opcja egzotyczna

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO
NR 394 PRACE KATEDRY EKONOMETRII I STATYSTYKI NR 15 2004
EWA DZIAWGO
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
ANALIZA WRA LIWO CI CENY KOSZYKOWEJ OPCJI KUPNA
WPROWADZENIE
Opcje egzotyczne s instrumentami pochodnymi, których struktura dochodu jest odmienna od struktury, któr zapewniaj opcje zwykłe. Opcje egzotyczne s przedmiotem obrotu instrumentów pochodnych na rynku pozagiełdowym.
Opcje koszykowe nale do klasy opcji egzotycznych korelacyjnych. W ich
wycenie uwzgl dniony jest współczynnik korelacji instrumentów podstawowych. Opcje koszykowe s wystawiane na wi cej ni jeden instrument bazowy.
Instrumentem bazowym opcji koszykowych jest koszyk zbudowany z kilku
instrumentów, którymi mog by akcje, waluty lub indeksy.
W artykule wyceniono trzymiesi czn , koszykow opcj kupna, która
wystawiona jest na waluty euro i USD, zbadano wpływ wybranych czynników
na cen opcji i dokonano analizy wra liwo ci ceny rozpatrywanej opcji na
zmian warto ci współczynnika korelacji.
1. WYCENA OPCJI KOSZYKOWYCH
Cena europejskiej, koszykowej opcji kupna wynosi1:
1
Gentle wyznaczył cen koszykowej, europejskiej opcji kupna w 1993 r.
62
Ewa Dziawgo
CtB = gdzie:
c = exp ∑ρ
k
∑
k
j =1
(
(
~~σσ −
i j
ij wi w j
i , j =1
∑ w~ σ
k
j
j =1
(
)
)
~
j
w j St cN ( d1 ) − K + c − 1 N (d 2 ) ,
2
j (T − t ) ,
2 )
1
~
ln c − ln K + c − 1 + v 2 (T − t )
2
d1 =
,
v T −t
1
~
ln c − ln K + c − 1 − v 2 (T − t )
2
,
d2 =
v T −t
N(d) – dystrybuanta rozkładu normalnego,
(
~
K=
)
K
∑w F
=
k
j
j =1
Sj
(t , T )
e − r ( T −t ) K
∑w S
k
j t
,
j
j =1
K – cena wykonania opcji,
ST i – cena „i” tego waloru w chwili T,
T – czas wyga ni cia opcji,
k – liczba walorów, na które wystawiona jest dana opcja.
Zmodyfikowane wagi dla ustalonego t ∈ (0; T) wynosz :
~ =
w
i
wi S ti
∑w S
=
k
j
j =1
t
j
wi FS i ( t ,T )
∑w F
k
j
j =1
Sj
dla i = 1, 2, ..., k,
( t ,T )
gdzie:
F i (t , T ) – cena forward w chwili t ustalonego i-tego waloru z terminem
S
wyga ni cia T,
FSi (t , T ) = e r ( T −t ) S ti ,
Sti (dla i = 1, 2, ..., k) – proces ceny k podstawowych instrumentów finansowych, którymi s akcje.
Analiza wra liwo ci ceny koszykowej opcji kupna
63
Proces Sti jest opisany geometrycznym ruchem Browna2:
(
)
dS ti = S ti rdt + σ i dBti ,
gdzie:
Bt – jednowymiarowy ruch Browna wzgl dem miary martyngałowej Q,
r – stopa procentowa wolna od ryzyka,
σ i ∈ R – zmienno "! ceny akcji3,
wi – waga i-tego waloru, przy czym wi ≥ 0 oraz
v2 =
∑ρ σ σ
k
ij
i
∑w
k
i
= 1,
i =1
~ ~ , ρ – współczynnik korelacji mi # dzy instrumeni, j
j wi w j
i , j =1
tami bazowymi.
2. PRZYKŁADY
Badania empiryczne dotycz$ wyceny europejskich opcji koszykowych,
których instrumentami bazowymi s$ waluty USD i euro. Analiz# przeprowadzono dla opcji kupna. Badania empiryczne dotycz$ okresu od 4 stycznia 2003
roku do 4 kwietnia 2003 roku. W obliczeniach przyj # to jednakowe wagi dla
instrumentów podstawowych, to znaczy w przypadku opcji koszykowych wystawionych na dwie waluty wi = 0,5 (dla i = 1, 2). Na rysunku 1 przedstawiono
kształtowanie si# w rozpatrywanym okresie cen trzymiesi # cznych, europejskich
opcji zwykłych wystawionych na waluty euro i USD, a na rysunku 2 – opcji
koszykowej wystawionej na waluty USD i euro. W rozpatrywanym okresie
współczynnik korelacji mi# dzy walutami wynosi 0,54. Na rysunku 2 zilustrowano równie% kształtowanie si# & redniej ceny opcji zwykłych wystawionych na
waluty USD i euro. Z analizy kształtowania si # cen opcji wynika, % e ceny opcji
koszykowych s $ ni% sze od & rednich cen opcji zwykłych. Bior $ c pod uwag#
koszty ponoszone przez inwestora na zabezpieczenie si # przed ryzykiem zmian
[
]
2
Z równania tego wynika, ' e cena akcji wynosi: S ti = S 0 exp σ i Bti + ( r − 0,5σ i2 )t .
3
Zmienno (*) akcji jest obliczana jako odchylenie standardowe stopy zwrotu z akcji.
64
Ewa Dziawgo
01.04
26.03
20.03
14.03
10.03
04.03
26.02
20.02
14.02
10.02
04.02
29.01
23.01
16.01
10.01
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
06.01
cena opcji [zł]
cen instrumentów bazowych, opcje koszykowe s $ atrakcyjniejsze od opcji zwykłych.
data
c.op.zwyk.USD
c.op.zwyk.EUR
Rys. 1. Kształtowanie si+ cen opcji zwykłych wystawionych na waluty euro i USD
,
ródło: opracowanie własne.
0,5
cena [zł]
0,4
0,3
0,2
0,1
rednia cena opcji zwykłych
01.04
25.03
18.03
11.03
04.03
25.02
18.02
11.02
04.02
28.01
20.01
-
13.01
06.01
0
cena opcji koszykowej
Rys. 2. Kształtowanie si+ ceny opcji koszykowej (wystawionej na waluty USD i euro)
,
i . redniej ceny opcji zwykłych (wystawionych na waluty euro i USD)
ródło: opracowanie własne.
Na rysunku 3 przedstawiono kształtowanie si # cen trzech opcji koszykowych o ró% nych terminach wyga & ni # cia. Opcje wystawione s$ na waluty euro
i USD, charakteryzuj $ si # nast # puj $ cymi terminami wyga & ni# cia: 3 miesi $ ce,
6 miesi# cy i 9 miesi # cy.
65
data
opcja 6-mies.
opcja 3-mies.
04.04
31.03
25.03
19.03
13.03
07.03
03.03
25.02
19.02
13.02
07.02
03.02
28.01
22.01
15.01
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
09.01
cena [zł]
Analiza wra/ liwo0 ci ceny koszykowej opcji kupna
opcja 9-mies.
Rys. 3. Kształtowanie si 1 cen opcji koszykowych (wystawionych na waluty USD oraz
4
euro). Terminy wyga 2 ni1 cia opcji: 3 miesi 3 ce, 6 miesi1 cy oraz 9 miesi 1 cy
ródło: opracowanie własne.
Z analizy kształtowania si 5 cen opcji koszykowych wynika, 6 e dro6 sze s7
opcje, które charakteryzuj 7 si 5 dłu6 szym terminem, który pozostał do ich wyga8
8"9
ni5 cia. Na rysunku 4 zilustrowano zale6 no ceny opcji koszykowej od czasu
8
wykonania. Zbli6 anie si 5 terminu wyga ni 5 cia wpływa na spadek ceny opcji
kupna.
0,14
cena opcji [zł]
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
9 m.
6 m.
5 m.
4 m.
3 m.
2 m.
1 m.
0
czas pozostały do wyga: ni ; cia opcji
Rys. 4. Wpływ czasu pozostałego do wyga 2 ni1 cia koszykowej opcji na jej cen1
4
ródło: opracowanie własne.
66
Ewa Dziawgo
Na rysunku 5 przedstawiono wpływ ceny wykonania na kształtowanie si 5
cen trzech koszykowych opcji kupna. Opcje te charakteryzuj 7 ró6 nymi współczynnikami korelacji mi 5 dzy instrumentami bazowymi. Wszystkie opcje s7
trzymiesi 5 czne i wystawione na waluty euro oraz USD. Współczynnik korelacji
pierwszej opcji wynosi 0,54. Druga opcja jest opcj 7 o współczynniku korelacji
mi 5 dzy walutami 0,005, natomiast trzecia charakteryzuje si 5 współczynnikiem
korelacji -0,54.
0,25
cena opcji [zł]
0,2
0,15
0,1
0,05
0
3,71
3,76
3,81
3,86
3,91
3,96
4,01
4,06
4,11
4,16
4,21
cena wykonania [zł]
opcja 1
opcja 2
opcja 3
Rys. 5. Wpływ ceny wykonania na cen1 koszykowej opcji kupna
4
ródło: opracowanie własne.
Zmniejszanie si 5 ceny wykonania opcji wpływa na wzrost ceny koszykowej opcji kupna. Z kolei wzrost ceny wykonania przyczynia si 5 do spadku ceny
8"9
8
koszykowej opcji kupna. Prawidłowo ta wyst 5 puje niezale6 nie od warto ci
współczynnika korelacji mi 5 dzy aktywami bazowymi.
Na cen5 koszykowej opcji kupna w znacznym stopniu wpływa współczynnik korelacji mi 5 dzy aktywami bazowymi. Na rysunku 6 przedstawiono
kształtowanie si 5 cen trzymiesi 5 cznych opcji koszykowych o ró6 nych współczynnikach korelacji. Współczynnik korelacji pierwszej opcji wynosi 0,54,
druga jest opcj 7 o współczynniku korelacji mi 5 dzy walutami 0,005, natomiast
trzecia charakteryzuje si 5 współczynnikiem korelacji -0,54.
Analiza wra/ liwo0 ci ceny koszykowej opcji kupna
67
0,16
cena opcji [zł]
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
opcja1
opcja2
18.02
17.02
14.02
13.02
12.02
11.02
10.02
07.02
06.02
05.02
04.02
03.02
31.01
30.01
29.01
0
opcja 3
Rys. 6. Kształtowanie si 1 cen opcji koszykowych, które charakteryzuj 3 si1 ró < nymi
4
współczynnikami korelacji mi 1 dzy walutami
ródło: opracowanie własne.
Dro6 sze s7 koszykowe opcje kupna, które charakteryzuj 7 si 5 wi5 kszym współczynnikiem korelacji mi 5 dzy walutami.
8
Na rysunku 7 przedstawiono kształtowanie si 5 warto ci parametru chi,
który jest pochodn7 ceny opcji koszykowej wzgl5 dem współczynnika korelacji.
Parametr ten, obliczony dla rozpatrywanej trzymiesi 5 cznej koszykowej opcji
8
kupna, wystawionej na waluty euro i USD, okre la, jaki wpływ na cen 5 opcji
ma zmiana współczynnika korelacji.
68
Ewa Dziawgo
0,00006
0,00005
0,00004
0,00003
0,00002
0,00001
01.04
26.03
20.03
14.03
10.03
04.03
26.02
20.02
14.02
10.02
04.02
29.01
23.01
16.01
10.01
06.01
0
data
Rys. 7. Kształtowanie si1 warto 2 ci parametru chi europejskiej, koszykowej opcji kupna
wystawionej na waluty USD i euro, w okresie od 4 stycznia 2003 roku do
4
4 kwietnia 2003 roku
ródło: opracowanie własne.
Z przeprowadzonej analizy wynika, 6 e parametr chi ulega znacznym wa8
haniom w czasie. W miar5 zbli6 ania si 5 terminu wyga ni 5 cia koszykowej opcji
8
kupna jego warto ci zmierzaj 7 do zera.
PODSUMOWANIE
Bior7 c pod uwag5 koszty ponoszone przez inwestora na zabezpieczenia si 5
przed ryzykiem zmian cen instrumentów bazowych, opcje koszykowe s7 ta= sze
8"9
od opcji zwykłych. Wpływa to na atrakcyjno opcji koszykowych, szczególnie
6 e inwestycja w te opcje nie wymaga od inwestora monitorowania zachowa=
9
rynku instrumentów podstawowych. Opcje koszykowe mog7 si 5 sta w przy8
szło ci atrakcyjnym instrumentem pochodnym dla inwestorów w Polsce.
LITERATURA
1.
Musiela M., Rutkowski M.: Martingale Methods in Financial Modelling. SpringerVerlag, Berlin 1998.
Analiza wra/ liwo0 ci ceny koszykowej opcji kupna
2.
69
Neftci S.N.: An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives. Academic Press, San Diego 1996.
3.
Weron A., Weron R.: In/ ynieria finansowa. WNT, Warszawa 1998.
SENSITIVITY ANALYSIS OF THE CALL OPTION BASKET PRICE
Summary
Exotic options are subject to derivative instrument turnover on the over-the-counter market. Their income structure is different from the ordinary option income
structure. Basket options are included in the class of exotic correlative options. The base
instruments correlation coefficient is taken into consideration in their pricing.
In the article a tree-month basket call option, on USD and EURO, was priced and
the sensitivity analysis of the underlying option price was carried out.
Translated by Ewa Dziawgo