Wyk lad 13

Analiza dla informatyków 1 DANI LI1
PaweÃl Domański — szkicowe notatki do wykÃladu
WykÃlad 13
1. Co to jest pole?
Pole jest prawdopodobnie jednym z pierwszych abstrakcyjnych pojȩć matematycznych, które czÃlowiek staraÃl siȩ opanować (wcześniej zapewne zaja̧Ãl
sie pojȩciem liczby) — w zwia̧zku z wielka̧ rewolucja rolnicza̧ — konieczne
byÃlo mierzenie pola dziaÃlki ziemi (np. w Jerycho staÃla osada rolnicza otoczona
kamiennym murem istnieÃla już od okoÃlo 8400 roku przed Chrystusem!).
L
à atwo jest wyliczyć pole prostoka̧ta: mnożymy dÃlugości boków. Aby
wyliczyć pole innych figur potrzebujemy już pewnych forteli. Np. aby
wyliczyć pole trójka̧ta prostoka̧tnego można zÃlożyć dwa “takie same” trójka̧ty
w prostoka̧t i obliczyć pole caÃlości a nastȩpnie podzielić przez dwa. Dla
trójka̧ta nieprostoka̧tnego trzeba go najpierw podzielić na trójka̧ty prostoka̧tne — policzyć ich pole i dodać. Aby policzyć pole wieloka̧ta należy
podzielic go na trójka̧ty, policzyć ich pola i dodać. Ale jak poradzić sobie z
figura̧ o brzegu krzywoliniowym?
Starożytni byli zainteresowani polem koÃla: przybliżali go wieloka̧tami i
obliczali pole wieloka̧ta traktuja̧c je jako przybliżenie pola koÃla.
1
Wyobraźmy sobie pole pod wykresem funkcji ograniczonej — przybliżamy je suma̧ pól prostoka̧tów pod wykresem funkcji.
Spróbujmy obliczyć to pole:
X
L=
szerokość × wysokość
prostoka̧ty
Oznaczmy punkty podziaÃlu:
0 = x0 < x1 < · · · < x4 = 2 oraz m1 :=
wówczas:
L=
inf
x∈[x0 ,x1 ]
f (x), m2 :=
inf
x∈[x1 ,x2 ]
f (x), . . .
4
X
(xi − xi−1 )mi
i=1
Oczywiście można to zrobić dla dowolnego podziaÃlu P przedziaÃlu [a, b]
P:
a = x0 ≤ x 1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn = b
i zdefiniować sumȩ dolna̧ Riemanna:
L(f, P) :=
n
X
(xi − xi−1 )mi
i=1
mi =
inf
x∈[xi−1 ,xi ]
L(f, P) ≤ “pole pod wykresem f ”
2
f (x).
Spróbujmy teraz oszacować (przybliżyć) pole suma̧ pól prostoka̧tów zawieraja̧cych pole pod wykresem:
Spróbujmy obliczyć to pole za pomoca̧ górnej sumy Riemanna dla podziaÃlu
P:
U (f, P) :=
n
X
(xi − xi−1 )Mi
Mi =
sup
x∈[xi−1 ,xi ]
i=1
U (f, P) ≥ “pole pod wykresem f ”
3
f (x).
Zatem ostatecznie:
L(f, P) ≤ “pole pod wykresem f ” ≤ U (f, P)
Zbierzmy wÃlasności:
• jak dzielimy drobniej przedziaÃl to suma dolna rośnie;
• jak dzielimy drobniej to suma górna maleje;
• każda suma górna jest wiȩksza lub równa od każdej sumy dolnej;
Rb
Definicja 1 CaÃlka dolna Riemanna a f (x)dx z funkcji f na przedziale [a, b]
to
sup{L(f, P) : Pdowolny podziaÃl [a, b]}.
Analogicznie caÃlka górna zdefiniowana jest wzorem:
Z
b
f (x)dx := inf{U (f, P) : Pdowolny podziaÃl [a, b]}
a
4
Musimy uznać, że zachodzi:
Z
Z
b
b
f (x)dx ≤ “pole pod wykresem f ” ≤
a
f (x)dx
a
Jeśli chcemy zdefiniować pole pod wykresem funkcji musi to być liczba
pomiȩdzy caÃlka̧ dolna̧ a caÃlka̧ górna̧. Ile tam jest “przestrzeni”?
PrzykÃlad:
(
1 dla x wymiernego;
f (x) :=
0 dla x niewymiernego
Oczywiście wówczas:
mi =
inf
x∈[xi−1 ,xi ]
f (x) = 0,
Mi =
sup
f (x) = 1.
x∈[xi−1 ,xi ]
Zatem dla każdego podziaÃlu P przedziaÃlu [0, 1]:
n
X
U (f, P) =
(xi−1 − xi ) = 1 − 0 = 1.
L(f, P) = 0,
i=1
Ostatecznie:
Z
Z
b
b
f (x)dx = 0 < 1 =
a
f (x)dx
a
Definicja 2 Funkcjȩ ograniczona̧ f : [a, b] → R nazywamy caÃlkowalna̧ w
sensie Riemanna na przedziale [a, b] o ile jej caÃlka dolna Riemannna jest
równa jej caÃlce górnej i wtedy tȩ wspólna wartość nazywamy caÃlka̧ Riemanna
funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy:
Z
Z
b
f (x)dx =
a
Z
b
b
f (x)dx =
a
f (x)dx
a
Powyższa definicja określa co to jest pole (!!) pod wykresem funkcji
a zatem pole dowolnego obszaru o brzegach krzywoliniowych. PrzykÃlad
poprzedzaja̧cy definicjȩ pokazuje, że nie każdy “obszar” ma pole!!
Uwaga: Podaliśmy definicjȩ caÃlki Riemanna, ale sa̧ inne bardziej ogólne
caÃlki pozwalaja̧ce obliczać pole zbiorów bardziej skomplikowanych w tym
takich, które nie maja pola w powyższym sensie.
5
Oznaczenia zwia̧zane z caÃlkami
f : [a, b] → R;
funkcja ograniczona
P: PodziaÃl przedziaÃlu [a, b]:
a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn−1 ≤ xn = b
mi := inf{f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}
Mi := sup{f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}
Suma dolna:
L(f, P) :=
n
X
(xi − xi−1 )mi .
i=1
Suma górna:
U (f, P) :=
n
X
(xi − xi−1 )Mi .
i=1
CaÃlka dolna:
Z
b
f (x)dx := sup{L(f, P) : P}.
a
CaÃlka górna:
Z
b
f (x)dx := inf{U (f, P) : P}.
a
6
Tekst 2.2
Twierdzenie o caÃlkowalności
Nastȩpuja̧ce funkcje ograniczone na przedziale [a, b] sa̧ caÃlkowalne:
1. funkcje cia̧gÃle;
2. funkcje cia̧gÃle za wyja̧tkiem skończenie
wielu punktów dziedziny;
3. funkcje monotoniczne.
7
2. Jak w praktyce liczyć caÃlki i pola?
Fundamentalna̧ rolȩ odgrywa nastȩpuja̧ce twierdzenie:
Twierdzenie 3 (Wzór Newtona-Leibniza)Niech f : [a, b] → R bedzie funkcja̧
caÃlkowalna̧ na przedziale [a, b]. Jeśli istnieje funkcja różniczkowalna F taka,
że
F 0 (x) = f (x)
dla x ∈ [a, b],
to
Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a).
a
Funkcja F jak wyżej
jest nazywana funkcja̧ pierwotna̧ dla funkcji f .
R
Oznaczenie: F = f (x)dx caÃlka nieoznaczona.
Pytanie: Czy każda funkcja caÃlkowalna ma funkcjȩ pierwotna̧ (a zatem
czy zawsze można stosować wzór Newtona-Leibniza do obliczania caÃlek)?
Twierdzenie 4 (o funkcji górnej granicy caÃlkowania) Niech f : [a, b] → R
bȩdzie funkcja caÃlkowalna̧ w sensie Riemanna na przedziale [a, b]. Zdefiniujmy:
Z
x
F (x) :=
f (t)dt
dla x ∈ [a, b]
a
wówczas F jest dobrze okreslona̧ funkcja̧ cia̧gÃla̧ na [a, b]. Ponadto jeśli funkcja
f jest cia̧gÃla w punkcie x0 ∈ [a, b], to funkcja F jest różniczkowalna w tym
punkcie oraz
F 0 (x0 ) = f (x0 ).
Oczywiście jeśli x0 wypada na końcu przedziaÃlu, to pochodna̧ interpretujemy
jednostronnie.
Wniosek 5 Funkcja cia̧gÃla na przedziale ma na nim funkcjȩ pierwotna̧.
Niestety taka funkcjȩ rzadko możemy opisać wzorem tj. wyrazić ja przez
funkcje “elementarne”.
Wszystkie wzory na caÃlki daja̧ przykÃlady funkcji pierwotnych i pozwalaja̧
Ãlatwo caÃlkować:
8
Tekst 2.3
Tablica caÃlek nieoznaczonych
— funkcji pierwotnych
Z
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
xa+1
;
a 6= −1;
x dx =
a
+
1
Z
dx
= ln |x|;
x
Z
Z
x
a
axdx =
;
exdx = ex;
ln a
Z
Z
sin xdx = − cos x;
cos xdx = sin x;
Z
Z
dx
dx
= − cotan x;
=
tan
x;
2
2x
cos
sin
x
Z
dx
= arctan x;
2
1
+
x
Z
dx
√
= arcsin x = − arccos x;
2
1
−
x
Z
p
dx
√
= ln |x + x2 ± 1|
x2 ± 1
a
(9)
Z
Z
Z
af (x) + bg(x)dx = a
f (x)dx + b
9
g(x)dx.
PrzykÃlady: 1. Oblicz pole figury ograniczonej parabola̧ y = −x2 + 1 i
osia̧ OX.
Należy policzyć pole figury pod wykresem funkcji f (x) = −x2 + 1 na
odcinku [−1, 1] (bo 1 i −1 to punkty przeciȩcia paraboli z osia̧).
Wykorzystujemy nasza teoriȩ. Szukamy funkcji pierwotnej dla
f (x) = −x2 + 1.
Szukamy jej dla każdego skÃladnika z osobna:
F2 (x) = −x3 /3 funkcja pierwotna dla −x2 .
F1 (x) = x funkcja pierwotna dla 1,
Zatem
F (x) = x − x3 /3
jest funkcja̧ pierwotna̧ dla f . Czyli:
Z 1
f (x)dx = F (1) − F (−1) = 4/3.
−1
2. Obliczmy pole pod jednym “brzuszkiem” sinusoidy:
Z π
sin xdx
0
Funkcja pierwotna dla sin to − cos zatem
Z π
sin xdx = − cos π − (− cos 0) = 2
0
10