Reguły inferencji Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu

Reguły inferencji
Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu stwierdzają, że z wyrażeń o
określonej postaci wynikają logicznie wyrażenia o określonej postaci, które można
wobec tego dołączyć do dowodu na podstawie wierszy dotychczasowych.
Niewielką liczbę takich reguł przyjmujemy bez dowodu, jako reguły pierwotne. Inne
reguły tego rodzaju będą w systemie regułami dowodzonymi (wtórnymi).
Jako reguły pierwotne przyjmujemy:
• regułę odrywania
RO
α→β
α
β
Jeśli Paryż jest stolicą Francji, to prezydent Francji mieszka w Paryżu
Paryż jest stolicą Francji
Prezydent Francji mieszka w Paryżu
• regułę dołączania koniunkcji DK
α
β
α∧ β
Mickiewicz jest autorem Dziadów
Mickiewicz jest autorem Pana Tadeusza
Mickiewicz jest autorem Dziadów i Mickiewicz jest autorem Pana Tadeusza
• regułę dołączania alternatywy DA
α
α∨β
β
α∨β
N. przewozi w pociągu materiały łatwopalne
N. przewozi w pociągu materiały cuchnące
N. przewozi w pociągu materiały łatwopalne lub N. przewozi w pociągu materiały cuchnące
α→β
β→α
α↔β
• regułę dołączania równoważności DE
Jeśli woda zamarza, to temperatura jest niższa od 0
Jeśli temperatura jest niższa od 0 to woda zamarza
Woda zamarza wtedy i tylko wtedy gdy temperatura jest niższa od 0
• regułę opuszczania koniunkcji OK
• regułę opuszczania alternatywy OA
α∧β
α
α∧β
β
α∨β
~α
β
• regułę opuszczania równoważności OE α ↔ β
α→β
α↔β
β→α
2
Reguły ogólnej struktury dowodu
REGUŁA TWORZENIA DOWODU ZWYKŁEGO
Dowodem zwykłym tezy Ψ nazywamy taki ciąg wyrażeń α1,α2, ..., αn, spełniający następujące trzy
warunki:
1) żaden wyraz tego ciągu nie jest założeniem tego dowodu
2) wyrazami tego ciągu mogą być aksjomaty danej teorii bądź twierdzenia udowodnione,
bądź wyrażenia wynikające z wcześniejszych wyrazów tego ciągu na podstawie reguł
wnioskowania
3) ostatnim wyrazem tego ciągu jest wyrażenie Ψ tzn. αn =Ψ
DOWODY ZAŁOŻENIOWE
Można je przeprowadzić
Ψ1→ [Ψ2→...(Ψn-1→Ψn)]
tylko
wtedy,
gdy
dowodzimy
tezy
następującej
postaci
REGUŁY TWORZENIA DOWODU ZAŁOŻENIOWEGO WPROST
Dowodem założeniowym wprost wyrażenia o postaci Ψ1→ [Ψ2→...(Ψn-1→Ψn)] nazywamy ciąg
α1,α2, ...,αn, (dla n>1) który spełnia następujące warunki:
1) początkowymi n-1 wyrazami tego ciągu są wszystkie poprzedniki dowodzonej implikacji, będące
założeniami dowodu tzn. α1= Ψ1, α2= Ψ2, ... , αn-1= Ψn-1
2) wyrazami tego ciągu mogą być aksjomaty danej teorii bądź twierdzenia udowodnione, bądź
wyrażenia wynikające z wcześniejszych wyrazów tego ciągu na podstawie reguł wnioskowania
3) ostatnim wyrazem tego ciągu jest następnik dowodzonej implikacji tzn. αn= Ψn
REGUŁY TWORZENIA DOWODU ZAŁOŻENIOWEGO NIEWPROST
Dowodem założeniowym niewprost wyrażenia o postaci:
Ψ1→[Ψ2→...(Ψn-1→Ψn)] (dla n>1) nazywamy ciąg wyrażeń α1,α2, ...,αn, który spełnia następujące
trzy warunki:
1)
1.1.) dla n>1, początkowymi n-1 wyrazami tego ciągu są wszystkie poprzedniki
dowodzonej
implikacji,
będące
założeniami
dowodu
tzn.
α1= Ψ1, α2= Ψ2, ... , αn-1= Ψn-1
1.2.) n-tym wyrazem tego ciągu jest negacja ostatniego następnika dowodzonej
implikacji, tzn. αn=∼Ψn, (który to wyraz nazywamy założeniem dowodu niewprost)
2) wyrazami tego ciągu mogą być aksjomaty danej teorii bądź twierdzenia udowodnione,
bądź wyrażenia wynikające z wcześniejszych wyrazów tego ciągu na podstawie reguł
wnioskowania
3) ostatnim wyrazem tego ciągu jest wyrażenie sprzeczne z którymkolwiek z
wcześniejszych wyrażeń.
3
Spójniki logiczne
Funktory prawdziwościowe są to funktory zdaniotwórcze o argumentach zdaniowych mających tę
własność, że wartość logiczna każdego zdania złożonego utworzonego przy pomocy tych
funktorów jest wyznaczona przez wartości logiczne jego argumentów.
Ilość różnych n-argumentowych funktorów prawdziwościowych jest równa ilości różnych
układów wartości logicznych {1, 0}, które mogą wypełnić kolumnę takiego funktora. Ponieważ
taka kolumna ma 2n wierszy, więc ilość n-argumentowych funktorów prawdziwościowych jest
równa ilości 2n-wyrazowych układów utworzonych z wartości logicznych {1, 0}, a więc jest równa
22
n
1
Według tego wzoru tabelka 1-argumentowego funktora prawdziwościowego ma 22 = 4
p
as (p)
~p
vr (p)
fl (p)
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
Gdzie funktor "as" zwany jest znakiem asercji, tworzy zdanie mające tę samą wartość logiczną,
którą ma argument tego funktora.
Funktor "vr" (verum) tworzy zdanie zawsze prawdziwe, tzn. mające wartość 1 zarówno wtedy,
gdy argument jest prawdziwy jak i wtedy, gdy argument jest fałszywy.
Funktor "fl" (falsum) tworzy zdanie zawsze fałszywe, tzn. mające wartość logiczną zero, zarówno
gdy argument jest prawdziwy jak i wtedy, gdy argument jest fałszywy. Spośród
jednoargumentowych funktorów prawdziwościowych tylko jeden, mianowicie znak negacji
używany jest w języku potocznym.
Tabelka 2-argumentowego funktora prawdziwościowego ma 22 = 4 wiersze, jak to wiedzieliśmy
2
poprzednio. Ilość 2-argumentowych funktorów prawdziwościowych równa się 22 = 16
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
F1 - dwuargumentowy funktor verum;
F2 - alternatywa
F5 - implikacja
F8 - koniunkcja
F7 - równoważność
F16 - dwuargumentowy funktor falsum;
Tabela 3-argumentowego funktora prawdziwościowego ma 23 = 8 wierszy, a więc 28
= 256 funktorów.
W języku naturalnym zazwyczaj używamy funktorów 2-argumentowych
takich jak: koniunkcja, alternatywa, implikacja, równoważność, oraz 1argumentowego funktora negacji.
4
Kolejność wiązania funktorów jest następująca: negacja, koniunkcja, alternatywa,
implikacja, równoważność;
Definiowanie funktorów przy pomocy innych funktorów:
p v q ≡ ~p → q
p⇔q ≡ p → q ∧ q → p
p v q ≡ ~(~p ∧ ~q)
p v q ≡ ~p →q
p → q ≡ ~(p ∧ ~q)
p ∧ ~q ≡ ~(p → ~q)
~ ∧ v → ⇔
5
NEGACJA ‘∼’
P
∼p
Zdanie dołączone do spójnika negacji jako
1
0
jego
argument
0
1
zanegowany, zaś zdanie powstałe przez
zanegowanie
nazywamy
zdaniem
określonego
zdania
nazywamy negacją.
KONIUNKCJA ‘∧’
Zdania
pełniące
funkcję
argumentów
P
q
p∧q
1
1
1
spójnika
1
0
0
czynnikami. Zdanie zbudowane z tego
0
1
0
spójnika i jego argumentów nazywamy
0
0
0
koniunkcją.
koniunkcji
nazywane
są
ALTERNATYWA ‘∨’
Zdania
pełniące
funkcję
argumentów
p
q
p∨q
1
1
1
spójnika
1
0
1
składnikami. Zdanie zbudowane z tego
0
1
1
spójnika i jego argumentów nazywamy
0
0
0
alternatywą.
alternatywy
nazywamy
IMPLIKACJA ‘→’
Zdania
pełniące
funkcję
argumentów
p
q
p⇒q
1
1
1
spójnika
1
0
0
odpowiednio
0
1
1
następnikiem. Zdanie zbudowane z tego
0
0
1
spójnika i jego argumentów nazywamy
implikacją.
implikacji
nazywamy
poprzednikiem
i
6
RÓWNOWAŻNOŚĆ ‘⇔’
P
q
p⇔q
Zdania pełniące funkcję argumentów
1
1
1
spójnika równoważności nazywamy
1
0
0
członami. Zdanie zbudowane z tego
0
1
0
0
0
1
spójnika i jego argumentów nazywamy
równoważnością lub ekwiwalencją
7