Numeryczne rozwiązanie równania Laplace`a

Numeryczne rozwiązanie równania Laplace’a
Równanie Laplace’a na płaszczyźnie (x, y)
∂2 ϕ ∂2 ϕ
+
=0
(1)
∂x 2 ∂x 2
można w prosty sposób rozwiązać numerycznie. Podzielmy płaszczyznę na kwadratową siatkę o boku h.
∆ϕ =
Dla punktu (x, y) rozważmy wartości potencjału w czterech sąsiednich punktach.
Jeśli h 1 można zastosować do tego szereg Taylora z dokładnością do wyrazów
kwadratowych:
∂ϕ 1 2 ∂2 ϕ
+ h
+ ...
∂x 2 ∂2 x
∂ϕ 1 2 ∂2 ϕ
ϕ(x − h, y) = ϕ(x, y) − h
+ h
+ ...
∂x 2 ∂2 x
∂ϕ 1 2 ∂2 ϕ
ϕ(x, y + h) = ϕ(x, y) + h
+ h
+ ...
∂y 2 ∂2 y
∂ϕ 1 2 ∂2 ϕ
ϕ(x, y − h) = ϕ(x, y) − h
+ h
+ ...
∂y 2 ∂2 y
ϕ(x + h, y) = ϕ(x, y) + h
(2)
(3)
(4)
(5)
Dodając do siebie stronami te cztery równania otrzymujemy
ϕ(x, y) ≈
1
ϕ(x + h, y) + ϕ(x − h, y) + ϕ(x, y + h) + ϕ(x, y − h)
4
1
(6)
Wyrazy proporcjonalne do h2 znoszą się ze względu na równanie (1). Z dokładnością do wyrazów rzędu h3 wartość potencjału w punkcie (x, y) jest więc równa
średniej arytmetycznej wartości w czterech sąsiednich punktach siatki.
Załóżmy, że mamy do rozwiązania równanie Laplace’a (1) w pewnym obszarze S, na brzegu którego jest zadana wartość potencjału (warunek Dirichleta).
Obszar ten przybliżamy przez zastosowanie siatki o kroku h.
W punktach węzłowych na brzegu w postaci łamanej zamkniętej zadajemy wartości potencjału. Wewnątrz obszaru S wartość potencjału wybieramy jako losową
lub równą zeru. Dla wszystkich punktów węzłowych wewnątrz obszaru S nową
wartość potencjału obliczamy jako średnią arytmetyczną dla jego czterech sąsiadów. Postępujemy tak, aż uzyskamy zbieżność, to znaczy wartość potencjału w
danym węźle przestanie się zmieniać.
Na poniższych rysunkach przedstawiono rozwiązanie równania Laplace’a w
kwadracie o boku 1. Zastosowano siatkę o boku 0,01. Wartość potencjału na
brzegu kwadratu jest równa zeru, z wyjątkiem jednego boku na którym jest ona
równa 1. Początkowe wartości potencjału w ęzłach siatki wewnątrz kwadratu są
liczbami losowymi z przedziału (0, 1). Potencjał jest przedstawiony graficznie w
postaci dziesięciu odcieni szarości.
2
stan początkowy
20 iteracja
50 iteracja
100 iteracja
500 iteracja
1000 iteracja
3
Ja widać, metoda ta choć prosta jest wolno zbieżna. Wartość potencjału „rozchodzi się” od brzegu do wnętrza obszaru z prędkością h na jedną iterację.
Zamiast siatki prostokątnej można zastosować „triangulację”, czyli podział
obszaru na trójkąty, z punktami węzłowymi leżącymi dokładnie na brzegu obszaru. Do obliczania potencjału zamiast średniej arytmetycznej należałoby zastosować średnią ważoną, z wagami zależnymi od rozmiarów trójkątów.
Po numerycznym rozwiązaniu równania Laplace’a w węzłach siatki, wartość
potencjału wewnątrz pojedynczego trójkąta można obliczyć interpolując wartości
potencjału z trzech wierzchołków.
4