Ćwiczenia otwierające „Wokół twierdzenia Talesa”

Projekt „Wespół w zespół z Matematyką bez Granic” - rok szkolny 2009/2010
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Ćwiczenia otwierające „Wokół twierdzenia Talesa”
Zadanie bonus – na rozgrzewkę – « POM-POM GIRLS » (7 punktów)
Ritagliate la figura allegata secondo i tratti punteggiati ; poi, scambiate le parti A e B.
Incollate, quindi, sul foglio risposta la nuova rappresentazione del gruppo.
Con questa manipolazione si potrebbe pretendere di provare che 13 = 12,
ma, naturalmente, in questa “dimostrazione” c’è un errore.
Individuate l’errore ed illustrate con precisione in che cosa consiste l’inganno.
Schneidet das beiliegende Bild entlang der gestrichelten Linie aus. Vertauscht anschließend A
und B. Klebt dieses neue Gruppenbild uf das Lösungsblatt.
Durch diese Manipulation möchte man beweisen, dass13 = 12 ist.
Aber natürlich steckt irgendwo ein Fehler in diesem „Beweis“.
Findet den Fehler und erklärt genau worin der Trick besteht.
Découper la figure ci-… suivant les pointillés, puis échanger les pièces notées A et B.
Coller la nouvelle vue du groupe sur la feuille-réponse.
Par cette manipulation on prétend prouver que 13 = 12,
mais il y a, bien sûr, un défaut dans cette "démonstration".
Trouver ce défaut et expliquer précisément en quoi consiste la supercherie.
Cut out the figure attached along the dotted lines. Then swap piece A with piece B.
Stick the new view of the group on your worksheet.
This re-arrangement claims to prove that 13 = 12,
but of course, this “demonstration” is wrong.
Find the fault and explain precisely what the trick is.
Zadanie 1 – „KWADRATURA” (3 punkty)
„Kwadratura prostokąta” to konstrukcja - tylko przy pomocy cyrkla i linijki - kwadratu o polu
równym polu prostokąta. Oto metoda Euklidesa kwadratury prostokąta ABCD o bokach
AB x i AD y :
Na prostej zawierającej bok AB prostokąta odłóż odcinek AD' równy odcinkowi AD ,
Punkt E leży na półokręgu o średnicy BD' i na prostej AD ,
Zbuduj kwadrat AGFE .
Pakiet edukacyjny I „Wokół twierdzenia Talesa”
Strona 1
Projekt „Wespół w zespół z Matematyką bez Granic” - rok szkolny 2009/2010
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pokaż, że przedstawione na rysunku figury: prostokąt ABCD i kwadrat AGFE mają takie
same pola.
Zadanie 2 – „Romb w trójkącie” ( 8 punktów)
W trójkąt ABC wpisano romb ADEF .
Wykaż, że:
a)
AD
b)
1
AD
DB FC (3 punkty)
1
AB
1
(5 punktów)
AC
Zadanie 3 – „Pola w trapezie” (5 punktów)
Dany jest trapez ABCD.
Przekątne trapezu przecinają się w punkcie S .
Pole trójkąta CDS jest równe 1, a pole trójkąta ABS
jest równe 4.
Oblicz pole trapezu.
Zadanie 4 – „KULE W STOŻKU” (6 punktów)
Stożek ma przekrój osiowy w kształcie trójkąta
równobocznego o boku 10.
Wpisano w niego 2 kule, tak jak na rysunku 4.
Oblicz promienie tych kul.
Pakiet edukacyjny I „Wokół twierdzenia Talesa”
Strona 2
Projekt „Wespół w zespół z Matematyką bez Granic” - rok szkolny 2009/2010
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ROZWIĄZANIA ORAZ SCHEMAT PUNKTACJI ZESTAWU
ĆWICZEŃ OTWIERAJĄCYCH „Wokół twierdzenia Talesa”
Zadanie na rozgrzewkę - POM-POM GIRLS (7 punktów) – szkic rozwiązania
Na obrazku powstałym po przełożeniu części A i B policzyć można 12 dziewcząt, podczas
gdy na rysunku początkowym widać ich 13. Można by, więc pomyśleć, że 13 = 12.
Dokładniejsze oględziny pozwalają zauważyć, że każda dziewczynka z obrazka 1 ma jakiś
defekt: pierwsza nie ma nogi, druga nie ma ramion, itp... Każdej brakuje 1/13 części
postaci. Przełożenie części A, B i C powoduje powstanie 12 dziewczynek w pełnej postaci,
12
skąd równość : 13
12 Nic nie stracono, ani nic nie stworzono !
13
CZYNNOŚĆ
ETAPY ROZWIĄZANIA
PUNKTY
1
Tłumaczenie na język polski
1
2
Rozcięcie rysunku
1
3
Prawidłowe złożenie rysunku
2
4
Uzupełnienie równości: 12 = 13
1
5
Zapisanie rozwiązania w języku obcym
2
Zadanie 1 – „KWADRATURA” (3 punkty) – szkic rozwiązania
Przyjmujemy oznaczenia (jak na rysunku 5)
2
AD AD' y oraz AB x ; PABCD = x y ; P□AEFG = AE
Zauważmy, że: ∆AD`E ~ ∆AEB (kk), zatem
AE
y
x
2
stąd AE
AE
x y co oznacza, że
P□AEFG = PABCD
CZYNNOŚĆ
1
2
3
ETAPY ROZWIĄZANIA
Stwierdzenie podobieństwa trójkątów
Wskazanie odcinków równych
Zapisanie odpowiedniej proporcji i przekształcenie jej do tezy zadania
PUNKTY
1
1
1
Zadanie 2 – „ROMB W TRÓJKĄCIE” ”, (8 punktów) - szkic rozwiązania
a) Czworokąt ADEF jest rombem, zatem: AD
FE
FE
DB
FC
DE
Zauważmy, że ∆FEC ~ ∆DBE (kk). Zatem
AD
DB
FC
AD
CZYNNOŚĆ
1
2
3
zatem AD
2
ED
FA (*)
. Uwzględniając (*) otrzymujemy
FC DB
ETAPY ROZWIĄZANIA
Stwierdzenie podobieństwa trójkątów
Zapisanie odpowiedniej proporcji
Podstawienie odcinków równych długości i przekształcenie proporcji
do tezy zadania
Pakiet edukacyjny I „Wokół twierdzenia Talesa”
PUNKTY
1
1
1
Strona 3
Projekt „Wespół w zespół z Matematyką bez Granic” - rok szkolny 2009/2010
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 3 - „POLA W TRAPEZIE” (5 punktów) - szkic rozwiązania
Przyjmijmy oznaczenia w trapezie ABCD: AC BD S ; AB a ; CD b ; PCDS = 1 =
P1; PABS = 4 = P2. Mamy obliczyć P - pole trapezu ABCD.
Zauważmy, że ∆CDS ~ ∆ABS (kk) w skali s. Stosunek pól figur podobnych równy jest
P
1
1
1
s 2 ; stąd s 2
kwadratowi skali podobieństwa, więc 1
.
s
P2 4
4
2
Ponieważ
DC
b
1
( a b)
3ah
.
s , zatem b
a . Wobec tego P
h =
2
2
4
a
1
3
ah 4 , więc ah 12 i pole trapezu P
12 9 .
3
4
AB
1 2
a h
2 3
PABS
CZYNNOŚĆ
1
2
3
4
5
ETAPY ROZWIĄZANIA
Stwierdzenie podobieństwa trójkątów
Wyznaczenie skali podobieństwa
Zapisanie pola trapezu za pomocą długości jednej podstawy i
wysokości trapezu
Wyznaczenie pola jednego z trójkątów
Wykorzystanie tych związków do wyliczenia pola trapezu
PUNKTY
1
1
1
1
1
Zadanie 4 – „KULE W STOŻKU” (6 punktów) - szkic rozwiązania
Trójkąt ABC jest równoboczny:
AB
BC
AC
10 , SC
5 3 - wysokość w
5 3
- promień okręgu wpisanego w trójkąt
3
równoboczny. Niech MN - długość promienia mniejszej kuli, KL - długość promienia
większej kuli.
SB
KL
MN
∆SBC ~ ∆KLC ~ ∆MNC (kk) stąd:
, ale CM SC 2 KS MN
BC CK
CM
trójkącie równobocznym,
zatem:
5
10
stąd MN
CZYNNOŚĆ
1
2
3
4
5
KS
MN
5 3
5 3
9
10 3
3
KL
, więc 10 MN
5
MN
. Promienie kul są równe 5 3 oraz
5 3
3
MN
czyli 15 MN
25 3
3
5 3

9
ETAPY ROZWIĄZANIA
Wyznaczenie wysokości stożka
Wyznaczenie promienia większej kuli
Stwierdzenie podobieństwa trójkątów
Zapisanie odpowiedniego związku między bokami trójkątów
podobnych
Wyznaczenie długości promienia małej kuli
PUNKTY
1
1
1
2
Pakiet edukacyjny I „Wokół twierdzenia Talesa”
Strona 4
1
Projekt „Wespół w zespół z Matematyką bez Granic” - rok szkolny 2009/2010
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 2 – „ROMB W TRÓJKĄCIE” ”, (8 punktów) - szkic rozwiązania
b) Czworokąt ADEF jest rombem, zatem: AD FE ED FA (**)
Dowód:
CF
AC
Zauważmy, że ∆FEC ~ ∆ABC (kk). Stąd:
.
AD
AB
Jeżeli do obu stron równości dodamy 1 otrzymamy zależność:
CF
AC
CF AD
AC AB
1
1. Zatem
.
AD
AB
AD
AB
Korzystając z równości (**) możemy zapisać: CF
Zatem
AC
AC
AD
1
AD AC
1
czyli:
AD
L.P.
1
2
3
AC
AB
AB
AC
CF
FA
. Mnożąc obie strony tej równości przez
AB
AB
1
AB
AD
1
AC
1
AD
AC
AB
AB AC
1
AD
AC .
1
otrzymujemy
AC
AC
AB
AB AC
AB AC
1
.
AC
ETAPY ROZWIĄZANIA
Stwierdzenie podobieństwa trójkątów
Zapisanie odpowiedniej proporcji
Utworzenie przejścia rachunkowego do tezy zadania, po 1 punkcie na krok
PUNKTY
1
1
3
Pakiet edukacyjny I „Wokół twierdzenia Talesa”
Strona 5