Rozwiązanie belki dwukrotnie statycznie niewyznaczalnej metodą sił

Rozwiązanie belki dwukrotnie statycznie niewyznaczalnej metodą sił
1. Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności:
n = r − 3t
gdzie:
r – liczba odebranych stopni swobody
t – liczba tarcz
n = 5 − 3 *1
n=2
Belka jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalna
2. Wyznaczenie sił nadliczbowych
2.1. Układ równań kanonicznych (warunkowych)
δ
δ
∗X +δ
∗X +δ
∗X +δ
∗X +δ
=0
=0
2.2. Wyznaczenie współczynników kanonicznych (warunkowych)
Współczynniki δik
Reakcje:
Tarcza 1
ΣMA=0
-RCy*6 + P1*3 = 0
6*RCy = 18
RCy = 3 kN
ΣMC=0
RAy*6 - P1*3 = 0
6*RAy = 18
RAy = 3 kN
ΣX=0
RAx = 0 kN
ΣY=0
RCy + RAy – P1 = 0
0=0
ΣME=0
RCy*6 - q*3*6 = 0
6*RCy = 36
RCy = 6 kN
ΣX=0
ΣY=0
RCy + REy – q*6 = 0
0=0
Tarcza 2
ΣMC=0
-REy*6 + q*3*6 = 0
6*REy = 36
REy = 6 kN
Tarcza 3
ΣME=0
-RHy*6 + P2*2 + P3*4 = 0
6*RHy = 3*2 + 4*4
RHy = 11/3 = 3,667 kN
ΣMH=0
REy*6 - P2*4 - P3*2 = 0
6*REy = 3*4 + 4*2
REy = 10/3 = 3,333 kN
ΣX=0
ΣY=0
RHy + REy - P2 - P3 = 0
0=0
δ
δ
=δ
=
1
=δ
=
1 1
1
1
∗6∗1 ∗ ∗1 =
2
3
1
2
1
2
∗6∗1 ∗ ∗1 + ∗6∗1 ∗ ∗1
2
3
2
3
=
2
+
2
=
4
Współczynniki ∆iP
Charakterystyczne rzędne wykresu „P”
Tarcza 1
M =
∗ ∗
Tarcza 2
M$ =
%∗ &
Tarcza 3
=
∗ ∗
∗ &
'
= 9!"#
= 9!"#
MF = RBy*2 = 3,667*2 = 6,67 kNm
MG = RCy*2 = 3,333*2 = 7,33 kNm
δ
δ
'
=
=
1
=
1
[
[
1
2
1
2
2
1
∗ 3 ∗ 9 ∗ ∗ 0,5 + ∗ 3 ∗ 9 ∗ ∗ 1 + ∗ 9 ∗ 6 ∗ ( ∗ 1) =
2
3
2
3
3
2
31,5
1
= [4,5 + 9 + 18. =
2
1
1
4,667
1
3,333
∗ 9 ∗ 6 ∗ ∗ 1 + ∗ 2 ∗ 6,667 ∗
+ ∗ 2 ∗ 6,667 ∗
3
2
2
6
2
6
2,667
1
2
1
+ ∗ 2 ∗ 7,33 ∗ ∗ 0,33 =
+ ∗ 2 ∗ 7,33 ∗
2
6
2
3
1
31,7601
= [18 + 5,1858 + 3,7035 + 3,2582 + 1,6126. =
Długości odpowiednich odcinków obliczono z twierdzenia Talesa i naniesiono wartości na wykresy
2.3. Rozwiązanie układu równań warunkowych (kanonicznych) – wyznaczenie sił nadliczbowych:
δ
δ
∗X +δ
∗X +δ
∗X +δ
∗X +δ
=0
=0
4 ∗ X + 1 ∗ X + 31,5 = 0
1 ∗ X + 4 ∗ X + 31,7601 = 0
X = −6.281!"#
X = −6.374!"#
3. Siły w konstrukcji rzeczywistej (zadanej):
Rzędne wykresów sił przekrojowych, w punktach dla których znane są wartości sił przekrojowych dla
stanów P, 1, 2, wyznaczamy korzystając z zasady superpozycji:
T = T1*X1 + T2*X2 + TP
M = M1*X1 + M2*X2 + MP
TAB = 0,1667*(-6,281) + 0 + 3 = 1,953 kN
MA = 0 + 0 + 0 = 0
TBC = 0,1667*(-6,281) + 0 – 3 = - 4,047 kN
MB = 0,5*(-6,281) + 0 + 9 = 5,859 kNm
TCD = -0,166667*(-6,281) + 0,166667*(-6,374) + 6 = 5,9845 kN
MC = 1*(-6,281) + 0 + 0 = - 6,281 kNm
W środku przęsła belki:
TD= -0,1667*(-6,281) + 0,1667*(-6,374) + 0 = - 0,0155 kN
MD= 0,5*(-6,281) + 0,5*(-6,374) + 9 = 2,6725 kNm
TED = -0,1667*(-6,281) + 0,1667*(-6,374) – 6 = - 6,016 kN
TEF = 0 - 0,1667*(-6,374) + 3,333 = 4,396 kN
ME = 0 + 1*(-6,374) + 0 = -6,374 kNm
TFE = 0 - 0,1667*(-6,374) + 3,333 = 4,396 kN
TFG = 0 - 0,1667*(-6,374) + 0,3333 = 1,396 kN
MF = 0 + 0,6667*(-6,374) + 6,667 = 2,417 kNm
TGF = 0 - 0,1667*(-6,374) + 0,3333 = 1,396 kN
TGH = 0 - 0,1667*(-6,374) - 3,667= -2,604 kN
MG = 0 + 0,3333*(-6,374) + 7,333= 5,208 kNm
THG = 0 - 0,1667*(-6,374) - 3,67= -2,604 kN
MH = 0 + 0 + 0 = 0
Obliczenie Mmax na odcinku C-E
Ponieważ w punkcie występowania Mmax nie znamy wartości momentów dla stanów P, 1, 2, wygodniej
jest obliczyć Mmax „wprost” (a nie z zasady superpozycji).
Równanie momentów:
ΣM = 0
X1 + RCD* x - q*x*x/2 - M(x) = 0
M(x) = X1+ RCD* x - q*x2 / 2
M(x) = - 6,281+ 5,984*x - 2*x2 / 2
M(x) = - 6,281+ 5,984*x - x2
Uwaga: RCD = TCD = 5,984 kN
Obliczenie współrzędnej x0 punktu Mmax :
• równanie funkcji liniowej dla sił tnących (za początek układu współrzędnych przyjęto punkt D)
T(x) = RCD - q*x = 5,984 - 2 x
• wyznaczono współrzędną x0 dla miejsca zerowania się siły tnącej 0 = -2 x0 + 5,9845
x0= 2,99225 m
x0 = 2,99225 m
Mmax = -6,281 + 5,9845*2,99225 - 2,992252 = 2,67256 kNm