Krótkie wprowadzenie do algebr Liego

Wprowadzenie do algebr
Liego
Semetr zimowy roku 2007r.
24.01.2008r.
Definicja 1 (Algebra Liego) - Niech K - ciało. Przestrzeń K - liniowa L jest
algebrą Liego, jeśli dane jest w niej mnożenie spełniające warunki:
• a2 = 0, ∀a∈L
• (ab)c + (bc)a + (ca)b = 0, ∀a,b,c∈L .
Z definicji łatwo wynikają dwie obserwacje:
• Mnożenie jest antysymetryczne: ab = −ba, ∀a,b∈L ,
• Dla ciał charakterystyki 2, mamy: ab = ba, ∀a∈L .
Różniczkowania
Definicja 2 Niech A będzie dowolną algebrą. Przekształcenie φ ∈ EndK (A)
nazywamy różniczkowaniem, jeśli:
φ(ab) = aφ(b) + φ(a)b, ∀a,b∈A .
Różniczkowania tworzą algebrę Liego DerK (A) ze względu na komutowanie. Jest
to podalgebra Liego algebry EndK (A).
Podstawowe przykłady różniczkowań:
• Różniczkowanie wewnętrzne: φa (x) = ax − xa,
• Różniczkowanie dołączone: δa (x) = ax.
Twierdzenie 1 (Poincare - Birkhoff - Witt) Niech L - dowolna algebra Liego. Wówczas:
• Istnieje algebra łączna U (L), że L jest jej podalgebrą Liego,
• Jeżeli x1 , x2 , . . . , xn to baza L, wówczas bazę U (L) stanowią jednomiany
postaci: xi1 xi2 . . . xir , gdzie i1 ¬ i2 ¬ . . . ¬ ir .
• Dla dowolnej algebry A, jeżeli φ : L → A jest homomorfizmem algebr
Liego, to istnieje dokładnie jeden homomorfizm φ : U (L) → A, który
obcięty do L jest tożsamościowo równy φ.
Twierdzenie 2 (Ado - Iwasawa) Jeżeli L jest skończenie wymiarową algebrą Liego, to istnieje skończenie wymiarowa algebra łączna A, że L jest izomorficzna z pewną podalgebrą Liego algebry A.
1
Lemat 1 Niech I, J - ideały algebry Liego L. Wówczas IJ = JI ⊳ L.
Definicja 3 (Rozwiązalna algebra Liego) Niech L będzie algebrą Liego. Określamy ciąg pochodny algebry L:
L(0) = L, L(1) = L2 , L(n+1) = L(n) · L.
Jeżeli istnieje n ∈ N, że n = inf {A(k) = 0} to mówimy, że L jest rozwiązalna
k∈N
stopnia n.
Twierdzenie 3 Klasa rozwiązalnych algebr Liego jest zamknięta ze względu na
branie podalgebr Liego, obrazów homomorficznych i rozszerzeń.
W każdej algebrze Liego L skończona suma ideałów rozwiązalnych jest ideałem
rozwiązalnym. Jeśli dim(L) < ∞, to w L istnieje największy ideał rozwiązalny
- nazywamy go radykałem rozwiązalnym. Algebra Liego podzielona przez
radykał rozwiązalny ma zerowy radykał rozwiązalny.
Definicja 4 (Półprosta algebra Liego) Algebrę Liego nazywamy półprostą
jeśli ma zerowy radykał rozwiązalny.
Definicja 5 (Nilpotentna algebra Liego) Niech L będzie algebrą Liego. Określamy dolny ciąg centralny algebry L:
L1 = L, L2 = L · L, Ln+1 = Ln · L.
Jeżeli istnieje n ∈ N, że n = inf {Ak = 0} to mówimy, że L jest nilpotentna
k∈N
stopnia n.
Definicja 6 (Centrum algebry Liego) Niech L będzie algebrą Liego. Jej centrum określamy jako zbiór: Z(L) = {a ∈ L : aL = 0}.
Nilpotentna algebra Liego stopnia n ma tę własność, że Ln−1 ⊂ Z(L).
Lemat 2 Dla dowolnej algebry Liego L(n) ⊂ Ln+1 .
Lemat 3 Dla dowolnej algebry Liego Li · Lj ⊂ Li+j .
W dowolnej algebrze Liego skończona suma ideałów nilpotentnych jest ideałem
nilpotentnym. Jeśli dim(L) < ∞, to w L istnieje największy ideał nilpotentny 2
nazywamy go radykałem nilpotentnym. Nie jest prawdą, że algebra Liego
podzielona przez radykał rozwiązalny ma zerowy radykał rozwiązalny. Kontrprzykład stanowią macierze postaci:


k1 k2
 , k1 , k2 ∈ K, char(K) 6= 2}.
{
0
0
Definicja 7 (Warunek Engela) Algebra Liego spełnia warunek Engela, jeżeli
dla każdego a ∈ L przekształcenie ada jest nilpotentnym endomorfizmem przestrzeni L. Dla pewnego b:
[a, [a, [a, . . . [a, b] . . .]]] = 0.
Twierdzenie 4 (Twierdzenie Engela) Skończenie wymiarowa algebra Liego
spełniająca warunek Engela jest nilpotentna.
Definicja 8 (Podzbiór Liego) Niech A będzie algebrą łączną. Niepusty podzbiór S ⊆ A nazwiemy podzbiorem Liego jeżeli jest on zamknięty na komutowanie (nie zakładamy nic o strukturze addytywnej tego zbioru).
Lemat 4 (Jacobson) Niech S ⊆ A będzie podzbiorem Liego algebry A, złożonym z elementów nilpotentnych, że przestrzeń liniowa nad K generowana przez
S jest skończenie wymiarowa. Wówaczas istnieje n, że podalgebra A generowana
przez S jest nilpotentna stopnia n.
Twierdzenie 5 Niech A - skończenie wymiarowa algebra łączna, S ⊆ A - podzbiór Liego złożony z elementów nilpotentnych. Wtedy podalgebra łączna w A
generowana przez S jest nilpotentna.
Płynie stąd następujący wniosek: Niech V - przestrzeń skończenie wymiarowa.
Niech S ⊆ EndK (V ) będzie podzbiorem Liego złożonym z przekształceń nilpotentnych. Wówczas istnieje baza przestrzeni V, w której wszystkie macierze ze
zbioru S są ściśle trójkątne.
Definicja 9 (Przekształcenie lokalnie algebraiczne) Niech V - przestrzeń
liniowa. Przekształcenie φ ∈ EndK (V ) nazwiemy lokalnie algebraicznym, jeżeli
dla każdego v ∈ V istnieje wielomian f (t) ∈ K[t], że f (φ)(v) = 0.
3
Lemat 5 Niech A - algebra, zaś K = K. Niech φ ∈ EndK (A) - lokalnie algebraiczne, gdzie EndK (A) traktujemy jako przestrzeń liniową nad K. Dla dowolnego
∞
P
ker(φ − α · Id)n . Wtedy:
α ∈ K niech Aα =
n=1
• A=
L
Aα , gdzie Aα są φ - niezmiennicze,
α∈K
• Jeśli φ jest różniczkowaniem, to Aα · Aβ ⊂ Aα+β ,
• Jeśli φ ∈ EndK (A) traktowanej jako algebry, to Aα · Aβ ⊂ Aα·β .
Twierdzenie 6 Niech L - algebra skończenie wymiarowa. σ ∈ AutLie (L), taki,
że Lσ = {0}. Jeśli |σ| = p - pierwszy, to L jest nilpotentna.
Warto zauważyć, że ideał algebry półprostej nie musi być półprosty. Stosowny
przykład da się skonstruować dla algebr Liego nad ciałem dodatniej charakterystyki. Jednak...
Twierdzenie 7 Niech L będzie skończenie wymiarową algebrą Liego, char(K) =
0. Jeśli L jest półprosta, to każdy jej ideał jest półprosty. Minimalne ideały w L
są algebrami prostymi.
4