Tematy referatów na seminarium magisterskie

Tematy referatów na seminarium magisterskie
1. Lemat Poincaré'go.
Lemat dotycz¡cy ró»niczkowania form ró»niczkowych na rozmaito±ciach,
[Mau10, Spi06].
2. Twierdzenie Stokesa.
To twierdzenie jest raczej o caªkowaniu form ró»niczkowych, aczkolwiek
ró»niczka te» w nim si¦ pojawia, [Mau10, Spi06].
3. Dziaªanie grup na rozmaito±ciach.
Grupy mog¡ dziaªa¢ na zbiorach, zostawiaj¡c na nich pewne
±lady, zwane orbitami. W przypadku, gdy zbiór ma struktur¦ rozmaito±ci gªadkiej, mo»emy
konstruowa¢ nowe rozmaito±ci, sklejaj¡c punkty nale»¡ce do jednej orbity (przykªad konstru2
owania torusa z R , który pojawiª si¦ na wykªadzie), [CB97].
4. Teoria charakterów reprezentacji grup sko«czonych.
Ten temat wyj¡tkowo nie dotyczy wprost
teorii rozmaito±ci ró»niczkowych. Reprezentacja grupy w przestrzeni liniowej to dziaªanie grupy
na tej przestrzeni poprzez odwzorowania liniowe. Reprezentacje s¡ bardzo u»yteczne w ró»nych
dziaªach matematyki i zyki, [Ser88, Tra, Panc].
5. Zasada Banacha i twierdzenie o istnieniu rozwi¡za« ukªadu zwyczajnych równa« ró»niczkowych.
Zasada Banacha o punkcie staªym dziaªa w ogólnych przestrzeniach metrycznych. Umiej¦tnie
wybieraj¡c metryk¦ w przestrzeniach funkcji mo»emy udowodni¢ istnienia rozwi¡za« ukªadu
równa« ró»niczkowych, [Arn75].
6. Grupy Liego. Zwi¡zki pomi¦dzy grupami i algebrami Liego.
Grupy Liego s¡ grupami wy-
posa»onymi w struktur¦ rozmaito±ci gªadkiej. Olbrzymi¡ cz¦±¢ informacji o takich (wªa±ciwie
geometrycznych) obiektach mo»na odczyta¢ z tzw. algebr Liego, b¦d¡cych obiektami czysto algebraicznymi, [Panc, Pand, Woj86].
7. Klasykacja póªprostych algebr Liego.
obiektami geometrycznymi w
R
n
Temat bardziej algebraiczny, ale zwi¡zany te» z pi¦knymi
zwanymi ukªadami pierwiastków, [Pand, Woj86].
8. Struktury bihamiltonowskie i p¦ki Liego.
Temat ª¡cz¡cy wiele struktur tak geometrycznych, jak
i algebraicznych, maj¡cych zastosowanie do równa« ró»niczkowych na rozmaito±ci, [Pana].
9. Teoria klasycznej r-macierzy i jej zastosowania do ukªadów zupeªnie caªkowalnych.
Jeszcze
jeden bardziej algebraiczny temat, zwi¡zany z algebrami Liego i ukªadami caªkowalnymi.
10. Kwaterniony i geometria grup Liego SO(3) i SU (2).
Kwaterniony s¡ pi¦knym uogólnieniem
liczb zespolonych. Maj¡ du»o zastosowa« w matematyce, za ich pomoc¡ mo»emy te» powi¡za¢
ze sob¡ powy»sze grupy, które s¡ bardzo wa»ne w zyce, [iJIM93].
11. Transformacja Legendre'a w mechanice klasycznej.
Jest to geometryczna relacja pomi¦dzy wi¡z-
kami styczn¡ i kostyczn¡ na rozmaito±ci, b¦d¡ca mostem pomi¦dzy dwoma formalizmami w
mechanice klasycznej: lagrange'owskim i hamiltonowskim, [Arn81]
12. Teoria tkanin.
Tkanin¡ klasyczn¡ nazywamy sko«czony zbiór foliacji na rozmaito±ci. Tkaniny
Veronese to, z kolei, jednoparametrowe rodziny foliacji.
Jak dla pierwszych, tak i dla dru-
gich mo»na okre±li¢ poj¦cie krzywizny (b¦d¡cej przeszkod¡ do jednoczesnego wyprostowania
wszystkich foliacji.
13. Rozmaito±ci zespolone.
n
S¡ to obiekty lokalnie zmodelowane na przestrzeniach C podobnie do
n
tego, jak zwykªe rozmaito±ci s¡ budowane z kawaªków R . U»ywa si¦ tu analizy zespolonej
wielu zmiennych.
14. Koneksje i metryki na rozmaito±ciach.
Koneksja jest struktur¡ umo»liwiaj¡c¡ przeniesienie
równolegªe wektorów stycznych wzdªu» krzywych na rozmaito±ci.
To koneksje sa odpowie-
dzialne za krzywizn¦. Metryka to iloczyn skalarny w przestrzeniach stycznych gªadko zale»¡cy
od punktu.
Z ka»d¡ metryk¡ zwi¡zana jest jedyna koneksja, tzw.
koneksja Levi-Civity, wy-
znaczaj¡ca krzywizn¦ metryki. Temat dotyczy dziaªki geometrii ró»niczkowej zwanej geometri¡
riemannowsk¡, maj¡cej bardzo wa»ne znaczenie dla zyki, w szczególno±ci dla teorii wzgl¦dno±ci; [Panb] (wykªad 15), [Opr02].
15. Indeksy punktów osobliwych pola wektorowego.
Temat o zastosowaniach topologii do badania
równa« ró»niczkowych, [Arn75] (ostatni rozdziaª).
16. Twierdzenie Gaussa-Bonneta.
Twierdzenie to daje pewn¡ relacj¦ pomi¦dzy dwoma, na pierwszy
3
rzut oka ró»nymi, poj¦ciami zwi¡zanymi z dwuwymiarow¡ powierzchni¡ w R . Pierwsze, to
znana z wykªadu z geometrii ró»niczkowej krzywizna Gaussa, a drugie to charakterystyka Eulera
odzwierciedlaj¡ca topologiczne wªasno±ci powierzchni.
Uwagi:
1. Do tematów 1-5 oprócz przygotowania referatu trzeba b¦dzie jeszcze rozwi¡za¢ seri¦ zada« obliczeniowych.
2. Tematy 4-13 nosz¡ bardziej teoretyczny charakter, do nich te» b¦d¡ zadania, ale raczej typu
udowodnij, »e....
3. Referaty b¦d¡ wygªaszane w kolejno±ci z powy»szej listy (plus-minus).
4. Literatura do tematów 9,12 jest wyª¡cznie w j¦zyku angielskim (ewentualnie rosyjskim).
Literatura
[Arn75]
V. I. Arnold,
[Arn81]
[CB97]
,
Równania ró»niczkowe zwyczajne,
PWN, 1975.
Metody matematyczne mechaniki klasycznej,
Richard H. Cushman and Larry M. Bates,
PWN, 1981.
Global aspects of classical integrable systems,
Birkhauser, 1997.
[iJIM93] A. I. Kostrikin i J. I. Manin,
[Mau10] K. Maurin,
Analiza,
[Opr02]
John Oprea,
[Pana]
Andriy
of
Algebra liniowa i geometria,
vol. 2, PWN, 2010.
Geometria ró»niczkowa i jej zastosowania,
Algebraic and geometric
systems, Skrypt do wykªadu
Panasyuk,
integrable
PWN, 1993.
http://http:wmii.uwm.edu.pl/˜panas/talks/talks.html.
PWN, 2002.
aspects
of
monogracznego,
modern
theory
dost¦pne
na
[Panb]
,
Geometria
ró»niczkowa,
Skrypt
do
wykªadu,
dost¦pne
na
http://http:wmii.uwm.edu.pl/˜panas/talks/talks.html.
[Panc]
,
Wykªady
z
teorii
grup
I,
Skrypt
do
wykªadu,
dost¦pne
na
do
wykªadu,
dost¦pne
na
http://http:wmii.uwm.edu.pl/˜panas/talks/talks.html.
[Pand]
,
Wykªady
z
teorii
grup
II,
Skrypt
http://http:wmii.uwm.edu.pl/˜panas/talks/talks.html.
Reprezentacje liniowe grup sko«czonych,
[Ser88]
Jean-Pierre Serre,
[Spi06]
M. Spivak,
[Tra]
Andrzej Trautman,
Analiza na rozmaito±ciach,
PWN, 2006.
Grupy oraz ich reprezentacje,
Skrypt do wykªadu,
http://www.fuw.edu.pl/˜amt.
[Woj86]
Wojciech Wojty«ski,
PWN, 1988.
Grupy i algebry Liego,
PWN, 1986.
dost¦pne na