwa dojścia dla każdego liścia, przy strategiach
• mieszanych σI = 14 (P, P ) + 34 (P, L) i
σII = 12 (a, P ) + 13 (b, L) + 16 (b, P )
• behawioralnych bI = ( 14 L + 34 P, L) i
bII = ( 12 a + 12 b, 23 L + 13 P ).
I
L
a
II
b
(c) W podanej grze oblicz wyplaty obu graczy przy
strategiach mieszanych
σII = (a) i σI = 12 (L, P ) + 18 (L, L) + 38 (P, L).
b
a
(2,1) (1,−1) (1,1)
L
I
P
II
L
(2,3)
(b) W podanej grze oblicz prawdopodobieństwo dojścia do liścia z
wektorem wyplat (2, 3), jeżeli gracze stosuja֒ strategie mieszane
σII = (a) i
σI = 12 (L, L, P ) + 18 (L, L, L) + 14 (P, P, L) + 18 (L, P, L).
P
II
II
P
(1,2)
L
P
(−2,3) (3,3)