Rozdzia l 2 Modele na drzewach binarnych

Rozdzial 2
Modele na drzewach binarnych
W tym rozdziale rozważamy analogon modelu Coxa–Rossa–Rubinsteina (w skrócie
CRR) dla cen obligacji. Przedstawimy modele cen obligacji w czasie dyskretnym na
drzewach binarnych. Omówione zostana֒ warunki braku arbitrażu, modele Ho–Lee i
HJM (Heath–Jarrow–Morton).
2.1
Drzewa binarne
Kroki w drzewie oznaczamy przez t = 0, 1, 2, ..., T a dlugość przedzialu czasowego
przez τ . Dla danego wez
֒ la ωt = α1 α2 · · · αt , gdzie α1 , α2 , · · · , αt ∈ {u, d} oznaczamy
przez B(t, T ; ωt ) wartość w weźle
ωt ceny w chwili t obligacji o zapadalności w chwili
֒
T ≥ t, przyjmujac
ω
=
∅.
0
֒
W przeciwieństwie do modelu CRR, mamy w każdym weźle
(inna)
֒ liczbe֒ ak֒
tywów
B(0, 1; ω0), B(0, 2; ω0), B(0, 3; ω0), .... B(0, T ; ω0),
potem
B(1, 2; ω1), B(1, 3; ω1), ...... B(1, T ; ω1),
w przedostatnim B(T − 1, T ; ωT −1), a w ostatnim weźle
mamy warunek końcowy
֒
B(T, T ; ωT ) = 1.
Jeśli t < S to cena B(t, S, ωt ) może “wzrosnać”
do B(t + 1, S; ωtu) lub “zmaleć”
֒
do B(t + 1, S; ωtd). Zwykle ale nie zawsze! (patrz model HJM)
B(t + 1, S; ωt u) > B(t + 1, S; ωt d).
Nie ma jednak powodów by n.p. B(t + 1, S; ωt u) > B(t, S; ωt ).
Zauważmy, że zbiór zdarzeń elementarnych to Ω = {d, u}T . Ponadto ωt to
obciecie
ω ∈ Ω do pierwszych t-wyrazów.
֒
15
16
ROZDZIAL 2. MODELE NA DRZEWACH BINARNYCH
2.1.1
Przykladowe drzewo binarne
Przykladowe drzewo binarne dla T = 3 wyglada
nastepuj
aco:
֒
֒
֒
B(0, 0) = 1
B(0, 1)
B(0, 2)
B(0, 3)
ր
ց
2.1.2
B(1, 1; u) = 1
B(1, 2; u)
B(1, 3; u)
B(1, 1; d) = 1
B(1, 2; d)
B(1, 3; d)
B(2, 2; uu) = 1
B(2, 3; uu)
ր
ց
B(2, 2; ud) = 1
B(2, 3; ud)
B(2, 2; du) = 1
B(2, 3; du)
ր
ց
B(2, 2; dd) = 1
B(2, 3; dd).
Miary martyngalowe i brak arbitrażu
Pojecie
barku arbitrażu definiuje sie֒ w ten sam sposób jak dla rynku akcji. Czyli ar֒
bitraż to istnienie strategii samofinansujacej
sie,
֒
֒ która z zerowego kapitalu poczatko֒
wego prowadzi w jakiejś chwili do zysku Z: P(Z ≥ 0) = 1 i P(Z > 0) > 0.
Przypomnijmy, że: rachunek bankowy B(t) (patrz Definicja 11) oraz stopa krótka
r(t) (patrz Definicja 10) dane sa֒ wzorami.
( t−1
)
X
log B(t, t + 1)
r(t) = −
,
B(t) = exp τ
r(u) .
(2.1)
τ
u=0
Zdefiniujmy rodzine֒ liczb p(t, S; ωt), 0 ≤ t < t + 1 < S, w nastepuj
acy
sposób1
֒
֒
p(t, S; ωt ) :=
:=
B(t, S; ωt ) − B(t + 1, S; ωtd)e−τ r(t;ωt )
B(t + 1, S; ωt u)e−τ r(t;ωt ) − B(t + 1, S; ωtd)e−τ r(t;ωt )
(2.2)
B(t, S; ωt ) − B(t + 1, S; ωtd)B(t, t + 1; ωt )
.
B(t + 1, S; ωt u)B(t, t + 1; ωt ) − B(t + 1, S; ωtd)B(t, t + 1; ωt )
Twierdzenie 6 Niech T bedzie
maksymalnym czasem wykupu obligacji w modelu.
֒
Niech p(t, S; ωt ) bed
a
zdefiniowane
wzorami (2.2). Wówczas w modelu nie ma arbi֒ ֒
trażu wtedy i tylko wtedy gdy dla wszystkich t i wt ∈ {u, d}t zachodza֒ warunki:
p(t, t + 2; ωt) = p(t, t + 3; ωt ) = · · · = p(t, T − 1; ωt).
p(t, S; ωt ) ∈ (0, 1)
1
dla każdego S = t + 2, . . . , T − 1.
Symbolowi nieoznaczonemy 0/0 przyporzadkujemy
dowolna֒ wartość.
֒
(2.3)
(2.4)
2.1. DRZEWA BINARNE
17
Ponadto, jeżeli zachodza֒ powyższe warunki, to
p(t; ωt ) := p(t, t + 2; ωt ) = . . . = p(t, T − 1; ωt )
(2.5)
jest warunkowym prawdopodobieństwem martyngalowym, że dla dowolnego t + 1 <
S < T , cena S-obligacji w chwili t + 1 bedzie
równa B(t + 1, S; ωt u) pod warunkiem,
֒
że w chwili t wynosila ona B(t, S; ωt ).
Dowód Warunek na brak arbitrażu wyprowadza sie֒ tak samo jak dla rynku akcji,
tutaj T -tym walorem jest po prostu obligacja o czasie zapadalności T . Fundamentalne prawo wyceny mówi, że brak arbitrażu jest równoważny istnieniu miary
martyngalowej (z ang. risk neutral probability), to jest miary na Ω = {u, d}T , przy
której zdyskontowane ceny (wszystkich aktywów na rynku) sa֒ martyngalami. Dyskontowanie polega na dzieleniu procesu cen przez rachunek bankowy B(t).
Niech E∗ oznacza operator wartości oczekiwanej wzgledem
miary martyngalowej.
֒
Warunek braku arbitrażu ma postać
∗
E
B(t + 1, S)
|Ft
B(t + 1)
=
B(t, S)
B(t)
dla wszystkich t + 1 < S,
(2.6)
gdzie Ft jest σ-cialem zbiorów, które zaszly do momentu t. Ze wzoru (2.1), B(t + 1)
jest Ft mierzalne (stan naszego konta w chwili t + 1 jest znany w chwili t). Stad
֒
(2.6) ma postać
E∗ (B(t + 1, S)|Ft) = B(t, S)
B(t + 1)
= eτ r(t) B(t, S)
B(t)
dla wszystkich t + 1 < S,
Niech dla zadanej ωt , p(t; ωt ) oznacza warunkowe prawdopodobieństwo martyngalowe,
że dla dowolnego t + 1 < S < T , cena S-obligacji w chwili t + 1 bedzie
równa
֒
B(t + 1, S; ωtu) pod warunkiem, że w chwili t wynosila ona B(t, S; ωt ). Mamy
E∗ (B(t + 1, S)|Ft) (ωt ) = p(t; ωt )B(t + 1, S; ωtu) + (1 − p(t; ωt )) B(t + 1, S; ωtd)
= p(t; ωt ) (B(t + 1, S; ωtu) − B(t + 1, S; ωtd)) + B(t + 1, S; ωtd).
Tak wiec
֒ (2.6) możemy zapisać w postaci
p(t; ωt ) =
B(t, S; ωt ) − B(t + 1, S; ωtd)e−τ r(t;ωt )
B(t + 1, S; ωt u)e−τ r(t;ωt ) − B(t + 1, S; ωtd)e−τ r(t;ωt )
dla wszystkich t + 1 < S.
18
ROZDZIAL 2. MODELE NA DRZEWACH BINARNYCH
2.1.3
Przyklad
B(1, 1; u) = 1
B(1, 2; u)
B(1, 3; u)
p(0)
ր
B(0, 0) = 1
B(0, 1)
B(0, 2)
B(0, 3)
p(1; u)
ր
r(1; u)
ց
1 − p(1; u)
B(2, 2; uu) = 1
B(2, 3; uu)
→
B(3, 3; uu) = 1
B(2, 2; ud) = 1
B(2, 3; ud)
→
B(3, 3; ud) = 1
B(2, 2; du) = 1
B(2, 3; du)
→
B(3, 3; du) = 1
B(2, 2; dd) = 1
B(2, 3; dd)
→
B(3, 3; dd) = 1.
r(0)
ց
1 − p(0)
B(1, 1; d) = 1
B(1, 2; d)
B(1, 3; d)
p(1; d)
ր
r(1; d)
ց
1 − p(1; d)
Zaobserwujmy, że ceny z najdluższymi czasami wykupu wraz z stopami krótkimi
(równoważnie z cenami z czasem do wykupu 1) jak poniżej
B(1, 3; u)
ր
B(0, 3)
ր
r(1; u)
ց
B(2, 3; uu)
→
B(3, 3; uu) = 1
B(2, 3; ud)
→
B(3, 3; ud) = 1
B(2, 3; du)
→
B(3, 3; du) = 1
B(2, 3; dd)
→
B(3, 3; dd) = 1
r(0)
ց
B(1, 3; d)
ր
r(1; d)
ց
determinuja֒ wszystkie ceny B(t, S) w dowolnych wez
֒ lach drzewa! Pozostale ceny
liczymy z warunku braku arbitrażu, przeksztalcajac
֒ (2.2) do postaci
B(t, S; ωt )
= [p(t; ωt )B(t + 1, S; ωtu) + (1 − p(t; ωt ))B(t + 1, S; ωt d)] e−τ r(t;ωt ) .
Zadanie 7 Uzupelnij drzewo cen, w którym τ =
z czasem wykupu 3 sa֒ nastepuj
ace
֒
֒
B(1, 3; u) = 0.908
ր
B(0, 3) = 0.87
T = 3 oraz ceny dla obligacji
ր
r(1; u) = 2%
ց
B(2, 3; uu) = 0.989
B(2, 3; ud) = 0.89
r(0) = 4%
ց
2.1.4
1
,
12
(2.7)
B(1, 3; d) = 0.85
ր
r(1; d) = 4%
ց
B(2, 3; du) = 0.985
B(2, 3; dd) = 0.85.
Arbitraż i strategie arbitrażowe
Aby wykryć arbitraż musimy policzyć p(t, S; ω) dane wzorem (2.2), na każdej galezi
֒
używajac
֒ różnych czasów wykupu S = t + 2, . . . , T − 1.
2.1. DRZEWA BINARNE
19
Poniżej uwzglednimy
parametr S w p(t, S; ωt) by zaznaczyć, że prawdopodo֒
bieństwo bylo policzone dla czasu wykupu S. Wiemy, że brak arbitrażu oznacza, że
p nie zależy od S oraz, że p ∈ (0, 1) czyli, że zachodza֒ warunki (2.3) i (2.4).
Jeśli (2.2) prowadzi do wartości p(t, S; ωt ), dla których nie zachodza֒ (2.3) lub
(2.4) to oczywiscie w modelu wystepuje
arbitraż!
֒
Przeanalizujmy teraz możliwe scienariusze wystepowania
arbitrażu.
֒
Piewsza możliwość Zalóżmy, że dla jakiś 0 ≤ t < t + 2 ≤ S i ωt , zachodzi
p := p(t, S; ωt ) ≥ 1 lub p(t, S; ωt ) ≤ 0. Wtedy (2.2) prowadzi do oszacowań
B(t, S; ωt )eτ r(t;ωt ) ≥ B(t + 1, S; ωtu) > B(t + 1, S; ωtd),
gdy p ≥ 1 i B(t + 1, S; ωt u) > B(t + 1, S; ωt u),
B(t, S; ωt )eτ r(t;ωt ) ≤ B(t + 1, S; ωtu) < B(t + 1, S; ωtd),
gdy p ≥ 1 i B(t + 1, S; ωt u) < B(t + 1, S; ωt d),
B(t, S; ωt )eτ r(t;ωt ) ≤ B(t + 1, S; ωtd) < B(t + 1, S; ωtd),
gdy p ≤ 0 i B(t + 1, S; ωt d) < B(t + 1, S; ωt u),
B(t, S; ωt )eτ r(t;ωt ) ≥ B(t + 1, S; ωtd) > B(t + 1, S; ωtu),
gdy p ≤ 0 i B(t + 1, S; ωt d) > B(t + 1, S; ωt u).
Stad
֒ albo
B(t, S; ωt )eτ r(t;ωt ) ≤ min {B(t + 1, S; ωt d), B(t + 1, S; ωtu)}
(2.8)
B(t, S; ωt )eτ r(t;ωt ) ≥ max {B(t + 1, S; ωtd), B(t + 1, S; ωtu)} .
(2.9)
albo
Zauważmy, że (2.8) oznacza, że ceny w chwili t, S-obligacji sa֒ niedoszacowane
i powinniśmy grać na wzrost cen S-obligacji. Strategia arbitrażowa polega wiec
֒ na
wzieciu
w
chwili
t
pożyczki
na
jednej
(a
najlepiej
na
tyle
ile
si
e
da)
S-obligacji.
W
֒
֒
chwili t + 1 sprzedajemy nasza֒ obligacje.
֒ l scenariusz
֒ Niezależnie od tego czy nastapi
d czy u kwota uzyskana ze sprzedaży pozwala na splate֒ dlugu i daje zysk gdy w
formule wystepuje
ostra nierówność z prawdopodobieństwem 1 a gdy równość z
֒
niezerowym prawdopodobieństwem (o ile B(t + 1, S; ωt u) 6= B(t + 1, S; ωtd)).
Natomiast gdy zachodzi (2.9), to znaczy, że ceny w chwili t, S-obligacji sa֒ przeszacowane i powinniśmy grać na spadek ich cen. Strategia arbitrażowa polega wiec
֒
na wystawieniu w chwili t jednej (a najlepiej tylu ile da sie֒ sprzedać) S-obligacji
i ulokowaniu kwoty uzyskanej za jej sprzedaż na rachunku bankowym. Bilans jest
nastepuj
acy:
w chwili t uzyskujemy ze sprzedaży B(t, S; ωt ). Lokujemy B(t, S; ωt )
֒
֒
τ r(t;ωt )
w banku uzyskujac
. Kwota ta pozwala na
֒ w chwili t + 1 kwote B(t, S; ωt )e
20
ROZDZIAL 2. MODELE NA DRZEWACH BINARNYCH
splate֒ dlugu i daje zysk gdy w formule wystepuje
ostra nierówność z prawdopodo֒
bieństwem 1 a gdy równość z niezerowym prawdopodobieństwem.
Druga możliwość Istnieja֒ t, ωt oraz dwa czasy wykupu S1 < S2 , takie, że
p(t, S1 ; ωt ) 6= p(t, S2 ; ωt ).
Aby skrócić zapis bedziemy
pomijali czynnik ωt . Zalóżmy, że p(t, S1 ) < p(t, S2 ) oraz,
֒
że
B(t + 1, S1 ; u) > B(t + 1, S1 ; d) i B(t + 1, S2 ; u) > B(t + 1, S2 ; d).
Analiza pozostalych przypadków może być przeprowadzona w podobny sposób.
Znalezienie strategi arbitrażowej zaczniemy od utworzenia w chwili t i weźle
ωt
֒
portfelu obligacji o czasach wykupu S2 i t + 1 replikujacego
w chwili t + 1 ceny
֒
obligacji o czasie wykupu S1 . Szukamy wiec
֒ x i y takich, że
xB(t + 1, S2 ; u) + yB(t + 1, t + 1) = B(t + 1, S1 ; u),
xB(t + 1, S2 ; d) + yB(t + 1, t + 1) = B(t + 1, S1 ; d).
Oczywiście B(t + 1, t + 1) = 1. Stad
֒
x=
oraz
B(t + 1, S1 ; u) − B(t + 1, S1 ; d)
B(t + 1, S2 ; u) − B(t + 1, S2 ; u)
y = B(t + 1, S1 ; u) −
B(t + 1, S1 ; u) − B(t + 1, S1 ; d)
B(t + 1, S2 ; u).
B(t + 1, S2 ; u) − B(t + 1, S2 ; u)
W chwili t wartość portfela wynosi xB(t, S2 )+yB(t, t+1) a w chwili t+1, B(t+1, S1).
Oczywiście w przypadku braku arbitrażu powinno być xB(t, S2 ) + yB(t, t + 1) =
B(t, S1 ). Istotnie, gdyby xB(t, S2 ) + yB(t, t + 1) < B(t, S1 ), to arbitraż uzyskamy
sprzedajac
֒ w chwili t jedna֒ obligacje o czasie wykupu S1 i tworzac
֒ portfel x obligacji
o czasie wykupu S2 oraz y obligacji o czasie wykupu t + 1. W chwili t + 1 jesteśmy
w stanie splacić nasz dlug uzyskujacy
dochód B(t, S1 ) − xB(t, S2 ) − yB(t, t + 1).
֒
Podobnie, gdyby xB(t, S2 )+yB(t, t+1) > B(t, S1 ), to arbitraż uzyskamy sprzedajac
֒
portfel x obligacji o czasie wykupu S2 i y obligacji o czasie wykupu t + 1, kupujac
֒
jedna֒ obligacje o czasie wykupu S1 . Znowu w czasie t + 1 sprzedaż posiadanej S1 obligacji umożliwia nam splate֒ dlugu i uzyskanie zysku xB(t, S2 ) + yB(t, t + 1) −
B(t, S1 ).
Pozostaje wiec
czy p(t, S1 ) 6= p(t, S2 ) implikuje xB(t, S2 ) +
֒ do rozstrzygniecia
֒
yB(t, t + 1) 6= B(t, S1 ). Czyli, czy z faktu, że
B(t, S1 ) − B(t + 1, S1 ; d)B(t, t + 1)
B(t + 1, S1 ; u)B(t, t + 1) − B(t + 1, S1 ; d)B(t, t + 1)
B(t, S2 ) − B(t + 1, S2 ; d)B(t, t + 1)
6=
B(t + 1, S2 ; u)B(t, t + 1) − B(t + 1, S2 ; d)B(t, t + 1)
2.1. DRZEWA BINARNE
21
wynika
B(t + 1, S1; u) − B(t + 1, S1; d)
B(t, S2 )
B(t + 1, S2; u) − B(t + 1, S2; u)
B(t + 1, S1 ; u) − B(t + 1, S1 ; d)
+ B(t + 1, S1 ; u) −
B(t + 1, S2 ; u) B(t, t + 1)
B(t + 1, S2 ; u) − B(t + 1, S2 ; u)
6= B(t, S1 ).
Mnożac
֒ obie strony pierwszej nierówność przez B(t, t + 1) otrzymujemy, że jest ona
równoważna nierówności
B(t, S1 ) − B(t + 1, S1 ; d)B(t, t + 1)
B(t, S2 ) − B(t + 1, S2 d)B(t, t + 1)
6=
, (2.10)
B(t + 1, S1; u) − B(t + 1, S1; d)
B(t + 1, S2 u) − B(t + 1, S2 d)
która֒ możemy zapisać w postaci
B(t + 1, S1; u) − B(t + 1, S1; d)
(B(t, S2 ) − B(t + 1, S2 ; u)B(t, t + 1))
B(t + 1, S2; u) − B(t + 1, S2; u)
6= B(t, S1 ) − B(t + 1, S1; u)B(t, t + 1).
Czyli, że
B(t, S1 ) − B(t + 1, S1 ; u)B(t, t + 1)
B(t + 1, S1 ; u) − B(t + 1, S1 ; d)
6=
.
B(t + 1, S2 ; u) − B(t + 1, S2 ; u)
B(t, S2 ) − B(t + 1, S2 ; u)B(t, t + 1)
(2.11)
Oczywiście (2.10) jest równoważne (2.11). W pewnym sensie powtórzyliśmy dowód
fundamentalnego twierdzenia wyceny!
2.1.5
Zadania
Zadanie 8 Czy w nastepuj
acym
modelu wystepuje
arbitraż?
֒
֒
֒
B(0, 1) = 0.991
B(0, 2) = 0.987
B(0, 3) = 0.945
ր
ց
B(1, 2; u) = 0.996
B(1, 3; u) = 0.987
ր
ց
B(1, 2; d) = 0.968
B(1, 3; d) = 0.95.
ր
ց
B(2, 3; uu) = 0.9997
B(2, 3; ud) = 0.967
B(2, 3; du) = 0.989
B(2, 3; dd) = 0.978.
Jaka jest strategia arbitrażowa?
Zadanie 9 Czy w nastepuj
acym
modelu cen
֒
֒
B(0, 1) = 0.91090
B(0, 2) = 0.82256
B(0, 3) = 0.75470
p(0, 2) = 0.750
p(0, 3) = 0.750
ր
ց
q(0, 2) = 0.250
q(0, 3) = 0.250
B(1, 2) = 0.89760
B(1, 3) = 0.81960
B(1, 2) = 0.91930
B(1, 3) = 0.85530
p(1, 3) = 0.799
ր
ց
q(1, 3) = 0.201
B(2, 3) = 0.91650
p(1, 3) = −0.411
ր
ց
q(1, 3) = 1.411
B(2, 3) = 0.90540
B(2, 3) = 0.89960
B(2, 3) = 0.92310
22
ROZDZIAL 2. MODELE NA DRZEWACH BINARNYCH
wystepuje
arbitraż? Jaka jest strategia arbitrażowa?
֒
2.2
Model Ho–Lee
Model ten jest odpowiednikiem modelu Coxa–Rossa–Rubinsteina cen akcji. Zostal
zbudowany w 1986 i jest uznany jako pierwszy poważny model struktury terminowej.
2.2.1
Zalożenia modelu
Model Ho–Lee (HL) jest oparty na drzewie binarnym “rekombinowanym”, to znaczy
takim, w którym ceny obligacji nie zależa֒ od calej ścieżki ale od liczby wzrostów i
spadków.
Jeśli ceny sa֒ deterministyczne to, patrz Twierdzenie 1 i Wniosek 1, istnieje r
takie, że B(t, S) = e−r(S−t) dla t ≤ S ≤ T . Stad
֒
B(t + 1, S) = e−r(S−t−1) = e−r(S−t) er =
B(t, S)
.
B(t, t + 1)
Ho i Lee przyjeli,
że
֒
B(t, S; ωt )
h(S − (t + 1); u),
B(t, t + 1; ωt )
B(t, S; ωt )
h(S − (t + 1); d),
B(t + 1, S; ωt d) =
B(t, t + 1; ωt )
B(t + 1, S; ωt u) =
gdzie h(·; u) i h(·; d) sa֒ pewnymi mnożnikami (z ang. “perturbation factors”) zależnymi od czasu do wykupu S − (t + 1). Bed
֒ a֒ one wyliczone później.
h(S−(t+1);u)
h(S−(t+1);d)
Wyrażenia B(t,t+1;ωt ) i B(t,t+1;ωt ) w modelu HL odpowiadaja֒ wyrażeniom 1+U
i 1 + R w modelu CRR. Ale (w przeciwieństwie do CRR) zależa֒ one od czasu t i
czasu wykupu S.
2.2.2
Postać mnożników
Naszym celem jest wyznaczenie h(·; u) i h(·; d). Oczywiście B(S, S) = 1 implikuje
h(0; u) = h(0; d) = 1.
Istotnie niech t + 1 = S. Wstawiajac
֒ do wzoru otrzymujemy
1 = B(t + 1, S; ωtu) =
B(t, S; ωt )
h(0; u) = h(0; u).
B(t, S; ωt )
2.2. MODEL HO–LEE
23
Podobnie
1 = B(t + 1, S; ωt d) =
B(t, S; ωt )
h(0; d) = h(0; d).
B(t, S; ωt )
Nastepne
wyliczenia polegaja֒ na użyciu braku arbitrażu. Z warunku braku arbitrażu
֒
wynika istnienie miary probabilistycznej, przy której wszystkie procesy zdyskontowanych cen sa֒ martyngalami. Przypomnijmy, patrz Twierdzenie 6, że warunkiem
braku arbitrażu jest istnienie p = p(t, wt ) ∈ (0, 1) takiego, że dla każdego S ≥ t + 2,
B(t, S; ωt ) = B(t, t + 1; ωt ) [pB(t + 1, S; ωtu) + (1 − p)B(t + 1, S; ωtd)] ,
co, po wstawieniu dynamiki cen daje warunek
1 = ph(t + 1, S; u) + (1 − p)h(t + 1, S; d)
dla t < S. Dodatkowo zakladamy, że p jest stale (nie zależy ani od t ani od ωt ani
od S).
Nastepnie
zakladamy, że drzewo jest rekombinowane, co znaczy, że cena po dro֒
dze ud jest taka sama jak po du. Czyli, że
B(t + 2, S; ωtud) = B(t + 2, S; ωt du).
Lewa (potem prawa) strona wystepuj
ace
w powyższej równości sa֒ równe
֒
֒
B(t + 1, S; ωt u)h(S − (t + 2); d)
B(t + 1, t + 2; ωt u)
B(t, S; ωt )h(S − (t + 1); u)h(S − (t + 2); d)
,
=
B(t, t + 2; ωt )h(1; u)
B(t + 1, S; ωt d)h(S − (t + 2); u)
B(t + 2, S; ωtdu) =
B(t + 1, t + 2; ωt d)
B(t, S; ωt )h(S − (t + 1); d)h(S − (t + 2); u)
=
.
B(t, t + 2; ωt )h(1; d)
B(t + 2, S; ωtud) =
A wiec
֒ dla S ≥ t + 2, mamy
h(S − (t + 1); d)h(S − (t + 2); u)
h(S − (t + 1); u)h(S − (t + 2); d)
=
.
h(1; u)
h(1; d)
Reasumujac
֒
ph(n; u) + (1 − p)h(n; d) = 1,
h(n; d) h(1; d)
h(n + 1; d)
=
h(n + 1; u)
h(n; u) h(1; u)
(2.12)
(2.13)
24
ROZDZIAL 2. MODELE NA DRZEWACH BINARNYCH
dla dowolnych n = 0, 1, 2, . . . . Kladac
֒ δ =
h(1;d)
h(1;u)
wnioskujemy z (2.13), że
h(n; d)
= δn,
h(n; u)
a z (2.12) wnioskujemy
δn
h(n; d) =
,
(1 − p)δ n + p
h(n; u) =
1
(1 − p)δ n + p
dla n = 0, 1, 2, . . . .
2.2.3
Ceny obligacji i stopa krótka
Model HL jest wyznaczony przez podanie (znanych w czasie 0) cen B(0, 1), . . . , B(0, T )
oraz parametrów p i δ, które moga֒ być wyznaczone przy kalibracji modelu. Analiza dla konkretnych danych liczbowych podana jest (wraz z drzewem cen opcji) w
Przykladzie 12.
Dla zadanych t ≥ 0, S, gdzie t ≤ S ≤ T , oraz ωt = α1 α2 · · · αt−1 , gdzie
α1 , α2 , · · · , αt−1 ∈ {u, d} mamy
B(t, S; α1 α2 · · · αt )
B(t − 1, S; α1α2 · · · αt−1 )
h(S − t; αt )
=
B(t − 1, t; α1 α2 · · · αt−1 )
=
B(t−2,S;α1 ···αt−2 )
h(S − (t − 1); αt−1 )
B(t−2,t−1;α1 ···αt−2 )
h(S
B(t−2,t;α1 ···αt−2 )
h(t
−
(t
−
1);
α
)
t−1
B(t−2,t−1;α1 ···αt−2 )
− t; αt )
(2.14)
B(t − 2, S; α1α2 · · · αt−2 ) h(S − (t − 1); αt−1 )
h(S − t; αt )
B(t − 2, t; α1 α2 · · · αt−2 )
h(1; αt−1 )
..
.
h(S − (t − 1); αt−1 )
B(0, S) h(S − 1; α1 ) h(S − 2; α2 )
···
h(S − t; αt ).
=
B(0, t) h(t − 1; α1 ) h(t − 2; α2 )
h(1; αt−1 )
=
Dla dowolnego n mamy
h(n; d) = δ n h(n; u).
(2.15)
Ponieważ drzewo jest rekombinowane cena w weźle
nie zależy od formy α1 α2 · · · αt
֒
ale od tego ile w niej jest znaków d a ile u. Jeśli mamy j znaków d, czyli t − j
2.2. MODEL HO–LEE
25
znaków u to taka֒ ścieżke֒ oznaczamy przez dj ut−j . Wtedy
B(t, S; dj ut−j )
h(S − t; u)
B(0, S) j(S−t) h(S − 1; u) h(S − 2; u)
δ
···
=
B(0, t)
h(t − 1; u) h(t − 2; u)
h(0; u)
t−1
B(0, S) j(S−t) (1 − p)δ + p
(1 − p)δ t−2 + p
(1 − p)δ 0 + p
=
···
.
δ
B(0, t)
(1 − p)δ S−1 + p (1 − p)δ S−2 + p
(1 − p)δ S−t + p
Na uwage֒ w powyższym wzorze zasluguje wspólczynnik δ j(S−t) . Jest on zwiazany
z
֒
równościa֒ (2.15). Mianowicie, w zasadniczym wzorze (2.14) mamy wyrażenie
h(S − (t − 1); αt−1 )
h(S − 1; α1 ) h(S − 2; α2 )
···
h(S − t; αt ).
h(t − 1; α1 ) h(t − 2; α2 )
h(1; αt−1 )
Biorac
֒ pod uwage֒ (2.15) możemy go zapisać w postaci
δl ×
h(S − 1; u) h(S − 2; u)
h(S − (t − 1); u)
···
h(S − t; u),
h(t − 1; u) h(t − 2; u)
h(1; u)
dla pewnego l. Pokażemy, że l = j(S − t). Istotnie jeżeli αk = d to
δ S−k h(S − k; u)
h(S − k; u)
h(S − k; αk )
= t−k
= δ S−t
.
h(t − k; αk )
δ
h(t − k; u)
h(t − k; u)
S−t
Jeżeli αt = d to h(S − t; αt ) = δ S−t h(S − t; u). Stad
pojawi sie֒ tyle
֒ wyrażenie δ
razy ile d w α1 · · · αt , a wiec
֒ j-razy.
Możemy teraz policzyć stopy krótkie. Mamy
B(t, t + 1; dj ut−j )
B(0, t + 1) j
h(t; u)
h(t − 1; u)
h(2; u)
=
···
h(1; u)
δ
B(0, t)
h(t − 1; u) h(t − 2; u)
h(1; u)
B(0, t + 1) j
=
δ h(t; u)
B(0, t)
δj
B(0, t + 1)
.
=
B(0, t) (1 − p)δ t + p
Wynika stad,
że
֒
1
r(t; dj ut−j ) = − log B(t, t + 1; dj ut−j )
τ
1
j
= f (0, t) − log δ + log((1 − p)δ t + p),
τ
τ
26
ROZDZIAL 2. MODELE NA DRZEWACH BINARNYCH
gdzie
f (0, t) :=
log B(0, t) − log B(0, t + 1)
.
τ
Policzymy teraz wartość oczekiwana֒ i wariancje֒ r(t) wzgledem
prawdopodobieństwa
֒
martyngalowego. Czy rzeczywiście r(t) jest zmienna֒ losowa?
Który ze skladników
֒
jest losowy? Oczywiście liczba j wyrażeń d! Tak wiec
wartość
oczekiwana
dana jest
֒
wzorem
Ej
1
log δ + log((1 − p)δ t + p)
τ
τ
t
X
1
t!
1
= f (0, t) − ln δ
j
(1 − p)j pt−j + log((1 − p)δ t + p)
τ
j!(t − j)!
τ
j=0
µr(t) = E r(t) = f (0, t) −
= f (0, t) −
1
log δ
t(1 − p) + log((1 − p)δ t + p),
τ
τ
gdzie korzystamy z nastepuj
acego
wzoru na wartość oczekiwana֒ rozkladu dwumia֒
֒
nowego:
Ej =
t
X
j=0
j
t
X
(t − 1)!
t!
(1 − p)j pt−j = t(1 − p)
(1 − p)j−1pt−j
j!(t − j)!
(j
−
1)!(t
−
j)!
j=1
t−1
X
(t − 1)!
(1 − p)j pt−j = t(1 − p)((1 − p) + p)t−1
= t(1 − p)
j!(t
−
j)!
j=0
= t(1 − p).
Podobnie możemy policzyć wariancje֒
2
σr(t)
(log σ)2
= Var(r(t)) = E (r(t) − E r(t)) = E
(j − E j)2
2
τ
!
t
2
X
t
(ln δ)
2
(1 − p)j pt−j − (t(1 − p))
j2
=
j
τ2
j=0
2
=
(ln δ)2
tp(1 − p).
τ2
Użyliśmy nastepuj
acej
formuly na wariancje֒ zmiennej losowej o rozkladzie dwumia֒
֒
2.3. MODEL HJM (HEATH–JARROW–MORTON) W CZASIE DYSKRETNYM27
nowym:
t
X
j=0
j2
t!
(1 − p)j pt−j − (t(1 − p))2
j!(t − j)!
t
X
t
X
t!
t!
=
j(j − 1)
(1 − p)j pt−j +
j
(1 − p)j pt−j − (t(1 − p))2
j!(t
−
j)!
j!(t
−
j)!
j=0
j=0
= t(t − 1)(1 − p)2
t
X
(t − 2)!
(1 − p)j−2p(t−2)−(j−2)
(j − 2)!((t − 2) − (j − 2))!
t−2
X
(t − 2)!
(1 − p)j p(t−2)−j + t(1 − p) − (t(1 − p))2
j!(t − 2 − j)!
j=2
+ t(1 − p) − (t(1 − p))2
= t(t − 1)(1 − p)
2
j=0
2
= t(t − 1)(1 − p) + t(1 − p) − (t(1 − p))2
= tp(1 − p).
2
Zauważmy, że σr(t)
jest proporcjonalne do t, co znaczy, że wolatylność jest stale.
2.3
Model HJM (Heath–Jarrow–Morton) w czasie dyskretnym
Model HJM daje wiecej
elastyczności w porównaniu z modelem HL. Bedziemy
֒
֒
rozważali wersje modelu HJM na (nie rekombinowanym) drzewie binarnym. Wieloczynnikowe warianty moga֒ być również rozważane.
2.3.1
Modele stóp forward
Wiemy, że ceny obligacji B(t, S) i stopy forward zwiazane
sa֒ nastepuj
ac
֒
֒
֒ a֒ relacja֒
f (t, S) = −
log B(t, S + 1) − log B(t, S)
τ
dla t i S takich, że 0 ≤ t ≤ S < T . Ponadto
(
B(t, S) = exp −τ
S−1
X
i=t
f (t, i)
)
(2.16)
28
ROZDZIAL 2. MODELE NA DRZEWACH BINARNYCH
dla t i S takich, że 0 ≤ t ≤ S ≤ T . Oczywiście zamiast rozważyć drzewa cen, można
rozważyć drzewo stóp forward
f (0, 0)
f (0, 1)
f (0, 2)
ր
ց
f (1, 1; u)
f (1, 2; u)
ր
ց
f (1, 1; d)
f (1, 2; d)
ր
ց
f (2, 2; uu)
f (2, 2; ud)
f (2, 2; du)
f (2, 2; dd),
gdzie dla prostoty przyjeliśmy,
że T = 3.
֒
W dyskretnym modelu HJM zaklada sie,
֒ że stopy forward zdefiniowane sa֒ rekurencyjnie
√
f (t + 1, S, ωt u) = f (t, S, ωt ) + µ(t, S, ωt )τ + σ(t, S, ωt ) τ ,
√
f (t + 1, S, ωt d) = f (t, S, ωt ) + µ(t, S, ωt )τ − σ(t, S, ωt ) τ ,
(2.17)
na każdym weźle
ωt dla t < T − 2, przy zadanych funkcjach µ(t, S, ωt ) i σ(t, S, ωt ).
֒
Dodatkowo, zaklada sie,
wy֒ że prawdopodobieństwo martyngalowe na każdej galezi
֒
1
nosi p(t, ωt ) = 2 . W rezultacie warunkowa wartość oczekiwana i wariancje stóp
f (t + 1, S) w chwili t dane sa֒ wzorami
E (f (t + 1, S)|Ft) = f (t, S) + µ(t, S)τ,
Var (f (t + 1, S)|Ft) = E (f (t + 1, S) − E (f (t, S)|Ft) |Ft )2
= (σ(t, S))2 τ.
Oczywiście wartość oczekiwana brana jest po mierze martyngalowej, a Ft to σ-cialo
generowane przez ωt = α1 α2 · · · αt .
2.3.2
Warunek braku arbitrażu
Przypomnijmy, że w drzewie binarnym warunek braku arbitrażu oznacza, że poniższe
prawdopodobieństwa nie zależa֒ od czasów wykupu S, a dodatkowo w naszym przypadku wynosza֒ 1/2. Naszym celem bedzie
ich wyliczenie w zależności od µ i σ
֒
2.3. MODEL HJM (HEATH–JARROW–MORTON) W CZASIE DYSKRETNYM29
wystepuj
acych
w równaniach na stopy forward. Mamy
֒
֒
p(t, S; ωt ) =
=
=
=
=
B(t, S) − B(t + 1, S, ωt d)B(t, t + 1)
B(t + 1, S, ωt u)B(t, t + 1) − B(t + 1, S, ωt d)B(t, t + 1)
e−τ
PS−1
i=t
f (t,i)
PS−1
− e−τ
PS−1
i=t+1
f (t+1,i,ωt d) −τ f (t,t)
PS−1
e
e−τ i=t+1 f (t+1,i,ωt u) e−τ f (t,t) − e−τ i=t+1 f (t+1,i,ωt d) e−τ f (t,t)
PS−1
PS−1
e−τ i=t+1 f (t,i) − e−τ i=t+1 f (t+1,i,ωt d)
e−τ
PS−1
i=t+1
f (t+1,i,ωt u)
PS−1
− e−τ
PS−1
f (t+1,i,ωt d)
PS−1
√
−τ i=t+1 [f (t,i)+µ(t,i)τ −σ(t,i) τ ]
i=t+1
e−τ i=t+1 f (t,i) − e
PS−1
√
√
i=t+1 [f (t,i)+µ(t,i)τ −σ(t,i) τ ]
i=t+1 [f (t,i)+µ(t,i)τ +σ(t,i) τ ] − e−τ
PS−1
e−τ
PS−1
PS−1
2
3/2
i=t+1 σ(t,i)
eτ i=t+1 µ(t,i) − eτ
e−τ
3/2
PS−1
i=t+1
σ(t,i)
− eτ
3/2
Przypomnijmy, że
cosh x :=
PS−1
i=t+1 σ(t,i)
.
e−x + ex
.
2
Ponieważ p(t, S; ωt) = 1/2, mamy
τ2
e
PS−1
i=t+1 µ(t,i)
(
= cosh τ 3/2
S−1
X
i=t+1
)
σ(t, i) .
Równość ta zachodzi dla wszystkich t i S takich, że 1 ≤ t + 1 < S ≤ T . W
szczególności, implikuje to, że wszystkie wspólczynniki dryfu µ(t, i) sa֒ zdeterminowane przez wolatylności σ(t, i). Istotnie, kladac
֒ S = t + 2, . . . , T , otrzymujemy ciag
֒
równości
eτ
eτ
2 µ(t,t+1)
= cosh τ 3/2 σ(t, t + 1),
2 [µ(t,t+1)+µ(t,t+2)]
= cosh τ 3/2 [σ(t, t + 1) + σ(t, t + 2)] ,
.
.
.
eτ
2 [µ(t,t+1)+...+µ(t,T −1)]
(2.18)
= cosh τ 3/2 [σ(t, t + 1) + . . . + σ(t, T − 1)] ,
z których wyliczamy
µ(t, t + 1), µ(t, t + 2), . . . , µ(t, T − 1)
w zależności od
σ(t, t + 1), σ(t, t + 2), . . . , σ(t, T − 1).
30
ROZDZIAL 2. MODELE NA DRZEWACH BINARNYCH
2.3.3
Konstrukcja struktury terminowej na drzewie
Z powyższych rozważań wynika, że drzewo stóp forward f (t, S) lub równoważnie
cen obligacji B(t, S), jest wyznaczone przez stopy poczatkowe
֒
f (0, 0), f (0, 1), . . . , f (0, T − 1)
oraz wolatylności
σ(t, t + 1), σ(t, t + 2), . . . , σ(t, T − 1),
t = 0, 1, . . . , T − 2.
Algorytm konstrukcji drzewa dla modelu HJM jest nastepuj
acy:
֒
֒
• Niech f (0, S), S = 0, . . . , T −1 bed
֒ a֒ wartościami stopy forward w chwili t = 0.
Wartości bieżace
stóp
forward
(lub
cen obligacji) sa֒ dostepne.
֒
֒
• Wyestymować wolatylności σ(t, S), na przyklad z danych historycznych z wybranych instrumentów pochodnych.
• Z σ wyliczyć dryf µ używajac
֒ (2.18).
• Wyliczyć drzewo stóp forward f (t, S) korzystajac
֒ z wartości poczatkowych
֒
f (0, S) oraz ze znanych µ i σ. W tym punkcie używamy (2.17).
• Wyliczyć ceny obligacji B(t, S) ze stóp forward f (t, S), korzystajac
֒ z (2.16).
Majac
֒ drzewo cen można wyceniać instrumenty pochodne.
Zadanie 10 Skonstruuj drzewo stóp f (t, S) i cen B(t, S) dla modelu, w którym
T = 3, τ = 1 oraz
f (0, 0) = 2.9561%,
f (0, 1) = 2.9465%,
f (0, 2) = 2.9608%,
σ(0, 1) = σ(0, 2) = σ(1, 2, u) = σ(1, 2, d) = 0, 01.
2.4
Wycena opcji na drzewach
Zalóżmy, że mamy zadana֒ strukture֒ terminowa֒ na drzewie binarnym, to znaczy dla
t, S = 0, 1, · · · , T , t ≤ S, zadane sa֒ ceny obligacji B(t, S; α1 · · · αt ) w dowolnym
weźle
ωt = α1 · · · αt ∈ {d, u}t . Oczywiście zakladamy, że model jest wolny od arbi֒
trażu (wyznaczanie cen arbitrażowych opcji w modelu z arbitrażem nie ma sensu).
Możemy wiec
֒ wyliczyć prawdopodobieństwa martyngalowe (z ang. risk nutral probabilities) p(t, ωt ). Model jest zupelny, czyli prawdopodobieństwa martyngalowe sa֒
2.4. WYCENA OPCJI NA DRZEWACH
31
jedyne. Przypomnijmy (patrz wzór (2.2)), że prawdopodobieństwa martyngalowe
wyliczamy z nastepuj
acego
wzoru
֒
֒
p(t; ωt ) =
B(t, S; ωt )/B(t, t + 1; ωt ) − B(t + 1, S; ωt d)
,
B(t + 1, S; ωtu) − B(t + 1, S; ωt d)
S ≥ t + 2.
Przypomnijmy, że cena C(t) w chwili t, instrumentu Z o cenie zapadalności
S ≤ T dana jest przez warunkowa֒ wartość oczekiwana֒
( S−1
)
!
X
C(t) = E Z exp −
τ r(k) | Ft .
k=t
nP
o
S−1
Przypomnijmy, że czynnik dyskontujacy
exp
τ
r(k)
jest zyskiem z rachunku
k=t
֒
bankowego na odcinku [t, S].
Możemy ja֒ podać na każdym weźle
ωt ∈ {u, d}. Algorytm wyliczania C polega
֒
na posuwaniu sie֒ po drzewie od wez
֒ lów ωS do pierwszego wez
֒ la. Oczywiście
C(S; ωS ) = Z(ωS ),
ωS ∈ {d, u}S .
Nastepnie
֒
C(S − 1; ωS−1)
= [p(S − 1; ωS−1 )Z(ωS−1u) + (1 − p(S − 1; ωS−1)) Z(ωS−1d)] e−τ r(S−1;ωS−1 ) .
Ogólnie
C(t; ωt ) = [p(t; ωt )C(t + 1; ωtu) + (1 − p(t; ωt )) C(t + 1; ωt d)] e−τ r(t;ωt ) .
1
, wycenić opcje֒
Zadanie 11 W modelu na drzewie z Zadania 7, T = 3, τ = 12
kupna (call ) na obligacje֒ o czasie zapadalności T = 3 z cena֒ realizacji (z ang. strike
price) 0.9 i z data֒ wygaśniecia
opcji (z ang. expiration date) 2.
֒
Zadanie 12 W modelu Ho–Lee zadane sa:֒ ceny poczatkowe
֒
B(0, 1) = 0.945,
B(0, 2) = 0.987,
B(0, 3) = 0.991,
prawdopodobienstwo p = 0.41 oraz parametr δ = 1.0099. Dla T = 3, znaleźć drzewo
cen wraz z drzewem cen opcji sprzedaży (put) 3-obligacji, o momencie zapadalności
2 i cenie realizacji K = 0.95575. Zwrócić uwage֒ na nietypowa֒ interpretacje֒ symboli
u i d.
Zadanie 13 Dla modelu HJM rozważnego w Zadaniu 10 wycenić opcje֒ kupna 3obligacji o momencie wykupu 2 i cenie realizacji K = 0.97.