Transformata Laplace`a
Transkrypt
Transformata Laplace`a
1. TRANSFORMATA LAPLACE'A Transformata Laplace'a jest jednym z narzędzi matematycznych słuŜących do rozwiązywania liniowych równań róŜniczkowych zwyczajnych. W porównaniu z metodą klasyczną, metoda transformaty operatorowej przekształca równanie róŜniczkowe zwyczajne w równanie algebraiczne, którego zmienną jest operator Laplace'a „s”. Wówczas, w celu uzyskania rozwiązania w dziedzinie operatora s przekształca się równanie algebraiczne przy uŜyciu prostych reguł matematycznych. Ostateczne rozwiązanie równania róŜniczkowego uzyskiwane jest poprzez zastosowanie odwrotnej transformaty Laplace'a. 1.1. DEFINICJA TRANSFORMATY LAPLACE'A Mając funkcję czasową f(t) spełniającą następujący warunek ∫ ∞ 0 f (t )e −σt dt < ∞ dla pewnej skończonej liczby rzeczywistej σ, transformatę Laplace'a tej funkcji wyznacza się następującej całki £ { f (t )} = F ( s) = ∫0 ∞ f (t )e − st dt Zmienna s określana tutaj jako operator Laplace'a i jest zmienną zespoloną określoną wzorem s =σ + jω . Równanie drugie znane jest równieŜ pod nazwą jednostronnej transformaty Laplace'a, w której wykonywane jest całkowanie w zakresie czasu od t = 0 do ∞ . Oznacza to, Ŝe wszystkie informacje zawarte w funkcji f(t) przed czasem t = 0 są pomijane lub przyjmowane jako równe zero. ZałoŜenie to nie nakłada Ŝadnych ograniczeń na stosowanie transformaty Laplace'a do rozwiązywania problemów w liniowych układach sterowania. W zwykłych problemach w dziedzinie czasu, czas odniesienia jest przyjmowany jako t = 0. W układach fizycznych w których sygnał wejściowy jest przyłoŜony w chwili t = 0, odpowiedź na to pobudzenie nie moŜe pojawić się wcześniej, aniŜeli w t = 0; tzn. odpowiedź nie moŜe wyprzedzać pobudzenia. Transformata Laplace'a powinna zostać zdefiniowana dla przedziału czasu od t = 0− do ∞ . 1 _________________________________________________________________________________________________ Powered by xtoff® [email protected] Symbol t = 0− oznacza, Ŝe granica dla czasu t →0 brana jest z lewej strony t = 0. Takie ograniczenie brane jest pod uwagę w tych przypadkach, gdy funkcja f(t) ma postać funkcji skokowej lub impulsowej w których to funkcjach zmiana następuje w chwili t = 0. Jednak równanie definiujące transformatę Laplace'a bardzo rzadko jest uŜywane, rozwiązując zadania korzysta się z wyraŜeń zawartych w tabeli transformat Laplace'a, dlatego teŜ w dalszej części tego opracowania pominięto ten problem i wszystkie warunki początkowe rozpatrywane są dla czasu t = 0. 2. Podstawowe twierdzenia dotyczące transformat a. Liniowość £{ af1(t) + bf 2(t)} = aF1(s) + bF2(s), a, b – stałe b. Całkowanie w dziedzinie rzeczywistej £ {∫ t −∞ } F ( s ) 1 0− f (t )dt = + ∫ f (t )dt s s −∞ c. RóŜniczkowanie w dziedzinie rzeczywistej n −1 d n f (t ) n s n − k −1 f ( k ) (0) £ dt n = s F (s) − ∑ k =0 d. pierwsza pochodna £ df (t ) = sF ( s ) − f (0) dt e. druga pochodna d 2 f (t ) 2 = s F ( s ) − sf (0) − f ' (0) 2 dt £ 2 _________________________________________________________________________________________________ Powered by xtoff® [email protected] f. Całkowanie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s) ∞ f (t ) = £ t ∫s F (s)ds g. RóŜniczkowanie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s) { } d n F ( s) £ t f (t ) = (−1) ds n n n h. Przesunięcie w dziedzinie rzeczywistej £ { f (t − T )} = e − sT F ( s ) , T jest stałą i. Przesunięcie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s) { } £ e f (t ) = F (s − a ) , a jest stałą dodatnią at j. Zmiana skali 1 s { } f ( at ) = F , a jest stałą dodatnią £ a a k. Splot funkcji (twierdzenie Borela) £{f1(t) ∗ f2(t)} = F1(s)F2(s) , gdzie f1(t)* f2(t) = £ ∫ t 0− f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ 3 _________________________________________________________________________________________________ Powered by xtoff® [email protected] 3. Transformaty Laplace’a najczęściej spotykanych funkcji Lp. Oryginał f(t) Transformata F(s) 1. δ (t ) − impuls jednostkowy 1 ( funkcja Diraca) 2. 1(t ) − skok jednostkowy 1 s ( funkcja Heavyside' a ) 3. t 1 s2 4. 1 t n −1 (t − 1)! 1 ;n ≥ 1 sn 5. e m αt 1 s ±α 6. t ⋅ e m αt 1 (s ± α ) 2 7. t n −1 mαt e (t − 1)! 1 (s ± α ) n 8. sin ωt 9. 10. 11. 12. cos ωt sinh αt cosh αt e mαt sin ωt ω s +ω2 2 s s +ω2 2 α s −α 2 2 s s −α 2 2 ω (s ± α ) 2 + ω 2 4 _________________________________________________________________________________________________ Powered by xtoff® [email protected]