7. Analityczne rozwiązania równań ruchu

7. Analityczne rozwiązania równań ruchu
Równania Naviera-Stokesa stanowią najbardziej ogólną postać równań różniczkowych ruchu
płynów, uwzględniających jego lepkość i ściśliwość:
→
→ 1
→
DU → 1
= F − grad p + ν∇ 2 U + ν grad (div U ) ,
Dt
ρ
3
gdzie:
r
DU
- siły bezwładności,
Dt
→
F - siły masowe,
1
ρ
grad p - siły ciśnieniowe,
→
ν ∇ 2 U - siły pochodzące od lepkości płynu,
→
1
ν grad (div U ) - siły pochodzące od ściśliwości płynu, wszystkie odniesione do jednostki
3
masy płynu
Równania Naviera-Stokesa w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z mają postać:
1 ∂p
1 ∂  ∂U x ∂U y ∂U z 
∂U x
∂U x
∂U x
∂U x

+Ux
+Uy
+Uz
=X−
+ ν∇ 2U x + ν 
+
+
3 ∂x  ∂x
ρ ∂x
∂t
∂x
∂y
∂z
∂y
∂z 
∂U y
∂U y
∂U y
∂U y
1 ∂p
1 ∂  ∂U x ∂U y ∂U z 

+
=Y −
+ ν∇ 2U y + ν 
+
+Uz
+Uy
+Ux
3 ∂y  ∂x
ρ ∂y
∂y
∂z 
∂z
∂y
∂x
∂t
1 ∂p
1 ∂  ∂U x ∂U y ∂U z 
∂U z
∂U z
∂U z
∂U z

+Ux
+Uy
+Uz
=Z−
+ ν∇ 2U z + ν 
+
+
3 ∂z  ∂x
ρ ∂z
∂t
∂x
∂y
∂z
∂y
∂z 
→
Dla przypadku przepływu płynu nieściśliwego: div U = 0
→
→
DU → 1
= F − grad p + ν∇ 2 U
Dt
ρ
→
Dla przepływu nieściśliwego gazu: F ≈ 0
→
→
DU
1
= − grad p + ν∇ 2 U
Dt
ρ
Dla przepływu płynu nielepkiego: ν = 0
95
→
DU → 1
= F − grad p ,
ρ
Dt
równanie redukuje się do równania Eulera.
Operator Laplace’a dla współrzędnych prostokątnych:
2
∇ =∆=
∂2
∂x 2
+
∂2
∂y 2
+
∂2
∂z 2
W układzie współrzędnych cylindrycznych r, φ, z równanie Naviera-Stokesa przyjmuje postać:
2
U
∂U x
∂U x U y ∂U x
∂U x U y
1 ∂p
2 ∂U y
)
+Ux
+
+Uz
−
= Fr −
+ ν (∇ 2U x − x −
ρ ∂r
r ∂ϕ
r
∂t
∂r
∂z
r 2 r 2 ∂ϕ
∂U y U xU y
∂U y U y ∂U y
∂U y
1 ∂p
2 ∂U x U y
)
+
= Fϕ −
+ ν (∇ 2U y −
−
+Uz
+
+Ux
∂z
r
ρ r∂ϕ
r ∂ϕ
∂r
∂t
r 2 ∂ϕ
r2
∂U z
∂U z U y ∂U z
∂U z
1 ∂p
+Ux
+
+Uz
= Fz −
+ ν∇ 2U z
∂t
∂r
∂z
r ∂ϕ
ρ ∂z
Operator Laplace’a dla współrzędnych cylindrycznych:
1 ∂
1 ∂2
∂2
∇ =
+
+
+
∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2
2
∂2
PRZYKŁADOWE ZADANIA
Zadanie 7.1 (opracowano na podst. poz. bibl. [2], przykład 1, str. 183)
Między dwiema płaskimi, równoległymi płytami odbywa się przepływ płynu lepkiego. Jedna z płyt
(A) jest nieruchoma, druga (B) natomiast pod działaniem sił zewnętrznych T pokonuje opory ruchu
wywołane lepkością płynu, porusza się z jednostajną prędkością UB względem płyty nieruchomej.
Ruch traktować jako płaski (dwuwymiarowy), wymiary obu płyt są nieograniczone.
Założenia dodatkowe:
− ciśnienie zewnętrzne p0 jest stałe w całym obszarze zewnętrznym,
− płyta B jest nieważka i nie wywiera dodatkowego ciśnienia na leżący pod nią płyn,
− istnieje różny od zera gradient prędkości w kierunku osi y,
− nie ma składowej prędkości w kierunku osi y i zmian prędkości w kierunku osi x (wynika to z
jednostajności ruchu ustalonego i równoległości płyt),
− płyn jest nieściśliwy.
Wyznaczyć rozkład prędkości i ciśnienia.
96
Rozwiązanie:
Równania N-S dla przepływu płaskiego, nieściśliwego przyjmują postać:
∂U x
∂U x
∂U x
1 ∂p µ  ∂ 2U x ∂ 2U x 
+Ux
+U y
=X−
+
+
ρ ∂x ρ  ∂x 2
∂t
∂x
∂y
∂y 2 
2
2
∂U y
∂U y
∂U y
1 ∂p µ  ∂ U y ∂ U y 
.
+
+Ux
+U y
=Y −
+
2 
ρ ∂y ρ  ∂x 2
∂t
∂x
∂y
y
∂


Wobec przyjętych założeń w treści zadania mamy:
∂U x ∂U y
=
=0
- ruch jest ustalony,
∂t
∂t
∂U x
=0
- ruch jest jednostajny, nie ma zmian Ux w kierunku x,
∂x
Uy =0
- nie ma składowej prędkości w kierunku y,
X =0
Y = −g
∂p
=0
∂x
∂ 2U x
∂x 2
- nie ma składowej poziomej jednostkowych sił masowych (przyspieszenia
ziemskiego),
- składowa pionowa jednostkowych sił masowych równa jest przyspieszeniu
ziemskiemu (znak minus wynika z przyjętego układu współrzędnych),
- z założenia,
=0
 ∂U x

= 0 .
- ruch jednostajny ustalony 
 ∂x

W rezultacie uproszczeń równania N-S redukują się do postaci:
µ ∂ 2U x
0=
(1)
ρ ∂y 2
1 ∂p
0 = −g −
(2)
ρ ∂y
Ponieważ Ux jest funkcją tylko współrzędnej x, pochodną cząstkową możemy zastąpić pochodną
zwyczajną:
∂ 2U x d 2U x
=
dy 2
∂y 2
97
Całkujemy dwukrotnie równanie (1) wiedząc że
µ
≠ 0:
ρ
dU x
= C1 ,
U x = C1 y + C 2
dy
Dla wyznaczenia stałych całkowania wykorzystujemy warunki brzegowe:
dla y = 0,
Ux = 0,
dla y = h,
Ux = UB.
Stałe całkowania wynoszą:
U
C1 = B .
C2 = 0 ,
h
Rozkład prędkości jest liniowy:
U
Ux = B y .
h
Z równania N-S dla kierunku y otrzymujemy:
∂p
= − gρ = − γ
∂y
Po scałkowaniu mamy:
p = −γy + C .
Zakładając, że górna powierzchnia jest nieważka oraz że:
dla y = h,
p = p0,
wyznaczamy stałą całkowania:
C = p0 + γh .
Ostatecznie:
p = γ (h − y ) + p0 ,
otrzymujemy hydrostatyczny rozkład ciśnienia w kierunku osi y.
Zadanie 7.2 (opracowano na podst. poz. bibl. [2], przykład 2, str. 185)
Ciecz lepka przepływa między dwiema równoległymi poziomymi płytami nieruchomymi. Zachodzi
zmiana ciśnienia w kierunku przepływu. Założyć, że przepływ jest płaski, ustalony i jednostajny.
Wyznaczyć rozkłady prędkości i ciśnienia.
Rozwiązanie:
Opory tarcia pokonywane są kosztem energii płynu, przy niezmiennej prędkości - spadkiem ciśnienia.
Z treści zadania wynika, że:
98
∂U y
∂U x
=0,
=0
- ruch jest ustalony,
∂t
∂t
∂U x
Ux
=0
- ruch jest jednostajny,
∂x
∂U x
= 0,
- bo Uy = 0,
Uy
∂y
X =0,
- nie ma składowej poziomej jednostkowych sił masowych (przyspieszenia
ziemskiego),
∂2Ux
 ∂U x

= 0 .
- ruch jednostajny ustalony 
 ∂x

∂x
Niezerowymi członami są:
∂ 2U x
∂p
< 0,
≠ 0.
∂x
∂y 2
2
= 0,
W rezultacie równanie Naviera-Stokesa dla kierunku osi x redukuje się do postaci:
1 ∂p µ ∂ 2U x
0=−
+
ρ ∂x ρ ∂y 2
(1)
skąd:
∂ 2U x
∂p
=µ
∂x
∂y 2
W tym przypadku opory tarcia od lepkości płynu – przy stałej prędkości Ux w kierunku przepływu –
∂p
muszą być pokonane kosztem spadku ciśnienia.
stanowi jednostkową stratę ciśnienia, niezmienną
∂x
dla poszczególnych przekrojów x = const. Z uwagi na stale ujemną wartość tego wyrażenia (dodatnim
przyrostom x towarzyszy spadek ciśnienia, ujemnym- wzrost) wprowadzając oznaczenie jednostkowej
zmiany ciśnienia p’, takie że:
pstr 1-2 = p’(x2 - x1)
mamy:
∂p
= − p' = −γ h' ,
∂x
gdzie z kolei h’ oznacza jednostkową stratę wysokości (ciśnienia).
Przepisując równanie (1) otrzymamy:
∂ 2U x
∂y 2
Wobec
∂U x dU x
∂U x
∂U x
=0,
= 0 , mamy:
=
.
∂y
dy
∂x
∂t
Całkując dwukrotnie równanie:
99
=−
1
µ
p'
d 2U x
dy
2
=−
1
µ
p'
otrzymamy:
dU x
1
= − p ' y + C1
dy
µ
1
Ux = −
p ' y 2 + C1 y + C 2
2µ
Dla wyznaczenia stałych całkowania wykorzystujemy warunki brzegowe:
C2 = 0
Z warunku U x = 0 dla y = 0 wynika:
Wobec U x = 0 dla y = h, mamy:
1
p' h 2 + C1h
2µ
0=
a więc:
C1 =
1
p' h
2µ
Ostatecznie:
Ux = −
1
p' y (h − y ) ,
2µ
czyli otrzymujemy paraboliczny rozkład prędkości względem y.
Można przewidzieć, że prędkość maksymalna U xmax występuje dla y = h/2. Rzeczywiście, z równania
dU x
1
1
= − p' y +
p' h = 0
µ
dy
2µ
otrzymujemy:
h
yU max = .
2
Równanie Naviera-Stokesa dla kierunku osi y przyjmuje postać:
0 = −g −
1 ∂p
ρ ∂y
(tok postępowania identyczny jak w zadaniu 7.1)
Z równania ruchu wzdłuż osi y można wykazać hydrostatyczną zmianę ciśnienia w kierunku osi y:
p = p0 + ρg (h − y )
100
(2)
Zadanie 7.3 (poz. bibl. [3], przykład 5.1.1, str. 91)
Ciecz lepka pod działaniem stałego gradientu ciśnienia przepływa między dwiema poziomymi
nieograniczonymi płaszczyznami znajdującymi się w odległości 2h jedna od drugiej i poruszającymi
się ze stałymi poziomymi prędkościami. Określić rozkład prędkości w cieczy.
Rozwiązanie:
Zakładamy, że płaszczyzna dolna porusza się z prędkością Ux1, górna z prędkością Ux2.
Rozważany ruch jest ruchem ustalonym i prostoliniowym:
Uy =Uz = 0
U x = U x ( x, y )
Równania ruchu w układzie współrzędnych prostokątnych, przy pominięciu sił masowych, wyglądają
następująco:
 ∂ 2U x ∂ 2U x 
∂U x
1 ∂p

+
Ux
=−
+ν 
2 
ρ ∂x  ∂x 2
∂x
∂y 
∂p
= 0,
∂y
Z powyższych równań wynika, że:
U x = U x ( y),
Ruch cieczy opisuje równanie różniczkowe:
d 2U x
dy
2
=−
∂U x
=0.
∂x
∂p
= 0,
∂z
K
ν
p = p(x ) .
gdzie: K = −
,
1 dp
.
ρ dx
Dwukrotne całkowanie tego równania daje:
dU x
K
K 2
Ux = −
y + C1 y + C 2
= − y + C1
oraz
ν
2ν
dy
Korzystając z warunków brzegowych które mają postać:
dla y = -h,
U x = U x1
dla y = h,
U x = U x2
wyznaczamy stałe całkowania:
1
k 2 1
C1 =
U x 2 − U x1
oraz C 2 =
h + U x 2 + U x1
2h
2ν
2
(
)
(
101
)
Wykorzystując wyrażenia na stałe całkowania ostatecznie otrzymujemy zależność na rozkład
prędkości:
1y
K 2
(U x 2 − U x1 ) + 1 (U x 2 + U x1 )
Ux =
h − y2 +
2ν
2h
2
(
)
Jeśli U x1 = U x 2 = 0 , wtedy mamy do czynienia z przepływem w płaskiej rurze, tzw. płaskim

 dp
przepływem Poiseuille’a 
< 0 .

 dx
Jeśli
dp
= 0 , wtedy jest to tzw. przepływ Couette’a
dx
102
(U x 2 > 0) .
Zadanie 7.4 (poz. bibl. [3], zad. 5.1.1, str. 96)
Zbadać ruch w polu sił ciężkości warstwy cieczy lepkiej o grubości h ograniczonej od góry
powierzchnią swobodną, a od dołu nieruchomą płaszczyzną nachyloną do poziomu pod kątem α.
Rozwiązanie:
Rozważany ruch cieczy jest ruchem płaskim. Składowe sił masowych wynoszą:
Y = − g cosα .
X = g sin α ,
Równania ruchu sprowadzają się do układu równań różniczkowych zwyczajnych:
d 2U x
dy
2
=−
ρ⋅g
sin α
µ
dp
= − ρg cos α
dy
(1)
(2)
Warunki brzegowe mają postać:
Ux = 0 dla y = 0,
dU x
= 0 , p = p0 dla y = h.
dy
Na podstawie drugiego warunku można stwierdzić znikanie przyrostu prędkości na powierzchni
swobodnej.
Całkujemy równanie (1):
dU x
ρ⋅g
=−
sin α ⋅ y + C1
µ
dy
Ux = −
ρ⋅g
y2
+ C1 y + C 2
sin α ⋅
2
µ
Stałe całkowania wynoszą:
C1 =
ρ⋅g
sin α ⋅ h
µ
C2 = 0
Całkujemy równanie (2):
Stała całkowania wynosi:
p = − ρ ⋅ g cos α ⋅ y + C3
C3 = ρ ⋅ g cos α ⋅ h + p0
103
(3)
(4)
Ostatecznie rozwiązanie ma następującą postać:
ρ⋅g
Ux =
2hy − y 2 sin α
2µ
(
)
p = p0 + (h − y )ρ ⋅ g cos α
Zadanie 7.5 (poz. bibl. [3], przykład 5.1.2, str. 92)
Ciecz lepka płynie w poziomej nieograniczonej rurze o przekroju kołowym pod działaniem stałego
gradientu ciśnienia. Określić rozkład prędkości w cieczy.
Rozwiązanie:
Ruch cieczy w rurze jest ruchem ustalonym, prostoliniowym i osiowosymetrycznym:
Uz = Uz(r, z), Ux = Uy = 0.
Równania ruchu w układzie współrzędnych cylindrycznych, przy pominięciu sił masowych, sprowadzą
się do układu:
∂p
1 ∂p
=0,
= 0,
∂r
r ∂φ
 ∂ 2U z 1 ∂U z
∂U z
1 ∂p
+
=−
+ν 
Uz
 ∂r 2
∂z
r ∂r
ρ ∂z


,


∂U z
=0
∂z
Z równań tych wynika, że Uz = Uz(r) oraz p = p(z), zatem ruch cieczy opisuje równanie różniczkowe
zwyczajne:
1 d  dU z 
K
1 dp
K =−
r
=− ,
ν
ρ dz
r dr  dr 
Całkę ogólną powyższego równania określa wyrażenie
K
U z = − r 2 + C1 ln r + C 2 .
4ν
Warunek brzegowy ma postać:
Uz = 0 dla r = R.
104
Z warunku stwierdzającego, że prędkość przepływu jest ograniczona na osi rury (r = 0), wynika
wartość stałej C1 = 0, stałą C2 zaś wyznaczamy z warunku brzegowego.
Uz =
K
(R 2 − r 2 )
4ν
Rozważane zagadnienie można rozwiązać posługując się układem współrzędnych prostokątnych:
Wtedy Uz = Uz(x, y, z), Ux = Uy = 0 i równania ruchu sprowadzą się do układu:
∂p
=0,
∂x
∂p
= 0,
∂y
 ∂ 2U z ∂ 2U z ∂ 2U z
∂U z
1 ∂p
+
+
=−
+ν 
2
 ∂x 2
ρ ∂z
∂z
∂z 2
∂
y

∂U z
=0
∂z
Wynika stąd, że ruch cieczy jest opisany równaniem Poissona:
Uz
∂ 2U z
∂x 2
+
∂ 2U z
∂y 2
=−

,


K
ν
Całkujemy:
Uz = -
K 2
1
(x + y 2 ) + C(x + y )
4ν
2
Stałą całkowania wyznaczamy z warunku brzegowego:
x2 + y2 = R2
Uz = 0 dla
C=
K R2
2ν (x + y)
Po obliczeniach otrzymamy:
Uz =
K 2
[ R − ( x 2 + y 2 )]
4ν
Zbadany ruch nazywa się przepływem Poiseuille’a.
Zadanie 7.6 (poz. bibl. [7], zad. 5.2, str. 94)
Pole prędkości w pewnym płaskim, ustalonym przepływie powietrza opisane jest funkcjami:
10 y
10 x
Ux =
Uy =−
,
m/s.
2
2
2
x +y
x + y2
Obliczyć gradient ciśnienia ∇٠p, traktując powietrze jako płyn idealny o gęstości ρ = 1.23 kg / m3.
105
Rozwiązanie:
Z treści zadania wynika że:
∂U z
= 0,
∂t
Uz = 0,
Z = −g
Z równania Eulera otrzymujemy następujący układ równań:
∂U x
∂U x
1 ∂p
,
=−
+U y
∂y
ρ ∂x
∂x
Ux
Ux
∂U y
∂x
+U y
∂U y
=−
∂y
1 ∂p
0 = −g −
ρ ∂z
1 ∂p
,
ρ ∂y
Przekształcamy równania :

∂U x 
∂U x
∂p
,
+U y
= − ρ U x
∂y 
∂x
∂x

dla kierunku x:
wstawiamy wyrażenia:
∂U x
=
∂x
i otrzymujemy:
− 20 xy
(x 2 + y 2 )2
(
)
∂U x 10 x 2 + y 2 − 20 y 2
,
=
∂y
2
2 2
x +y
,
(
)
123x
∂p
Pa / m
=
2
∂x
x2 + y 2
(
)
∂U y
∂U y 

∂p
,
= − ρ U x
+Uy

∂y
∂
x
∂
y


dla kierunku y:
wstawiamy wyrażenia:
i otrzymujemy:
∂U y
∂x
=
(
20 x 2 − 10 x 2 + y 2
(x
2
+y
)
2 2
),
∂U y
∂y
=
(x
20 xy
2
+y
)
2 2
∂p
123 y
=
Pa / m
∂y
2
22
x +y
(
)
∂p
= − g ⋅ ρ = −1.23 ⋅ 9.81 = −12.07 Pa / m
∂z
dla kierunku z:
Ostatecznie otrzymamy:
r ∂p r ∂p r ∂p
∇p = i
+ j
+k
=
∂x
∂y
∂z
(x
123
2
+y
2
106
r
r
r
(i ⋅ x + j ⋅ y ) − 12.07 ⋅ k
2
)
Pa/m
,
Wykaz oznaczeń
Litery polskie
T - temperatura (w skali bezwzględnej
Kelvina)
U - prędkość przepływu
u - prędkość unoszenia
Up - potencjał sił masowych
V - objętość
w - prędkość względna
X, Y, Z - moduły składowych wektora
jednostkowych sił masowych
x, y, z - układ współrzędnych kartezjańskich
z - wysokość położenia
zC - głębokość zanurzenia środka ciężkości
zN - głębokość zanurzenia środka naporu
r
F - vwektor jednostkowej siły masowej
v v
i , j , k - wersory kierunkowe osi x, y, z
a - przyspieszenie
b - szerokość, grubość
C - stała w równaniu,
- stała całkowania
d - symbol różniczki,
- średnica
D - średnica
e - współrzędna położenia środka ciężkości,
- mimośród
f - powierzchnia
F - powierzchnia
G - ciężar
g - przyspieszenie ziemskie
h - wysokość, różnica poziomów (wymiar
liniowy)
H - wysokość, różnica poziomów (wymiar
liniowy)
ha - wysokość ciśnienia atmosferycznego
i - ramię bezwładności
J - geometryczny moment bezwładności
l - długość
L - długość
m - masa
M - moment siły
N - siła naporu
n, t - układ współrzędnych naturalnych
p - ciśnienie
P - siła
pa - ciśnienie atmosferyczne
pn - nadciśnienie
pp - podciśnienie
Q strumień objętości cieczy
r - promień
R - indywidualna stała gazowa,
- siła reakcji,
- promień,
r, ϕ, z - układ współrzędnych cylindrycznych
Re - liczba Reynoldsa
S - pole przekroju poprzecznego
SC - środek ciężkości
SN - środek naporu
t - czas,
- temperatura w skali Celsjusza
Litery greckie
α - współczynnik rozszerzalności
objętościowej,
- współczynnik prędkości,
- kąt
β - współczynnik ściśliwości,
- współczynnik przepływu
φ - funkcja siły masowej
δ - przyrost
∆ - zmiana (przyrost, ubytek),
- operator Laplace’a
γ - ciężar właściwy
λ - współczynnik strat tarcia (liniowych)
µ - współczynnik lepkości dynamicznej
ν - kinematyczny współczynnik lepkości
ϕ - potencjał prędkości
ξ - współczynnik strat miejscowych
(lokalnych)
ρ - gęstość (masa właściwa)
τ - naprężenia styczne
υ - objętość właściwa
Ψ - funkcja prądu
ω - prędkość kątowa
Ω - wirowość
∇ - operator Hamiltona
107
Indeksy dolne
Indeksy górne
→
a
C
L
m
N
n
p
P
rz
w
str
- dotyczy atmosfery
- dotyczy środka ciężkości
- lewy
- dotyczy cieczy manometrycznej
- dotyczy środka naporu
- nadciśnienie
- podciśnienie
- dotyczy powietrza
- prawy
- rzeczywisty
- dotyczy wody
- dotyczy strat
.
- wektor
- strumień (masy, objętości)
Bibliografia:
1. Drobniak S. „Mechanika Płynów (wprowadzenie)”, Wydawnictwo P.Cz., Częstochowa 2000,
(skrypt wydany w ramach projektu „TEMPUS”)
2. Bukowski J. „Mechanika płynów”, PWN 1975
3. Gołębiewski C., Łuczywek E., Walicki E. „Zbiór zadań z mechaniki płynów”, PWN 1975
4. Rumianowski A. „Zbiór zadań z mechaniki płynów nieściśliwych z rozwiązaniami”, PWN 1978
5. Ratajczak R., Zwoliński W. „Zbiór zadań z hydromechaniki”, PWN 1981
6. Burka E. S., Nałęcz T. J. „Mechanika płynów w przykładach”, PWN 1994
7. Gryboś R. „ Zbiór zadań z technicznej mechaniki płynów”, PWN 2002
8. Orzechowski Z, Wiewiórski P. „Ćwiczenia audytoryjne z mechaniki płynów”, Wyd. Pol.
Łódzkiej 1993
108