Wykład 0 - Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Integralność konstrukcji w eksploatacji
Wykład 0
PRZYPOMNIENIE PODSTAWOWYCH POJĘĆ Z
WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji
1
1.1 RODZAJE NAPRĘŻEŃ
p
- naprężenie całkowite
x
- naprężenie normalne
xz , xy - naprężenia styczne
Rys. 1. Składowe naprężenia w punkcie
B w przekroju o normalnej x
𝜎𝑥
𝑇𝜎 = 𝜏𝑦𝑥
𝜏𝑧𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦
𝜏𝑧𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑧
𝜎𝑧
Rys. 2. Współrzędne tensora naprężeń
2
1.2 RODZAJE ODKSZTAŁCEŃ
a) odkształcenia liniowe
 x ,  y,  z
z
x
y
dx
Współrzędne tensora odkształceń
X dx
𝑇𝜎 =
b) odkształcenia kątowe xy, yz, zx
𝛾𝑥𝑦
𝜀𝑥
𝛾𝑥𝑦
𝛾𝑥𝑧
2
2
2
𝜀𝑦
𝛾𝑦𝑥
2
𝛾𝑥𝑧
𝛾𝑦𝑧
2
2
𝜀𝑧
3
2. NAPRĘŻENIA GŁÓWNE
W każdym punkcie ciała można tak zorientować elementarny
prostopadłościan, że w trzech wzajemnie prostopadłych przekrojach nie
występują naprężenia styczne, a jedynie naprężenia normalne. Nazywamy
je naprężeniami głównymi i oznaczamy 1 , 2 , 3 .
1
z
Umowa : 1  2  3
1 i 3 - ekstremalne wartości naprężeń normalnych
w danym punkcie,
tzn. jeżeli x nie jest kierunkiem głównym, to:
3  x  1
3
2
y
x
4
3. RODZAJE STANU NAPRĘŻENIA
3.1. PRZESTRZENNY STAN NAPRĘŻEŃ:
1  0, 2  0, 3  0
3.2. PŁASKI STAN NAPRĘŻEŃ:
jedna składowa główna = 0
3.3. JEDNOOSIOWY STAN NAPRĘŻEŃ:
jedna składowa główna  0
5
4. PRAWO HOOKE’a
Stosowane może być gdy odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń:






1
x   x    y  z
E
1
 y   y    x   z 
E
1
 z   z   x   y
E


1
 xy   xy
G
1
 xz   xz
G
1
 yz   yz
G
(1)
gdzie :
E - moduł Younga
 - liczba Poissona
G - moduł Kichhoffa
 - odkształcenia kątowe
(np. xz - zmiana kąta prostego w płaszczyźnie x-z)
6
4. PRAWO HOOKE’a
Przypadki szczególne:
 płaski stan naprężeń (np. w płaszczyźnie x-y, tj.: z = 0)
wiąże się z przestrzennym stanem odkształcenia:
x 
1
( x   y )
E
y 
1
( y   x )
E
z 

( x   y )
E
(2)
 płaski stan odkształceń (np. w płaszczyźnie x-y, tj.: z = 0)
wiąże się z przestrzennym stanem naprężenia:


1
x   x    y  z
E



y 
1
 y    x   z 
E
z 
1
 z    x   y  0   z   ( x   y )
E


(3)

7
5. WYTĘŻENIE. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE
Dla danego materiału porównujemy stopień zbliżenia się do stanu krytycznego czyli
tzw. wytężenie W, w złożonym stanie naprężeń i w tzw. stanie zastępczym
(jednoosiowego rozciągania naprężeniem 0 ).
Rys. 8. Złożony (a) i zastępczy (b) stan naprężeń
8
5. WYTĘŻENIE. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE
Przykłady hipotez wytrzymałościowych stosowanych są dla materiałów
ciągliwych (sprężysto - plastycznych):
 Hipoteza Coulomba - kryterium wytężenia jest największe naprężenie styczne max.
stan zastępczy 
 max 
0
 max 
2
1   3
2

 0  1   3
stąd:
stan złożony
(4)
 Hipoteza Hubera - kryterium wytężenia stanowi energia odkształcenia postaciowego.
stan zastępczy 
Ep 
stan złożony  E p 
stąd:
0 
1 2

3E 0

1
2
2
2
1   2    2   3    3  1 

6E

1
( 1   2 ) 2  ( 2   3 ) 2  ( 1   3 ) 2
2
(5)
9
6. WSPÓŁCZYNNIK KSZTAŁTU
Współczynnik kształtu lub współczynnik koncentracji naprężeń (ozn. przez k lub kt)
jest miarą spiętrzenia naprężeń na dnie karbu.
kt 
 max
S
1  kt  
(6)
max - naprężenie maksymalne (rzeczywiste naprężenie na dnie karbu w materiale
idealnie liniowo - sprężystym)
S
- naprężenie nominalne (naprężenie na dnie karbu obliczone na podstawie
elementarnych
wzorów
wytrzymałościowych
lub
naprężenie
w
przekroju
odległym od karbu)
Rys. 9. Przykład rozkładu naprężeń
rzeczywistych i nominalnych
10
6. WSPÓŁCZYNNIK KSZTAŁTU
Współczynnik kształtu lub współczynnik koncentracji naprężeń (ozn. przez k lub kt)
jest miarą spiętrzenia naprężeń na dnie karbu.
kt 
 max
S
1  kt  
(6)
Na skutek uplastycznienia max może być mniejsze od ktS
Rys. 10. Wpływ uplastycznienia na rozkład naprężeń
11
6. PARAMETRY CYKLU ZMĘCZENIOWEGO
W cyklu naprężeń sinusoidalnie zmiennych definiujemy:
 naprężenie maksymalne max
 naprężenie minimalne min
 amplitudę naprężeń a
 zakres naprężeń 
 naprężenie średnie m
 okres zmiany naprężeń T
 częstotliwość f=1/T
Rys. 11. Parametry cyklu zmęczeniowego
Wymienione parametry powiązane są zależnościami:
m 
 max   min
2
a 
 max   min
2
  2 a   max   min
Niesymetryczność cyklu opisuje współczynnik asymetrii cyklu R:
R
 min
 max
(7)
(8)
12
6. PARAMETRY CYKLU ZMĘCZENIOWEGO
Wymienione parametry powiązane są zależnościami:
m 
 max   min
2
a 
 max   min
2
  2 a   max   min
(7)
 min
R
 max
(8)
Niesymetryczność cyklu opisuje współczynnik asymetrii cyklu:
Przypadki szczególne:
1 - obustronne ściskanie
4 - cykl wahadłowy
6 - cykl odzerowo-tętniący
7 - obustronne rozciąganie
Rys. 12. Rodzaje cykli zmęczeniowych
13